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8. ★★ 真实情境题 景区游览路线【素材1】某景区游览路线及方向如图①所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等。
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20 min，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3 h 25 min；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图②所示，在2 100 m处，他到出口还要走10 min。
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（
A.4 200 m
B.4 800 m
C.5 200 m
D.5 400 m
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20 min，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3 h 25 min；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图②所示，在2 100 m处，他到出口还要走10 min。
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（
B
）A.4 200 m
B.4 800 m
C.5 200 m
D.5 400 m
答案
8. B 【点拨】由题图②可知小州游玩行走的时间为$75+10-20×2=45(\mathrm{min})$. 小温游玩行走的时间为$3×60+25-5×20=105(\mathrm{min})$. 设①④⑥各路段路程为$x\ \mathrm{m}$，⑤⑦⑧各路段路程为$y\ \mathrm{m}$，②③各路段路程为$z\ \mathrm{m}$.
由图象可得$\dfrac{x+y+z}{45}=\dfrac{x+y+z-2\ 100}{10}$，则$x+y+z=2\ 700$. 所以游玩行走的速度为$(2\ 700-2\ 100)÷10=60(\mathrm{m/min})$，由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为$105×60=6\ 300(\mathrm{m})$，即$3x+3y=6\ 300$，所以$x+y=2\ 100$，所以路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为$2x+2y+z=x+y+z+x+y=2\ 700+2\ 100=4\ 800(\mathrm{m})$. 故选B.
由图象可得$\dfrac{x+y+z}{45}=\dfrac{x+y+z-2\ 100}{10}$，则$x+y+z=2\ 700$. 所以游玩行走的速度为$(2\ 700-2\ 100)÷10=60(\mathrm{m/min})$，由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为$105×60=6\ 300(\mathrm{m})$，即$3x+3y=6\ 300$，所以$x+y=2\ 100$，所以路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为$2x+2y+z=x+y+z+x+y=2\ 700+2\ 100=4\ 800(\mathrm{m})$. 故选B.
解析
【分析】
解题时首先明确：游玩总时间=行走时间+景点停留时间，且行走速度恒定。第一步先分别计算小州、小温的纯行走时间：小州游览路线为①②⑧，经过2个景点，结合图象和“2100m处到出口还要走10min”的条件，减去停留时间即可得到小州的纯行走时间；小温游览路线为①④⑤⑥⑦⑧，经过5个景点，将总时间换算为分钟后减去停留总时间，得到小温的纯行走时间。第二步设未知数表示各段路程，根据速度恒定列方程求出速度、x+y+z和x+y的值。最后将所求路线①③⑥⑦⑧的路程和转化为含x、y、z的式子，代入计算即可得到结果。
【解析】
先换算单位：$3\ \mathrm{h}\ 25\ \mathrm{min}=3×60+25=205\ \mathrm{min}$
1. 计算纯行走时间
小州游览路线①②⑧共经过2个景点，总用时为$75+10=85\ \mathrm{min}$，纯行走时间为：$85-2×20=45\ \mathrm{min}$
小温游览路线①④⑤⑥⑦⑧共经过5个景点，纯行走时间为：$205-5×20=105\ \mathrm{min}$
2. 设未知数列方程求速度
