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问题情境
要想知道一个鱼缸里有几条鱼,只要数一数就可以了.但是如果承包鱼塘的李大爷想知道自己的鱼塘中有多少条鱼,该怎么办呢?
问题探究1
一个盒子有8个黑球和32个白球,任意摸出1个球,摸到黑球的概率是
问题探究2
在一个不透明的盒子中装有a个球,这些球除颜色外无其他差别,这a个球中只有3个红球,若每次将球充分搅匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回盒子,通过大量重复试验后,发现摸到红球的频率稳定在0.2附近,则估计a的值为
方案设计
请帮助李大爷设计一个方案,估计李大爷的鱼塘里有多少条鱼.
实际应用
【问题提出】共享单车不仅极大地方便人们的短途出行,而且低碳环保,受到用户的喜爱.某社区周边有5个共享单车停车区,总计投放180辆共享单车,某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些停车区的单车不够用,而有些停车区的单车使用率低的现象,为探究早高峰期间共享单车的合理投放方案,该数学兴趣小组开展了研究.
【开展研究】该数学兴趣小组分工合作,在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行了数据收集,结果如表.
表一:经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据
表二:每日早高峰期间的平均人流量
【问题解决】
(1)若用事件A代表经过1号区的行人使用共享单车,估计事件A的概率.
(2)为应对早高峰期间共享单车的使用需求,请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案,并说明理由.
要想知道一个鱼缸里有几条鱼,只要数一数就可以了.但是如果承包鱼塘的李大爷想知道自己的鱼塘中有多少条鱼,该怎么办呢?
问题探究1
一个盒子有8个黑球和32个白球,任意摸出1个球,摸到黑球的概率是
$\dfrac{1}{5}$
.若任意摸出10个,则摸出的这10个球中可能有2
个黑球.问题探究2
在一个不透明的盒子中装有a个球,这些球除颜色外无其他差别,这a个球中只有3个红球,若每次将球充分搅匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回盒子,通过大量重复试验后,发现摸到红球的频率稳定在0.2附近,则估计a的值为
15
.方案设计
请帮助李大爷设计一个方案,估计李大爷的鱼塘里有多少条鱼.
实际应用
【问题提出】共享单车不仅极大地方便人们的短途出行,而且低碳环保,受到用户的喜爱.某社区周边有5个共享单车停车区,总计投放180辆共享单车,某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些停车区的单车不够用,而有些停车区的单车使用率低的现象,为探究早高峰期间共享单车的合理投放方案,该数学兴趣小组开展了研究.
【开展研究】该数学兴趣小组分工合作,在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行了数据收集,结果如表.
表一:经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据
表二:每日早高峰期间的平均人流量
【问题解决】
(1)若用事件A代表经过1号区的行人使用共享单车,估计事件A的概率.
(2)为应对早高峰期间共享单车的使用需求,请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案,并说明理由.
答案
问题探究1:$\dfrac{1}{5}$;2.
问题探究2:根据题意得$\dfrac{3}{a}=0.2$,解得$a=15$,经检验,$a=15$是原分式方程的解,且符合题意,所以估计$a$的值为15.
方案设计:先捞出$a$条鱼,标上标记,再放回鱼塘,经过一段时间后再捞出若干条鱼,求出其中有标记的鱼的占比$k$,设鱼塘里有$x$条鱼,则$\dfrac{a}{x}=k$,故$x=\dfrac{a}{k}$.
实际应用:
(1)因为经过1号区的行人有60人,使用共享单车的有3人,所以估计事件A的概率是$\dfrac{3}{60}=\dfrac{1}{20}$.
(2)估计1号区至5号区这5个共享单车停车区每天早高峰期间的共享单车平均使用次数分别是$240×\dfrac{1}{20}=12$,$300×\dfrac{4}{100}=12$,$160×\dfrac{9}{90}=16$,$400×\dfrac{18}{120}=60$,$200×\dfrac{7}{70}=20$,
所以估计每日早高峰期间的共享单车总使用次数为$12+12+16+60+20=120$,
所以设计5个共享单车停车区180辆共享单车的投放方案如下:
1号区投放共享单车$180×\dfrac{12}{120}=18$(辆);
2号区投放共享单车$180×\dfrac{12}{120}=18$(辆);
3号区投放共享单车$180×\dfrac{16}{120}=24$(辆);
4号区投放共享单车$180×\dfrac{60}{120}=90$(辆);
5号区投放共享单车$180×\dfrac{20}{120}=30$(辆).
