1. (广州中考)已知正比例函数$y_1=ax$的图象经过点$(1,-1)$，反比例函数$y_2=\frac{b}{x}$的图象位于第一、三象限，则一次函数$y=ax+b$的图象一定不经过（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

1. C 解析:
∵ 正比例函数$y_1 = ax$的图象经过点$(1,-1)$,点$(1,-1)$位于第四象限,
∴ 正比例函数$y_1 = ax$的图象经过第二、四象限,$\therefore a＜0$.
∵ 反比例函数$y_2=\frac{b}{x}$的图象位于第一、三象限,$\therefore b＞0$,
∴ 一次函数$y=ax+b$的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,故选 C.

2.（淮安中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=\sqrt{3}x+b$的图象分别与$x$轴、$y$轴交于$A$，$B$两点，且与反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限内的图象交于点$C$。若点$A$的坐标为$(2,0)$，$\frac{CA}{AB}=\frac{1}{2}$，则$k$的值是（）

A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$

2. C 解析:如图,连接$CO$,过点$C$作$CH ⊥ OA$于点$H$,
∵ 点$A$在一次函数图象上,将点$A$坐标代入一次函数解析式得到$b=-2\sqrt{3}$,
∴ 一次函数解析式为 $y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$. 当 $x=0$ 时, $y=-2\sqrt{3}$,
∴ $B(0,-2\sqrt{3})$ , $OB=2\sqrt{3}$. $\because \frac{CA}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴ $S_{△ COA}:S_{△ AOB}=1:2$. 又
∵ $△ COA$和$△ AOB$共用一条边$OA$,
∴ $CH:OB=1:2$,$\therefore CH=2\sqrt{3}÷2=\sqrt{3}$,
∴ 将点$C$的纵坐标代入一次函数中,得到横坐标为3,
∴ 点$C$的坐标为$(3,\sqrt{3})$ ,$\therefore k=3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.

3. (荆州中考)边长为1的8个正方形如图摆放在平面直角坐标系中,直线$y=k_1x$平分这8个正方形所组成的图形的面积,交其中两个正方形的边于A,B两点,过B点的双曲线$y=\frac{k_2}{x}$的一支交其中两个正方形的边于C,D两点,连接OC,OD,CD,则$S_{△ OCD}=$.

3. $\frac{119}{48}$ 解析:设 $A(4,t)$,利用面积法得到 $\frac{1}{2}×4× t=4+1$,解方程得 $t=\frac{5}{2}$,$\therefore A(4,\frac{5}{2})$.利用待定系数法求出直线 $OA$ 的解析式为 $y=\frac{5}{8}x$,再确定 $B(2,\frac{5}{4})$,接着利用待定系数法确定双曲线的解析式为 $y=\frac{5}{2x}$.
∵ 点 $C$ 纵坐标为 2,点 $D$ 横坐标为 3,$\therefore C(\frac{5}{4},2)$,$D(3,\frac{5}{6})$,然后用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出 $S_{△ OCD}$ 的面积为 $\frac{119}{48}$.

4.（新疆中考）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数$y=-2x$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$A(a,-4)$，$B$两点，过原点$O$的另一条直线$l$与双曲线$y=\frac{k}{x}$交于$P,Q$两点（点$P$在第二象限），若以点$A,B,P,Q$为顶点的四边形面积为24，则点$P$的坐标是。

4. $(-4,2)$或$(-1,8)$ 解析:将 $y=-4$ 代入 $y=-2x$ 中,得出 $x=2$,
∴ 点 $A(2,-4)$ ,$\therefore k=-8$. 联立 $\begin{cases} y=-2x,\\ y=-\dfrac{8}{x}, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=2,\\ y=-4 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=-2,\\ y=4, \end{cases}$ $\therefore B(-2,4)$.
设 $P(m,-\dfrac{8}{m})$,同理可得 $Q(-m,\dfrac{8}{m})$,则 $OA=OB$,$OP=OQ$,连接 $PB$,$BQ$,$AQ$,$PA$,因此以$A$,$B$,$P$,$Q$ 为顶点的四边形是平行四边形, $\therefore S_{△ POB}=\dfrac{1}{4}S_{\mathrm{平行四边形}AQBP}=6$. 如图,过点 $P$,$B$ 分别作 $x$ 轴的垂线,垂足分别为 $M$,$N$,$S_{△ POM}=S_{△ BON}=4$.
若 $m＜-2$,则 $\dfrac{1}{2}(4-\dfrac{8}{m})·(-2-m)=6$,$\therefore m_1=-4$,$m_2=1$(舍去),$\therefore P(-4,2)$;若 $-2＜m＜0$,则 $\dfrac{1}{2}(4-\dfrac{8}{m})·(m+2)=6$,解得 $m_1=-1$,$m_2=4$(舍去),$\therefore P(-1,8)$.综上,点 $P$ 的坐标是$(-4,2)$或$(-1,8)$.