设①④⑥各路段路程为$x\ \mathrm{m}$，⑤⑦⑧各路段路程为$y\ \mathrm{m}$，②③各路段路程为$z\ \mathrm{m}$，行走速度为$v\ \mathrm{m/min}$。
小州走的总路程为$x+y+z$，他走到2100m处时剩余路程需走10min，根据速度恒定可得：
$\dfrac{x+y+z}{45}=\dfrac{x+y+z-2100}{10}$
解得$x+y+z=2700$
因此行走速度$v=(2700-2100)÷10=60\ \mathrm{m/min}$
3. 计算各段路程关系
小温走的总路程为$3x+3y$，由路程=速度×时间得：
$3x+3y=60×105=6300$，化简得$x+y=2100$
4. 计算所求路线总路程
路线①③⑥⑦⑧的路程和为：
$2x+2y+z=(x+y+z)+(x+y)=2700+2100=4800\ \mathrm{m}$
【答案】B
【知识点】s-t图象应用；行程问题；一元一次方程应用
【点评】本题结合景区游览的真实情境，将函数图象与行程问题结合，需要学生准确提取图象信息，区分总时间中的行走时间和停留时间，利用速度不变建立等量关系求解，考查了信息提取能力、逻辑推理能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确：游玩总时间=行走时间+景点停留时间，且行走速度恒定。第一步先分别计算小州、小温的纯行走时间：小州游览路线为①②⑧，经过2个景点，结合图象和“2100m处到出口还要走10min”的条件，减去停留时间即可得到小州的纯行走时间；小温游览路线为①④⑤⑥⑦⑧，经过5个景点，将总时间换算为分钟后减去停留总时间，得到小温的纯行走时间。第二步设未知数表示各段路程，根据速度恒定列方程求出速度、x+y+z和x+y的值。最后将所求路线①③⑥⑦⑧的路程和转化为含x、y、z的式子，代入计算即可得到结果。
【解析】
先换算单位：$3\ \mathrm{h}\ 25\ \mathrm{min}=3×60+25=205\ \mathrm{min}$
1. 计算纯行走时间
小州游览路线①②⑧共经过2个景点，总用时为$75+10=85\ \mathrm{min}$，纯行走时间为：$85-2×20=45\ \mathrm{min}$
小温游览路线①④⑤⑥⑦⑧共经过5个景点，纯行走时间为：$205-5×20=105\ \mathrm{min}$
2. 设未知数列方程求速度
设①④⑥各路段路程为$x\ \mathrm{m}$，⑤⑦⑧各路段路程为$y\ \mathrm{m}$，②③各路段路程为$z\ \mathrm{m}$，行走速度为$v\ \mathrm{m/min}$。
小州走的总路程为$x+y+z$，他走到2100m处时剩余路程需走10min，根据速度恒定可得：
$\dfrac{x+y+z}{45}=\dfrac{x+y+z-2100}{10}$
解得$x+y+z=2700$
因此行走速度$v=(2700-2100)÷10=60\ \mathrm{m/min}$
3. 计算各段路程关系
小温走的总路程为$3x+3y$，由路程=速度×时间得：
$3x+3y=60×105=6300$，化简得$x+y=2100$
4. 计算所求路线总路程
路线①③⑥⑦⑧的路程和为：
$2x+2y+z=(x+y+z)+(x+y)=2700+2100=4800\ \mathrm{m}$
【答案】B
【知识点】s-t图象应用；行程问题；一元一次方程应用
【点评】本题结合景区游览的真实情境，将函数图象与行程问题结合，需要学生准确提取图象信息，区分总时间中的行走时间和停留时间，利用速度不变建立等量关系求解，考查了信息提取能力、逻辑推理能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
9. ★★ 如图①，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的路径匀速运动。设点P运动的路程为x，三角形ABP的面积为y，表示x与y的函数关系的图象如图②所示。
(1) 在这个运动过程中，自变量、因变量分别是
(2) 当点P运动的路程x=4时，三角形ABP的面积y=
(3) 梯形ABCD的面积为
(1) 在这个运动过程中，自变量、因变量分别是
$x,y$
；(2) 当点P运动的路程x=4时，三角形ABP的面积y=
$16$
；(3) 梯形ABCD的面积为
$26$
。答案
9. (1)$x,y$ (2)$16$
图解支架：
(3)$26$ 【点拨】根据题图知$BC=4$. 当点P运动至与点C重合时，三角形ABP的面积为16，所以$\dfrac{1}{2}AB· BC=16$，即$\dfrac{1}{2}AB×4=16$，解得$AB=8$. 由题图知$DC=9-4=5$，则$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\dfrac{1}{2}BC·(DC+AB)=\dfrac{1}{2}×4×(5+8)=26$.