问题探究2:根据题意得$\dfrac{3}{a}=0.2$,解得$a=15$,经检验,$a=15$是原分式方程的解,且符合题意,所以估计$a$的值为15.
方案设计:先捞出$a$条鱼,标上标记,再放回鱼塘,经过一段时间后再捞出若干条鱼,求出其中有标记的鱼的占比$k$,设鱼塘里有$x$条鱼,则$\dfrac{a}{x}=k$,故$x=\dfrac{a}{k}$.
实际应用:
(1)因为经过1号区的行人有60人,使用共享单车的有3人,所以估计事件A的概率是$\dfrac{3}{60}=\dfrac{1}{20}$.
(2)估计1号区至5号区这5个共享单车停车区每天早高峰期间的共享单车平均使用次数分别是$240×\dfrac{1}{20}=12$,$300×\dfrac{4}{100}=12$,$160×\dfrac{9}{90}=16$,$400×\dfrac{18}{120}=60$,$200×\dfrac{7}{70}=20$,
所以估计每日早高峰期间的共享单车总使用次数为$12+12+16+60+20=120$,
所以设计5个共享单车停车区180辆共享单车的投放方案如下:
1号区投放共享单车$180×\dfrac{12}{120}=18$(辆);
2号区投放共享单车$180×\dfrac{12}{120}=18$(辆);
3号区投放共享单车$180×\dfrac{16}{120}=24$(辆);
4号区投放共享单车$180×\dfrac{60}{120}=90$(辆);
5号区投放共享单车$180×\dfrac{20}{120}=30$(辆).
解析
【分析】
这道题围绕统计与概率的实际应用展开，各部分解题思路如下：1.问题探究1：先计算盒子中总球数，用黑球数量除以总球数得到摸到黑球的概率，再用单次摸球的总数量乘该概率，即可估计摸出黑球的可能数量；2.问题探究2：大量重复试验下，频率的稳定值即为事件发生的概率，据此列分式方程求解总球数，注意要检验解是否符合题意；3.方案设计：采用标记重捕法，利用“总体中标记个体的占比=抽样样本中标记个体的占比”的等量关系，即可估计鱼塘总鱼数；4.实际应用(1)：用1号区抽样中使用单车的人数除以抽样总人数得到频率，以此估计事件A的概率；(2)：先结合各停车区的使用概率和人流量，计算每个停车区的预计使用量，再按照各停车区使用量占总使用量的比例，分配180辆共享单车即可。
【解析】
问题探究1
盒子内总球数为$8+32=40$个，摸到黑球的概率为黑球数与总球数的比值，即$\dfrac{8}{40}=\dfrac{1}{5}$；
若摸出10个球，摸出黑球的可能数量为$10×\dfrac{1}{5}=2$个。
问题探究2
大量重复试验后摸到红球的频率稳定在0.2附近，因此摸到红球的概率约为0.2，列等式得：
$\dfrac{3}{a}=0.2$
解得$a=15$，经检验，$a=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
方案设计
采用标记重捕法估计总鱼数：先捞出$a$条鱼，做上不影响其正常活动的标记后放回鱼塘，待鱼群充分混匀后，再捞出若干条鱼，统计其中带标记的鱼的占比$k$；设鱼塘总鱼数为$x$，根据总体标记占比等于样本标记占比，可得$\dfrac{a}{x}=k$，解得$x=\dfrac{a}{k}$，即可估计鱼塘中鱼的总数量。
实际应用
(1) 用抽样频率估计事件A的概率，抽样中经过1号区的行人共60人，其中使用共享单车的有3人，因此$P(A)=\dfrac{3}{60}=\dfrac{1}{20}$。
(2) 第一步：计算各停车区早高峰预计单车使用量：
1号区：$240×\dfrac{3}{60}=12$辆；
2号区：$300×\dfrac{4}{100}=12$辆；
3号区：$160×\dfrac{9}{90}=16$辆；
4号区：$400×\dfrac{18}{120}=60$辆；
5号区：$200×\dfrac{7}{70}=20$辆；
总预计使用量：$12+12+16+60+20=120$辆。
第二步：按各停车区使用量占总使用量的比例分配180辆单车：
1号区投放：$180×\dfrac{12}{120}=18$辆；
2号区投放：$180×\dfrac{12}{120}=18$辆；
3号区投放：$180×\dfrac{16}{120}=24$辆；
4号区投放：$180×\dfrac{60}{120}=90$辆；
5号区投放：$180×\dfrac{20}{120}=30$辆。
