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1.「2026山东德州期中」如图所示的各图形由大小相同的黑点组成，图1中有2个黑点，图2中有7个黑点，图3中有14个黑点，……，按此规律，第8个图中黑点的个数是 （
A.79
B.81
C.98
D.119
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1.「2026山东德州期中」如图所示的各图形由大小相同的黑点组成，图1中有2个黑点，图2中有7个黑点，图3中有14个黑点，……，按此规律，第8个图中黑点的个数是 （
A
）A.79
B.81
C.98
D.119
答案
∵题图1中有2=[(1+1)²-2]个黑点，
题图2中有7=[(2+1)²-2]个黑点，
题图3中有14=[(3+1)²-2]个黑点，
……
∴第8个图中黑点的个数为(8+1)²-2=81-2=79,故选A.
2.「2026山东济南莱芜月考」小明用棋子按一定的规律摆了如图所示的三个图案，若小明继续摆下去，请解决下列问题.
(1)摆第5个图案需用
(2)摆第n个图案需用
(3)是否存在一个图案,所需棋子颗数为113?若存在,求出是第几个;若不存在,请说明理由.
(1)摆第5个图案需用
21
颗棋子.(2)摆第n个图案需用
4n+1
颗棋子(用含n的代数式表示).(3)是否存在一个图案,所需棋子颗数为113?若存在,求出是第几个;若不存在,请说明理由.
答案
(1)摆第1个图案需用的棋子颗数为5=1×4+1；
摆第2个图案需用的棋子颗数为9=2×4+1；
摆第3个图案需用的棋子颗数为13=3×4+1；
……
所以摆第n个图案需用的棋子颗数为4n+1，
当n=5时,4n+1=4×5+1=21，
所以摆第5个图案需用的棋子颗数为21.
(2)由(1)知,摆第n个图案需用的棋子颗数为4n+1.
(3)存在.
令4n+1=113,得n=28，
所以摆第28个图案需用的棋子颗数为113.
摆第2个图案需用的棋子颗数为9=2×4+1；
摆第3个图案需用的棋子颗数为13=3×4+1；
……
所以摆第n个图案需用的棋子颗数为4n+1，
当n=5时,4n+1=4×5+1=21，
所以摆第5个图案需用的棋子颗数为21.
(2)由(1)知,摆第n个图案需用的棋子颗数为4n+1.
(3)存在.
令4n+1=113,得n=28，
所以摆第28个图案需用的棋子颗数为113.
3.「2026山东淄博月考」一列单项式按以下规律排列：
$x, -3x^2, 5x^2, -7x, 9x^2, -11x^2, 13x, ···$,则第2025个单项式是 （
A.$4049x$
B.$-4049x^2$
C.$4049x^2$
D.$-4049x$
$x, -3x^2, 5x^2, -7x, 9x^2, -11x^2, 13x, ···$,则第2025个单项式是 （
C
）A.$4049x$
B.$-4049x^2$
C.$4049x^2$
D.$-4049x$
答案
由题意可得系数的绝对值为连续的奇数,且奇数项为负,偶数项为正,字母指数以1,2,2为一组依次循环，
∵2 025÷3=675，
∴第2 025个单项式的系数为$(-1)^{2025+1}×(2×2025-1)=(-1)^{2026}×4049=1×4049=4049$,指数为2，
∴第2 025个单项式为$4049x^2$.故选C.
∵2 025÷3=675，
∴第2 025个单项式的系数为$(-1)^{2025+1}×(2×2025-1)=(-1)^{2026}×4049=1×4049=4049$,指数为2，
∴第2 025个单项式为$4049x^2$.故选C.
4.观察下列式子：
$3^2 - 1^2 = 8 × 1$；
$5^2 - 3^2 = 8 × 2$；
$7^2 - 5^2 = 8 × 3$；
……
按照上述规律，$2023^2 - 2021^2 = 8 ×$
$3^2 - 1^2 = 8 × 1$；
$5^2 - 3^2 = 8 × 2$；
$7^2 - 5^2 = 8 × 3$；
……
按照上述规律，$2023^2 - 2021^2 = 8 ×$
1011
。答案
答案 1 011
解析 因为$3^2-1^2=8×1,5^2-3^2=8×2,7^2-5^2=8×3$，……,所以可得规律为$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$,所以$2023^2-2021^2=8×1011$,故答案为1 011.