解析
【分析】
(1)根据自变量、因变量的定义判断：主动变化的量是自变量，随自变量变化的量是因变量，本题中点P运动的路程x主动变化，△ABP的面积y随x的变化而变化，即可得出结果；
(2)直接观察函数图象，找到x=4对应的纵坐标值即可；
(3)先结合动点运动过程和函数图象的分段特征：x从0到4时面积逐渐增大，对应P在BC上运动，可得BC的长度；x=4时P到达C点，此时△ABP面积为16，利用三角形面积公式求出AB的长度；x从4到9时面积不变，对应P在CD上运动，可得CD的长度；最后利用直角梯形的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由题可知，点P运动的路程x是主动变化的量，△ABP的面积y随x的变化而变化，因此自变量是x，因变量是y；
(2) 观察图②的函数图象，当横坐标x=4时，对应的纵坐标y=16，即此时△ABP的面积为16；
(3) ①由图象可知，当$0≤ x≤4$时，y随x的增大而增大，对应点P在BC上运动，因此$BC=4$；
②当x=4时，点P运动到点C，此时$△ ABP$的面积为16，根据三角形面积公式：$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· BC$，代入$S=16,BC=4$，得$\frac{1}{2}× AB×4=16$，解得$AB=8$；
③当$4＜x≤9$时，y的值不变，对应点P在CD上运动，因此$CD=9-4=5$；
④直角梯形ABCD的高为BC=4，上底CD=5，下底AB=8，根据梯形面积公式：$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，代入得$S_{ABCD}=\frac{1}{2}×(5+8)×4=26$。
【答案】
(1)$x,y$ (2)$16$
图解支架：
(3)$26$
【知识点】
自变量与因变量，函数图象的应用，梯形面积计算
【点评】
本题将动点问题与函数图象结合，解题的关键是明确函数图象每一段对应的动点运动状态，准确提取图形边长信息，再结合几何面积公式求解，能有效考查读图分析能力和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
(1)根据自变量、因变量的定义判断：主动变化的量是自变量，随自变量变化的量是因变量，本题中点P运动的路程x主动变化，△ABP的面积y随x的变化而变化，即可得出结果；
(2)直接观察函数图象，找到x=4对应的纵坐标值即可；
(3)先结合动点运动过程和函数图象的分段特征：x从0到4时面积逐渐增大，对应P在BC上运动，可得BC的长度；x=4时P到达C点，此时△ABP面积为16，利用三角形面积公式求出AB的长度；x从4到9时面积不变，对应P在CD上运动，可得CD的长度；最后利用直角梯形的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由题可知，点P运动的路程x是主动变化的量，△ABP的面积y随x的变化而变化，因此自变量是x，因变量是y；
(2) 观察图②的函数图象，当横坐标x=4时，对应的纵坐标y=16，即此时△ABP的面积为16；
(3) ①由图象可知，当$0≤ x≤4$时，y随x的增大而增大，对应点P在BC上运动，因此$BC=4$；
②当x=4时，点P运动到点C，此时$△ ABP$的面积为16，根据三角形面积公式：$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· BC$，代入$S=16,BC=4$，得$\frac{1}{2}× AB×4=16$，解得$AB=8$；
③当$4＜x≤9$时，y的值不变，对应点P在CD上运动，因此$CD=9-4=5$；
④直角梯形ABCD的高为BC=4，上底CD=5，下底AB=8，根据梯形面积公式：$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，代入得$S_{ABCD}=\frac{1}{2}×(5+8)×4=26$。
【答案】
(1)$x,y$ (2)$16$
图解支架：
(3)$26$
【知识点】
自变量与因变量，函数图象的应用，梯形面积计算
【点评】
本题将动点问题与函数图象结合，解题的关键是明确函数图象每一段对应的动点运动状态，准确提取图形边长信息，再结合几何面积公式求解，能有效考查读图分析能力和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
10. [2025 北京] 工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训.在完成理论学习后,新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期 $ T $ 日($ T $ 可取 0,1,2 或 3)的模拟练习,然后开始试制.记一名新员工在试制阶段的第 $ x $ 日单日制成的合格品的个数为 $ y $,根据以往的培训经验,对于给定的 $ T $,可以认为 $ y $ 是 $ x $ 的函数.当 $ T=0 $ 和 $ T=3 $ 时,部分数据如下:
$ T=3 $时,从试制阶段的第2日起,一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变.
对于给定的 $ T $,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中描出该 $ T $ 值下各数对$ (x,y) $所对应的点,并根据变化趋势用平滑曲线连接,得到曲线 $ C_T $.当 $ T=1 $ 和 $ T=2 $时,曲线 $ C_1,C_2 $ 如图所示.