【答案】
问题探究1:$\dfrac{1}{5}$;2
问题探究2:15
方案设计:先捞出$a$条鱼,标上标记,再放回鱼塘,经过一段时间后再捞出若干条鱼,求出其中有标记的鱼的占比$k$,设鱼塘里有$x$条鱼,则$\dfrac{a}{x}=k$,故$x=\dfrac{a}{k}$
实际应用:
(1)$\dfrac{1}{20}$
(2)1号区投放18辆，2号区投放18辆，3号区投放24辆，4号区投放90辆，5号区投放30辆
【知识点】
概率计算，频率估计概率，样本估计总体
【点评】
本题结合鱼塘估数、共享单车投放等生活场景，由浅入深考查统计与概率的相关知识，注重理论联系实际，能够有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这道题围绕统计与概率的实际应用展开，各部分解题思路如下：1.问题探究1：先计算盒子中总球数，用黑球数量除以总球数得到摸到黑球的概率，再用单次摸球的总数量乘该概率，即可估计摸出黑球的可能数量；2.问题探究2：大量重复试验下，频率的稳定值即为事件发生的概率，据此列分式方程求解总球数，注意要检验解是否符合题意；3.方案设计：采用标记重捕法，利用“总体中标记个体的占比=抽样样本中标记个体的占比”的等量关系，即可估计鱼塘总鱼数；4.实际应用(1)：用1号区抽样中使用单车的人数除以抽样总人数得到频率，以此估计事件A的概率；(2)：先结合各停车区的使用概率和人流量，计算每个停车区的预计使用量，再按照各停车区使用量占总使用量的比例，分配180辆共享单车即可。
【解析】
问题探究1
盒子内总球数为$8+32=40$个，摸到黑球的概率为黑球数与总球数的比值，即$\dfrac{8}{40}=\dfrac{1}{5}$；
若摸出10个球，摸出黑球的可能数量为$10×\dfrac{1}{5}=2$个。
问题探究2
大量重复试验后摸到红球的频率稳定在0.2附近，因此摸到红球的概率约为0.2，列等式得：
$\dfrac{3}{a}=0.2$
解得$a=15$，经检验，$a=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
方案设计
采用标记重捕法估计总鱼数：先捞出$a$条鱼，做上不影响其正常活动的标记后放回鱼塘，待鱼群充分混匀后，再捞出若干条鱼，统计其中带标记的鱼的占比$k$；设鱼塘总鱼数为$x$，根据总体标记占比等于样本标记占比，可得$\dfrac{a}{x}=k$，解得$x=\dfrac{a}{k}$，即可估计鱼塘中鱼的总数量。
实际应用
(1) 用抽样频率估计事件A的概率，抽样中经过1号区的行人共60人，其中使用共享单车的有3人，因此$P(A)=\dfrac{3}{60}=\dfrac{1}{20}$。
(2) 第一步：计算各停车区早高峰预计单车使用量：
1号区：$240×\dfrac{3}{60}=12$辆；
2号区：$300×\dfrac{4}{100}=12$辆；
3号区：$160×\dfrac{9}{90}=16$辆；
4号区：$400×\dfrac{18}{120}=60$辆；
5号区：$200×\dfrac{7}{70}=20$辆；
总预计使用量：$12+12+16+60+20=120$辆。
第二步：按各停车区使用量占总使用量的比例分配180辆单车：
1号区投放：$180×\dfrac{12}{120}=18$辆；
2号区投放：$180×\dfrac{12}{120}=18$辆；
3号区投放：$180×\dfrac{16}{120}=24$辆；
4号区投放：$180×\dfrac{60}{120}=90$辆；
5号区投放：$180×\dfrac{20}{120}=30$辆。
【答案】
问题探究1:$\dfrac{1}{5}$;2
问题探究2:15
方案设计:先捞出$a$条鱼,标上标记,再放回鱼塘,经过一段时间后再捞出若干条鱼,求出其中有标记的鱼的占比$k$,设鱼塘里有$x$条鱼,则$\dfrac{a}{x}=k$,故$x=\dfrac{a}{k}$
实际应用:
(1)$\dfrac{1}{20}$
(2)1号区投放18辆，2号区投放18辆，3号区投放24辆，4号区投放90辆，5号区投放30辆
【知识点】
概率计算，频率估计概率，样本估计总体
【点评】
本题结合鱼塘估数、共享单车投放等生活场景，由浅入深考查统计与概率的相关知识，注重理论联系实际，能够有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
