9.在平面直角坐标系中,将点$P(2m-1,m)$先向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度得到点$Q$.若点$Q$恰好落在$y$轴上,则点$P$的坐标是.

9.$(3,2)$

【分析】
要解决这道题，首先要掌握平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：横坐标遵循左减右加，纵坐标遵循上加下减。先根据平移规则写出平移后点Q的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0的特征，列出关于m的方程，解出m的值后即可求出点P的坐标。
【解析】
1. 求平移后点Q的坐标：
点$P(2m-1,m)$向左平移3个单位长度，横坐标减3；向下平移1个单位长度，纵坐标减1，因此点Q的坐标为$(2m-1-3, m-1)$，化简得$(2m-4, m-1)$。
2. 根据y轴上点的特征列方程：
点Q落在y轴上，而y轴上所有点的横坐标为0，因此可得方程：
$2m-4=0$
解得$m=2$。
3. 计算点P的坐标：
将$m=2$代入点P的坐标$(2m-1,m)$，横坐标为$2×2-1=3$，纵坐标为$2$，即点P的坐标为$(3,2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
点的平移坐标规律；y轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握坐标平移的变化规则和坐标轴上点的坐标特点，通过建立方程求解未知参数即可得到结果，注意平移时坐标加减的方向不要混淆。
【难度系数】
0.8

10.如图,已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(0,2),B(4,0),C(-1,-1),点P(a,b)平移后得到点P₁(a−4,b+3),将三角形ABC作同样的平移得到三角形A₁B₁C₁.
(1)画出平移后的三角形A₁B₁C₁;
(2)三角形ABC的面积为;
(3)已知点P在y轴上,且三角形PAC的面积等于三角形ABC面积的一半,求点P的坐标.

10.解:(1)如图,三角形$A_1B_1C_1$即为所求.

(2)7
(3)因为点P在y轴上,所以$a=0$.
因为三角形PAC的面积等于三角形ABC面积的一半,且$A(0,2),C(-1,-1)$,
所以易得$\frac{1}{2}|b-2|×1=\frac{1}{2}×7$,所以$b=9$或$b=-5$,
所以点P的坐标为$(0,9)$或$(0,-5)$.

【分析】
(1) 首先明确平移规则：点平移后横坐标减4，纵坐标加3，先分别计算A、B、C三点平移后的对应点坐标，再依次描点、连线即可画出平移后的三角形。
(2) 求不规则三角形面积，采用割补法：将三角形放入外接矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
(3) 点P在y轴上，故横坐标为0，设P(0,b)，△PAC以AP为底，底长为|b-2|，高为点C到y轴的水平距离1，根据面积关系列方程求解即可，注意绝对值的两种情况避免漏解。
【解析】
(1) 根据平移规则：点$(x,y)$平移后变为$(x-4,y+3)$，计算得：
$A(0,2)$平移后对应点$A_1(0-4,2+3)=(-4,5)$，
$B(4,0)$平移后对应点$B_1(4-4,0+3)=(0,3)$，
$C(-1,-1)$平移后对应点$C_1(-1-4,-1+3)=(-5,2)$，
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 用割补法计算$△ ABC$面积：
作边界过A、B、C三点且平行于坐标轴的外接矩形，矩形长为$4-(-1)=5$，宽为$2-(-1)=3$，矩形面积$=5×3=15$。
周围三个直角三角形的面积分别为：
① 以AB为斜边的三角形：$S_1=\frac{1}{2}×4×2=4$，
② 以BC为斜边的三角形：$S_2=\frac{1}{2}×5×1=2.5$，
③ 以AC为斜边的三角形：$S_3=\frac{1}{2}×1×3=1.5$，
故$S_{△ ABC}=15-4-2.5-1.5=7$。
(3) 设点P坐标为$(0,b)$（因P在y轴上，横坐标为0），
AP的长度为$|b-2|$，点C到y轴的距离为$|-1|=1$，即$△ PAC$的高为1，
由题意得$S_{△ PAC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{7}{2}$，
代入三角形面积公式：$\frac{1}{2}×|b-2|×1=\frac{7}{2}$，
化简得$|b-2|=7$，
解得$b-2=7$或$b-2=-7$，即$b=9$或$b=-5$，
故点P的坐标为$(0,9)$或$(0,-5)$。
【答案】
(1) 如图,三角形$A_1B_1C_1$即为所求.

(2) 7
(3) $(0,9)$或$(0,-5)$
【知识点】
坐标平移，割补法求面积，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的相关应用，平移作图的关键是准确计算对应点坐标，面积计算要熟练掌握割补法的使用，第三问求解时要注意绝对值的分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在平面直角坐标系中有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,依次为$(1,0)$,$(2,0)$,$(2,1)$,$(3,1)$,$(3,0)$,$(3,-1)$,….根据这个规律,可得第55个点的坐标为 ()

A.$(10,0)$
B.$(10,1)$
C.$(10,5)$
D.$(10,4)$

11.C

【分析】
要解决这道题，首先需要观察点的排列规律：①横坐标为k时，对应有k个整数点；②横坐标为偶数和奇数时，纵坐标的排列方向不同。我们先通过等差数列求和公式计算前k个横坐标对应的总点数，找到第55个点对应的横坐标，再根据偶数横坐标的纵坐标排列规律，求出对应的纵坐标即可。
【解析】
步骤1：总结点数和横坐标的关系
观察可得：横坐标为1的点有1个，横坐标为2的点有2个，……，横坐标为k的点有k个，因此前k个横坐标的点的总个数为：
$S_k=1+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$
步骤2：确定第55个点的横坐标
代入计算，当k=10时，$S_{10}=\frac{10×11}{2}=55$，刚好等于总点数55，说明第55个点是横坐标为10的所有点中的最后一个点。
步骤3：确定纵坐标
观察排列规律：横坐标为偶数时，纵坐标从下到上递增，最后一个点的纵坐标为$\frac{k}{2}$；横坐标为奇数时，纵坐标从上到下递减，最后一个点的纵坐标为$-\frac{k-1}{2}$。
因为10是偶数，所以第55个点的纵坐标为$\frac{10}{2}=5$，即坐标为$(10,5)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标；规律探究；等差数列求和
【点评】
本题属于平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是从已知点的排列中归纳出横坐标对应点数的规律，以及奇偶横坐标下纵坐标的排列方向，能较好地考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.6