(1)观察曲线 $ C_1 $,当整数 $ x $ 的值为
(2)写出表中 $ m $ 的值,并在给出的平面直角坐标系中画出 $ T=3 $ 时的曲线 $ C_3 $;
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习,接下来进行模拟练习和试制.
①若新员工单日制成不少于 45 个合格品即可获得“优秀学员”证书,根据上述函数关系,小云最早在完成理论学习后的第
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多,根据上述函数关系,在这4日中应安排小腾先进行
$ T=3 $时,从试制阶段的第2日起,一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变.
对于给定的 $ T $,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中描出该 $ T $ 值下各数对$ (x,y) $所对应的点,并根据变化趋势用平滑曲线连接,得到曲线 $ C_T $.当 $ T=1 $ 和 $ T=2 $时,曲线 $ C_1,C_2 $ 如图所示.
(1)观察曲线 $ C_1 $,当整数 $ x $ 的值为
$6$
时,$ y $ 的值首次超过 35;(2)写出表中 $ m $ 的值,并在给出的平面直角坐标系中画出 $ T=3 $ 时的曲线 $ C_3 $;
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习,接下来进行模拟练习和试制.
①若新员工单日制成不少于 45 个合格品即可获得“优秀学员”证书,根据上述函数关系,小云最早在完成理论学习后的第
$7$
日可获得“优秀学员”证书;②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多,根据上述函数关系,在这4日中应安排小腾先进行
$1$
日的模拟练习.答案
10. 【解】(1)$6$
(2)因为$T=3$时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成43个合格品，第5日单日制成48个合格品，
所以相差$48-43=5$(个)，
把5分成两个接近的整数，$5=3+2$，
所以第4日增加3个，第5日增加2个，
所以$m=43+3=46$.
$T=3$时的曲线$C_3$如图所示：
(3)①$7$ 【点拨】单日制成不少于45个合格品的只有$C_2$与$C_3$，
$C_3$:先进行为期3日的模拟练习，然后试制阶段第4日制成的合格品达到46个，
所以$T+x=7$；
$C_2$:先进行为期2日的模拟练习，然后试制阶段第6日制成的合格品达到45个，
所以$T+x=8$.
因为$7＜8$，
所以小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书.
②$1$ 【点拨】当$T=0$时，$4-0=4$，所以4日内的试制时间为4日.
因为4日的合格产品个数分别是7,8,10,12，所以合格产品个数为$7+8+10+12=37$；
当$T=1$时，$4-1=3$，所以4日内的试制时间为3日.
因为3日的合格产品个数分别是12,19,26，所以合格产品个数为$12+19+26=57$；
当$T=2$时，$4-2=2$，所以4日内的试制时间为2日.
因为2日的合格产品个数分别是20,30，所以合格产品个数为$20+30=50$；
当$T=3$时，$4-3=1$，所以4日内的试制时间为1日.
1日的合格产品个数是26.
因为$26＜37＜50＜57$，
所以希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习.
解析
【分析】
(1) 直接观察曲线$C_1$的对应数据点，从$x=1$开始依次查看每个整数$x$对应的$y$值，找到第一个$y$值超过35的$x$即可。
(2) 依据$T=3$时“从试制第2日起每日新增合格品个数逐渐减少或保持不变”的条件，先计算试制第3日到第5日的合格品总差值，再将差值拆分为两个满足“前一日增量≥后一日增量”的正整数，即可求出第4日的合格品数$m$；再根据$T=3$的所有对应数据点描点，用平滑曲线连接得到$C_3$。
(3) ① 获得证书的总天数为“模拟练习天数$T$+试制天数$x$”，分别找出各曲线中$y≥45$时对应的最小总天数，比较后取最小值即可。② 总时长为4天，分别计算$T$取0、1、2、3时，对应试制天数（$4-T$）内合格品数的总和，比较总和大小，取总和最大对应的$T$值即可。
【解析】
(1) 观察曲线$C_1$的数据：$x=5$时$y=34$，未超过35；$x=6$时$y=36$，首次超过35，因此$x=6$。
