8. (宿迁中考)规定:若函数$y_1$的图象与函数$y_2$的图象有三个不同的公共点,则称这两个函数互为“兄弟函数”,其公共点称为“兄弟点”.
(1)下列三个函数①$y=x+1$;②$y=-\dfrac{3}{x}$;③$y=-x^2+1$,其中与二次函数$y=2x^2-4x-3$互为“兄弟函数”的是(填写序号).
(2)若函数$y_1=ax^2-5x+2(a≠0)$与$y_2=-\dfrac{1}{x}$互为“兄弟函数”,$x=1$是其中一个“兄弟点”的横坐标.
①求实数$a$的值;
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是,.
(3)若函数$y_1=|x-m|$（$m$为常数）与$y_2=-\dfrac{2}{x}$互为“兄弟函数”,三个“兄弟点”的横坐标分别为$x_1,x_2,x_3$,且$x_1＜x_2＜x_3$,求$(x_2+x_3-2x_1)^2$的取值范围.

8. (1)② 解析:作出 $y=x+1$,$y=-\dfrac{3}{x}$,$y=-x^2+1$ 分别与 $y=2x^2-4x-3$ 在同一坐标系下的图象,如图①②③.

观察发现,只有图②中两个函数图象有3个交点.因此只有②符合题意.
(2)①将 $x=1$ 代入 $y_2=-\dfrac{1}{x}$,得 $y=-1$,将 $(1,-1)$ 代入 $y_1=ax^2-5x+2$,得 $a-5+2=-1$,解得 $a=2$.
②$\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}$ $\dfrac{3-\sqrt{17}}{4}$ 解析:联立 $\begin{cases} y_1=2x^2-5x+2,\\ y_2=-\dfrac{1}{x}, \end{cases}$ 即 $2x^3-5x^2+2x+1=0$,
∵ $x=1$ 是其中一个解,设 $2x^3-5x^2+2x+1=(x-1)(kx^2+lx+m)$,则 $\begin{cases} k=2,\\ l-k=-5,\\ m-l=2,\\ -m=1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=2,\\ l=-3,\\ m=-1. \end{cases}$
∴ 因式分解得 $(x-1)(2x^2-3x-1)=0$,则 $2x^2-3x-1=0$,解得 $x=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{4}$,
∴ 另外两个“兄弟点”的横坐标是$\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}$,$\dfrac{3-\sqrt{17}}{4}$.
(3)由于 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的图象在第二、四象限,且 $y=|x-m|≥0$,由此可得 $x_1,x_2,x_3＜0$.
∵ $y=|x-m|=\begin{cases} x-m(x≥ m),\\ -x+m(x＜m), \end{cases}$
∴ 将其分别联立,当 $x＜m$ 时,联立 $\begin{cases} y=-x+m,\\ y=-\dfrac{2}{x}, \end{cases}$ 得 $-x^2+mx+2=0$,由于 $m^2+8＞0$,
∴ 这一方程总有 2 个解,解得 $x=\dfrac{m+\sqrt{m^2+8}}{2}(x＞0$,舍去)或 $x=\dfrac{m-\sqrt{m^2+8}}{2}$($x＜0$,保留).当 $x≥ m$ 时,联立 $\begin{cases} y=x-m,\\ y=-\dfrac{2}{x}, \end{cases}$ 得 $-x^2+mx-2=0$,解得 $x=\dfrac{m+\sqrt{m^2-8}}{2}$ 或 $x=\dfrac{m-\sqrt{m^2-8}}{2}$.由于 $x≥ m$,从而得到 $m＜0$.为了使得这一方程有 2 个解,要求 $m^2-8＞0$,即 $m^2＞8$.由于 $\dfrac{m+\sqrt{m^2-8}}{2}＞\dfrac{m-\sqrt{m^2-8}}{2}＞\dfrac{m-\sqrt{m^2+8}}{2}$, 故 $x_1=\dfrac{m-\sqrt{m^2+8}}{2}$, $x_2=\dfrac{m-\sqrt{m^2-8}}{2}$,$x_3=\dfrac{m+\sqrt{m^2-8}}{2}$,$\therefore (x_2+x_3-2x_1)^2=(m-2·\dfrac{m-\sqrt{m^2+8}}{2})^2=(\sqrt{m^2+8})^2=m^2+8＞16$.

9. (宜昌中考)已知抛物线$y=ax^2+bx-2$与x轴交于$A(-1,0),B(4,0)$两点，与y轴交于点C。直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点$E(0,n)$。四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为$M(m+1,m+3),N(m+1,m),P(m+5,m),Q(m+5,m+3)$。
(1)填空：$a=$，$b=$。
(2)若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线$y=\frac{k}{x}$有且只有一个交点，求$n^2$的最大值。
(3)当直线l与四边形MNPQ、抛物线$y=ax^2+bx-2$都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线$y=ax^2+bx-2$的交点的纵坐标。
①当$m=-3$时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围。