5. 如图,已知抛物线$y=ax^2 -4x + c(a≠0)$与反比例函数$y=\frac{9}{x}$的图象相交于点B,且点B的横坐标为3,抛物线与y轴交于点C(0,6),A是抛物线$y=ax^2 -4x + c$的顶点,点P是x轴上一动点,当PA+PB最小时,点P的坐标为.

5. $(\dfrac{12}{5},0)$ 解析:如图,作点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'$,连接 $A'B$,则 $A'B$ 与 $x$ 轴的交点即为所求.
∵ 抛物线与 $y$ 轴交于点 $C(0,6)$ ,$\therefore c=6$.
∵ 点 $B$ 的横坐标为 3 且 $B$ 在 $y=\dfrac{9}{x}$ 的图象上,
∴ 点 $B(3,3)$.代入二次函数解析式得 $a=1$ ,$\therefore y=x^2-4x+6=(x-2)^2+2$,
∴ 点 $A$ 的坐标为 $(2,2)$,
∴ 点 $A'$ 的坐标为 $(2,-2)$.用待定系数法求得过点 $A'(2,-2)$ 和点 $B(3,3)$ 的直线的解析式为 $y=5x-12$,令 $y=0$,解得 $x=\dfrac{12}{5}$,故点 $P(\dfrac{12}{5},0)$.

6. (2026·芜湖期末)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象如图所示，则反比例函数$y=\frac{c}{x}$与一次函数$y=ax-b$在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）

6. A 解析:
∵ 抛物线开口向上,
∴ $a＞0$.
∵ 抛物线的对称轴在 $y$ 轴的右边,
∴ $-\dfrac{b}{2a}＞0$,故 $\dfrac{b}{a}＜0$,$\therefore b＜0$,$\therefore -b＞0$.
∵ 抛物线与$y$轴交点在负半轴,$\therefore c＜0$,
∴ 反比例函数 $y=\dfrac{c}{x}$ 的图象分布在第二、四象限,一次函数 $y=ax-b$ 的图象经过第一、二、三象限,故选 A.

7.（安徽中考）已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限内的图象与一次函数$y=-x+b$的图象如图所示，则函数$y=x^2 -bx +k -1$的图象可能为（）

7. A 解析:
∵ 一次函数 $y=-x+b$ 的图象经过第一、二、四象限,且与 $y$ 轴交于正半轴,
∴ $b＞0$.
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过第一象限,
∴ $k＞0$,
∴ 函数 $y=x^2-bx+k-1$ 的图象开口向上,对称轴为直线 $x=\dfrac{b}{2}＞0$.由图象可知,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 与一次函数 $y=-x+b$ 的图象有两个交点 $(1,k)$ 和 $(k,1)$,$\therefore -1+b=k$,$\therefore b=k+1$,
∴ 对于函数 $y=x^2-bx+k-1$,当 $x=1$ 时,$y=1-b+k-1=-1$,
∴ 函数 $y=x^2-bx+k-1$ 的图象过点 $(1,-1)$.
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 与一次函数 $y=-x+b$ 的图象有两个交点,
∴ 方程 $\dfrac{k}{x}=-x+b$ 有两个不相等的实数根,
∴ $\Delta=b^2-4k=(k+1)^2-4k=(k-1)^2＞0$,$\therefore k-1≠0$,
∴ 当 $x=0$ 时,$y=k-1≠0$,
∴ 函数 $y=x^2-bx+k-1$ 的图象不经过原点,
∴ 符合以上条件的只有 A 选项.