(2) 由题意，$T=3$时从试制第2日起每日新增合格品个数逐渐减少或保持不变，已知试制第3日合格品为43个，第5日为48个，两日总差值为$48-43=5$个。要满足增量递减或不变，可将5拆分为3和2（第4日增量3个，第5日增量2个，满足$3≥2$），因此第4日的合格品数$m=43+3=46$。
根据$T=3$对应的各数据点描点，用平滑曲线连接即可得到曲线$C_3$。
(3) ① 总天数=模拟练习天数$T$+试制天数$x$：
对$C_3$（$T=3$）：试制第4日$y=46≥45$，总天数$=3+4=7$；
对$C_2$（$T=2$）：试制第6日$y=45≥45$，总天数$=2+6=8$；
$C_0$和$C_1$达到$y≥45$的总天数更大，比较得最小总天数为7。
② 总时长为4天，分别计算不同$T$下的合格品总数：
$T=0$：试制天数为4天，合格品总数为$7+8+10+12=37$；
$T=1$：试制天数为3天，合格品总数为$12+19+26=57$；
$T=2$：试制天数为2天，合格品总数为$20+30=50$；
$T=3$：试制天数为1天，合格品总数为26；
比较得57最大，对应$T=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$
(2) $\boldsymbol{m=46}$，$T=3$时的曲线$C_3$如图所示：
(3) ① $\boldsymbol{7}$；② $\boldsymbol{1}$
【知识点】
函数图象的识别，函数的实际应用，数据分析与计算
【点评】
本题以新员工培训的实际场景为载体，考查从函数图象中提取信息、结合给定条件分析计算的能力，既需要准确读取图象数据，也需要结合实际问题逻辑推理，能很好地考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 直接观察曲线$C_1$的对应数据点，从$x=1$开始依次查看每个整数$x$对应的$y$值，找到第一个$y$值超过35的$x$即可。
(2) 依据$T=3$时“从试制第2日起每日新增合格品个数逐渐减少或保持不变”的条件，先计算试制第3日到第5日的合格品总差值，再将差值拆分为两个满足“前一日增量≥后一日增量”的正整数，即可求出第4日的合格品数$m$；再根据$T=3$的所有对应数据点描点，用平滑曲线连接得到$C_3$。
(3) ① 获得证书的总天数为“模拟练习天数$T$+试制天数$x$”，分别找出各曲线中$y≥45$时对应的最小总天数，比较后取最小值即可。② 总时长为4天，分别计算$T$取0、1、2、3时，对应试制天数（$4-T$）内合格品数的总和，比较总和大小，取总和最大对应的$T$值即可。
【解析】
(1) 观察曲线$C_1$的数据：$x=5$时$y=34$，未超过35；$x=6$时$y=36$，首次超过35，因此$x=6$。
(2) 由题意，$T=3$时从试制第2日起每日新增合格品个数逐渐减少或保持不变，已知试制第3日合格品为43个，第5日为48个，两日总差值为$48-43=5$个。要满足增量递减或不变，可将5拆分为3和2（第4日增量3个，第5日增量2个，满足$3≥2$），因此第4日的合格品数$m=43+3=46$。
根据$T=3$对应的各数据点描点，用平滑曲线连接即可得到曲线$C_3$。
(3) ① 总天数=模拟练习天数$T$+试制天数$x$：
对$C_3$（$T=3$）：试制第4日$y=46≥45$，总天数$=3+4=7$；
对$C_2$（$T=2$）：试制第6日$y=45≥45$，总天数$=2+6=8$；
$C_0$和$C_1$达到$y≥45$的总天数更大，比较得最小总天数为7。
② 总时长为4天，分别计算不同$T$下的合格品总数：
$T=0$：试制天数为4天，合格品总数为$7+8+10+12=37$；
$T=1$：试制天数为3天，合格品总数为$12+19+26=57$；
$T=2$：试制天数为2天，合格品总数为$20+30=50$；
$T=3$：试制天数为1天，合格品总数为26；
比较得57最大，对应$T=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$
(2) $\boldsymbol{m=46}$，$T=3$时的曲线$C_3$如图所示：
(3) ① $\boldsymbol{7}$；② $\boldsymbol{1}$
【知识点】
函数图象的识别，函数的实际应用，数据分析与计算
【点评】
本题以新员工培训的实际场景为载体，考查从函数图象中提取信息、结合给定条件分析计算的能力，既需要准确读取图象数据，也需要结合实际问题逻辑推理，能很好地考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