解析 因为$3^2-1^2=8×1,5^2-3^2=8×2,7^2-5^2=8×3$，……,所以可得规律为$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$,所以$2023^2-2021^2=8×1011$,故答案为1 011.
5.小明对小丽说:“请你任意想一个数,把这个数乘2后加12,然后除以6,再减去你原来所想的那个数减6的差的三分之一,我可以知道你计算的结果.”请你根据小明的说法探索:
(1)如果小丽一开始想的那个数是-5,请列式并计算结果.
(2)如果小丽一开始想的那个数是$2m-3n$,请列式并计算结果.
(3)根据(1)(2),尝试写出一个结论.
(1)如果小丽一开始想的那个数是-5,请列式并计算结果.
(2)如果小丽一开始想的那个数是$2m-3n$,请列式并计算结果.
(3)根据(1)(2),尝试写出一个结论.
答案
(1)$(-5×2+12)÷6-\frac{1}{3}×(-5-6)=\frac{1}{3}+\frac{11}{3}=4$.
(2)$[2(2m-3n)+12)]÷6-\frac{1}{3}[(2m-3n)-6]$
$=[2(2m-3n)+12)]×\frac{1}{6}-\frac{1}{3}[(2m-3n)-6]$
$=\frac{1}{3}(2m-3n)+2-\frac{1}{3}(2m-3n)+2=4$.
(3)无论小丽一开始想的数是多少,得出的结果都是4.
(2)$[2(2m-3n)+12)]÷6-\frac{1}{3}[(2m-3n)-6]$
$=[2(2m-3n)+12)]×\frac{1}{6}-\frac{1}{3}[(2m-3n)-6]$
$=\frac{1}{3}(2m-3n)+2-\frac{1}{3}(2m-3n)+2=4$.
(3)无论小丽一开始想的数是多少,得出的结果都是4.
6. 学科特色教材变式「★☆」如图所示的是某月的月历表，在此月历表中用阴影十字框选中5个数(如2,8,9,10,16).若这样的阴影十字框上下左右移动可选中这张月历表中的任意5个数,则这5个数的和可能为 (
A.41
B.125
C.75
D.116
C
)A.41
B.125
C.75
D.116
答案
设阴影十字框中间的数为x，
则另外四个数分别是x-7,x-1,x+1,x+7，
所以这5个数的和为x-7+x-1+x+x+1+x+7=5x，
因为41÷5=8……1,116÷5=23……1，
故A,D不符合题意；
当5x=125时,x=25,25在月历表左下角，
故B不符合题意；
当5x=75时,x=15,故C符合题意.故选C.
则另外四个数分别是x-7,x-1,x+1,x+7，
所以这5个数的和为x-7+x-1+x+x+1+x+7=5x，
因为41÷5=8……1,116÷5=23……1，
故A,D不符合题意；
当5x=125时,x=25,25在月历表左下角，
故B不符合题意；
当5x=75时,x=15,故C符合题意.故选C.
7.「2026山东青岛李沧月考，★☆」如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，……，按此规律摆下去，若第n个图中有93颗黑色棋子，则n的值为（
）
A.28
B.31
C.29
D.30
）A.28
B.31
C.29
D.30
答案
观察题图可知，
第1个图中黑色棋子的颗数为6=1×3+3；
第2个图中黑色棋子的颗数为9=2×3+3；
第3个图中黑色棋子的颗数为12=3×3+3；
……
所以第n个图中黑色棋子的颗数为3n+3.
令3n+3=93,解得n=30，
故选D.
第1个图中黑色棋子的颗数为6=1×3+3；
第2个图中黑色棋子的颗数为9=2×3+3；
第3个图中黑色棋子的颗数为12=3×3+3；
……
所以第n个图中黑色棋子的颗数为3n+3.
令3n+3=93,解得n=30，
故选D.