备用图

9. (1)$\dfrac{1}{2}$ $-\dfrac{3}{2}$
(2)设直线 $BC$ 的解析式为 $y=dx+e(d≠0)$,
∵ 直线 $BC$ 经过 $B(4,0)$ 和 $C(0,-2)$ ,
∴ $\begin{cases} 4d+e=0,\\ e=-2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} d=\dfrac{1}{2},\\ e=-2, \end{cases}$
∴ 直线 $BC$: $y=\dfrac{1}{2}x-2$.
∵ 直线 $BC$ 平移得到直线 $l$,且直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $E(0,n)$,
∴ 直线 $l$:$y=\dfrac{1}{2}x+n$.
∵ 双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 经过点 $M(m+1,m+3)$ ,
∴ $k=(m+1)(m+3)=m^2+4m+3$,
∴ $y=\dfrac{m^2+4m+3}{x}$.
∵ 直线 $l$ 与双曲线有且只有一个交点,联立解析式得 $\begin{cases} y=\dfrac{1}{2}x+n,\\ y=\dfrac{m^2+4m+3}{x}, \end{cases}$
∴ $\dfrac{1}{2}x+n=\dfrac{m^2+4m+3}{x}$,整理得 $x^2+2nx-2m^2-8m-6=0$,$\therefore \Delta=0$,即 $(2n)^2-4(-2m^2-8m-6)=0$,化简得 $n^2+2m^2+8m+6=0$,$\therefore n^2=-2m^2-8m-6=-2(m+2)^2+2$.
∵ 点 $M$ 在第二象限,
∴ $\begin{cases} m+1＜0,\\ m+3＞0, \end{cases}$ 解得 $-3＜m＜-1$.
∴ 当 $m=-2$ 时,$n^2$ 可以取得最大值,最大值为 2.
(3)①$\dfrac{1}{2}≤ n≤1$ 或 $n=-4$. 解析:如图①,当直线 $l$ 与抛物线有交点时,联立 $\begin{cases} y=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x-2,\\ y=\dfrac{1}{2}x+n, \end{cases}$ 得 $\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x-2=\dfrac{1}{2}x+n$,整理得 $x^2-4x-4-2n=0$.
∵ $\Delta≥0$,即 $16+16+8n≥0$,$\therefore n≥-4$,当 $n=-4$ 时,直线 $l$:$y=\dfrac{1}{2}x-4$ 与抛物线有且只有一个交点 $F(2,-3)$.

当 $m=-3$ 时,四边形 $MNPQ$ 的顶点分别为 $M(-2,0)$,$N(-2,-3)$,$P(2,-3)$,$Q(2,0)$.
第一种情况:如图②,当直线 $l$ 经过 $P(2,-3)$ 时,此时 $P(2,-3)$ 与 $F(2,-3)$ 重合.
∴ $n=-4$ 时,直线 $l$ 与四边形 $MNPQ$、抛物线 $y=ax^2+bx-2$ 都有交点,且满足直线 $l$ 与矩形 $MNPQ$ 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线 $y=ax^2+bx-2$ 的交点的纵坐标.
第二种情况:当直线 $l$ 经过点 $A$ 时,如图③所示, $\dfrac{1}{2}×(-1)+n=0$,解得 $n=\dfrac{1}{2}$;当直线 $l$ 经过点 $M$ 时,如图④所示, $\dfrac{1}{2}×(-2)+n=0$,解得 $n=1$,$\therefore \dfrac{1}{2}≤ n≤1$.综上所述,$n$ 的取值范围为 $\dfrac{1}{2}≤ n≤1$ 或 $n=-4$.

②(Ⅰ) 当 $m$ 的值逐渐增大到使矩形 $MNPQ$ 的顶点 $M(m+1,m+3)$ 在直线 $y=\dfrac{1}{2}x-4$ 上时,直线 $l$ 与四边形 $MNPQ$、抛物线 $y=ax^2+bx-2$ 同时有交点,且同一直线 $l$ 与四边形 $MNPQ$ 的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标,得 $m+3=\dfrac{1}{2}(m+1)-4$,解得 $m=-13$.
(Ⅱ) 如图⑤,当 $m$ 的值逐渐增大到使矩形 $MNPQ$ 的顶点 $M(m+1,m+3)$ 在这条开口向上的抛物线上(对称轴左侧)时,存在直线 $l$(即经过此时点 $M$ 的直线 $l$)与四边形 $MNPQ$、抛物线 $y=ax^2+bx-2$ 同时有交点,且同一直线 $l$ 与四边形 $MNPQ$ 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标,得 $\dfrac{1}{2}(m+1)^2-\dfrac{3}{2}(m+1)-2=m+3$,化简得 $m^2-3m-12=0$,解得 $m_1=\dfrac{3+\sqrt{57}}{2}$(舍去),$m_2=\dfrac{3-\sqrt{57}}{2}$,从(Ⅰ)到(Ⅱ),在 $m$ 的值逐渐增大的过程中,均存在直线 $l$,同时与矩形 $MNPQ$、抛物线 $y=ax^2+bx-2$ 相交,且对于同一条直线 $l$ 上的交点,直线 $l$ 与矩形 $MNPQ$ 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标.
综上所述,$m$ 的取值范围为 $-13≤ m≤\dfrac{3-\sqrt{57}}{2}$.