12.[新定义问题]在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点叫作整点.给出如下定义:对于任意两个整点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$,$M$与$N$的“直角距离”记为$d_{MN}=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$.例如,点$M(1,5)$与$N(7,2)$的“直角距离”$d_{MN}=|1-7|+|5-2|=9$.
(1)已知点$A(3,-1)$.
①点$A$与点$B(1,3)$的“直角距离”$d_{AB}=$;
②若点$A$与整点$C(-2,m)$的“直角距离”$d_{AC}=8$,则$m$的值为.
(2)为了做好社区消防,需要在某个整点处建一个消防站$P$,要求是:消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小.目前该社区内有两个火警高危点,分别是$D(-3,-2)$和$E(2,2)$,如图.
①若对于火警高危点$D$和$E$,消防站$P$不仅要满足上述条件,还需要消防站$P$到$D,E$两个点的“直角距离”之差的绝对值最小,则满足条件的消防站$P$的坐标可以是(写出一个即可),所有满足条件的消防站$P$的位置共有个;
②在设计过程中,如果社区还有一个火警高危点$F(4,-3)$,那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站$P$的坐标为.

12.解:(1)①6 ②2或-4
(2)①$(0,0)$(答案不唯一) 10 【解析】因为$D(-3,-2)$,$E(2,2)$,所以直角距离$d_{DE}=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9$,所以点P到D,E两个点的“直角距离”之和的最小值为9.因为点P到D,E两个点的“直角距离”之差的绝对值最小,所以$\begin{cases}d_{PD}=5,\\d_{PE}=4\end{cases}$或$\begin{cases}d_{PD}=4,\\d_{PE}=5,\end{cases}$所以点P的坐标可以是$(0,0)$.所以满足条件的消防站P的位置如图所示,且P的位置共有10个.

②$(2,-2)$

【分析】
本题是新定义类问题，解题核心是准确理解“直角距离”的定义，将其转化为绝对值运算求解：
(1) ①直接将点A、B的坐标代入“直角距离”公式，计算绝对值的和即可；②代入点A、C的坐标得到含绝对值的方程，解绝对值方程求m的值。
(2) ①首先求出D、E两点的直角距离，可知点P到D、E的直角距离之和的最小值等于$d_{DE}$，此时P在D、E横纵坐标的区间范围内；要使两点直角距离之差的绝对值最小，结合两者和为定值9，可知差最小为1，即两个距离分别为4和5，找出符合条件的整点即可，统计总数。
②三个点的直角距离之和可分离横坐标、纵坐标分别计算最小值，根据绝对值和的最值规律：多个绝对值的和取最小值时，变量取对应数据的中位数，分别求出x、y的最优值即得P点坐标。
【解析】
(1) ①根据“直角距离”定义：
$d_{AB}=|3-1|+|-1-3|=|2|+|-4|=2+4=6$。
②由题意得$d_{AC}=|3-(-2)|+|-1-m|=5+|m+1|=8$，
整理得$|m+1|=3$，
所以$m+1=3$或$m+1=-3$，
解得$m=2$或$m=-4$。
(2) ①首先计算D、E的直角距离：
$d_{DE}=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9$，
根据直角距离的性质，点P到D、E的直角距离之和$d_{PD}+d_{PE}≥ d_{DE}$，当P的横坐标在$-3≤ x≤ 2$、纵坐标在$-2≤ y≤ 2$范围内时，和取最小值9。
要使$|d_{PD}-d_{PE}|$最小，因$d_{PD}+d_{PE}=9$，故差最小为1，即$\begin{cases}d_{PD}=5\\d_{PE}=4\end{cases}$或$\begin{cases}d_{PD}=4\\d_{PE}=5\end{cases}$，
例如点$(0,0)$：$d_{PD}=|0+3|+|0+2|=5$，$d_{PE}=|0-2|+|0-2|=4$，符合要求。
统计所有符合条件的整点，共有10个，位置如下：

②设点P坐标为$(x,y)$，则P到三个点的直角距离之和为：
$S=|x+3|+|x-2|+|x-4| + |y+2|+|y-2|+|y+3|$
对于x对应的部分：三个横坐标为-3、2、4，当$x=2$时，$|x+3|+|x-2|+|x-4|$取最小值；
对于y对应的部分：三个纵坐标为-3、-2、2，当$y=-2$时，$|y+2|+|y-2|+|y+3|$取最小值；
故满足条件的P点坐标为$(2,-2)$。
【答案】
(1)①$\boxed{6}$；②$\boxed{2}$或$\boxed{-4}$
(2)①$\boxed{(0,0)}$（答案不唯一），$\boxed{10}$ ；②$\boxed{(2,-2)}$
【知识点】
新定义问题，绝对值的性质，平面直角坐标系
【点评】
本题以“直角距离”的新定义为载体，综合考查绝对值运算、方程求解、最值分析等能力，解题的关键是读懂新定义，将陌生的“直角距离”转化为熟悉的绝对值运算，对于多个点的距离和最值问题，可分离横纵坐标分别分析，简化计算。
【难度系数】
0.6