课堂精要·梳理内容
矩形的判定
①由定义判定
文字语言：
有一个角是的平行四边形叫作矩形。
图形及符号语言：
∵，
∴四边形ABCD是矩形。
②由角判定
文字语言：
有三个角是的四边形是矩形。
图形及符号语言：
∵，
∴四边形ABCD是矩形。
③由对角线判定
文字语言：
对角线的平行四边形是矩形。
图形及符号语言：
∵，
∴四边形ABCD是矩形。

① 直角 在 $□ABCD$ 中, $∠DAB = 90°$ (或$∠ABC=90°$或$∠BCD=90°$或$∠CDA=90°$)
②直角 在四边形 ABCD 中,$∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°$
③相等 在$□ABCD$ 中,$AC=BD$

【分析】
本题考查矩形三种判定方法的识记与符号语言表达，解题思路如下：首先回忆三类矩形判定的核心条件：1.定义判定的前提是平行四边形，附加条件为存在1个内角是直角；2.角判定的前提是任意四边形，附加条件为有3个内角是直角；3.对角线判定的前提是平行四边形，附加条件为对角线相等，再结合图形对应写出符号语言即可。
【解析】
① 定义判定：矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形，因此文字空填“直角”；符号语言需先明确四边形ABCD是平行四边形，再给出其中任意一个内角为90°即可。
② 角判定：四边形内角和为360°，若三个角为直角，则第四个角也为直角，因此有三个角是直角的四边形是矩形，文字空填“直角”；符号语言直接说明四边形ABCD中有三个内角为90°即可。
③ 对角线判定：平行四边形对角线互相平分，若对角线相等，则可推出相邻三角形全等，进而得到内角为直角，因此对角线相等的平行四边形是矩形，文字空填“相等”；符号语言需先明确四边形ABCD是平行四边形，再给出对角线AC与BD相等即可。
【答案】
① 直角 在 $□ABCD$ 中, $∠DAB = 90°$ (或$∠ABC=90°$或$∠BCD=90°$或$∠CDA=90°$)
②直角 在四边形 ABCD 中,$∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°$
③相等 在$□ABCD$ 中,$AC=BD$
【知识点】
矩形的定义判定，矩形的角判定，矩形的对角线判定
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查矩形三类判定方法的文字表述和符号语言规范书写，是后续解决矩形相关证明、计算类题目的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

1. 如图，在$□ ABCD$中，AC，BD是它的两条对角线，添加下列条件，能判定这个平行四边形是矩形的是（）。

A.$∠ BAC=∠ ACB$
B.$∠ BAC=∠ ACD$
C.$∠ BAC=∠ DAC$
D.$∠ BAC=∠ ABD$

1.D

【分析】
已知图形是平行四边形，要判定其为矩形，可依据矩形的两个判定定理：①有一个内角为直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形。我们结合平行四边形的性质，逐一分析每个选项给出的角相等的条件，推导对应结论，判断是否符合矩形的判定要求即可。
【解析】
设平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，根据平行四边形的性质可得：$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，且$AB// CD$，$AD// BC$。
选项A：若$∠ BAC=∠ ACB$，根据等角对等边可得$AB=BC$，邻边相等的平行四边形是菱形，无法判定为矩形，不符合要求；
选项B：因为$AB// CD$，内错角相等，$∠ BAC=∠ ACD$是平行四边形本身就具有的性质，无法推出额外结论，不能判定为矩形，不符合要求；
选项C：若$∠ BAC=∠ DAC$，又因为$AD// BC$得$∠ DAC=∠ ACB$，因此$∠ BAC=∠ ACB$，可得$AB=BC$，邻边相等的平行四边形是菱形，无法判定为矩形，不符合要求；
选项D：若$∠ BAC=∠ ABD$，根据等角对等边可得$OA=OB$，因此$AC=2OA=2OB=BD$，对角线相等的平行四边形是矩形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础类几何判定题，核心考查平行四边形基础上矩形和菱形的判定区别，只要熟练掌握特殊四边形的性质和判定定理，结合角的关系推导对角线或边的特征就能快速解题。
【难度系数】
0.7

2.如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是()。

A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形

2.B

【分析】
解题时先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形邻角互补，同旁内角和为180°；再结合角平分线的定义，可推出相邻两个内角的平分线相交所成的角为90°；最后根据矩形的判定定理，即可判断围成的四边形的形状。同时要注意，题干未说明原平行四边形是菱形或矩形，因此无法推出围成的四边形是菱形或正方形。
【解析】
设原平行四边形为ABCD，四个内角的平分线相交围成四边形EFGH。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠DAB + ∠ABC = 180°（平行四边形邻角互补）。
∵ AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，
∴ ∠EAB = $\frac{1}{2}$∠DAB，∠ABG = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴ ∠EAB + ∠ABG = $\frac{1}{2}$(∠DAB + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
∴ ∠EFG = ∠AFB = 180° - (∠EAB + ∠ABG) = 90°。
同理可证：∠FEH = 90°，∠EHG = 90°，∠HGF = 90°。
根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形EFGH是矩形。
题干未说明原平行四边形的邻边相等或内角为直角，因此无法判定围成的四边形是菱形或正方形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型题型，核心是利用平行四边形邻角互补的性质结合角平分线推导得到直角，熟练掌握各类特殊四边形的性质与判定定理，是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.7

3.检查一个门框(已知两组对边分别相等)
是不是矩形,不可以用的方法是()。

A.测量两条对角线是否相等
B.用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C.测量两条对角线是否互相平分
D.测量门框的三个角是否都是直角

3.C

【分析】
首先由已知条件“门框两组对边分别相等”，可先判定该门框是平行四边形，要判断它是否为矩形，需结合矩形的判定定理逐一分析各选项的方法是否成立：若方法能证明该平行四边形满足矩形的判定条件，则方法可用，反之不可用。
【解析】
第一步：根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此该门框已经是平行四边形。
第二步：逐一分析各选项：
A. 矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，因此测量两条对角线相等可判定门框是矩形，该方法可用，不符合题意；
B. 若竖门框与地面垂直，说明门框有一个内角为直角，根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定门框是矩形，该方法可用，不符合题意；
C. 平行四边形的对角线本身就互相平分，该性质只能证明图形是平行四边形，无法进一步证明它是矩形，因此该方法不可用，符合题意；
D. 矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，因此测量三个角都是直角可直接判定门框是矩形，该方法可用，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定定理；平行四边形的性质
【点评】
本题易混淆平行四边形和矩形的性质与判定，解题时需先结合已知条件确定图形已满足的属性，再对比矩形的判定条件分析，避免将平行四边形的通用性质错当成矩形的独有判定依据。
【难度系数】
0.8

4.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,∠BAD=90°,BO=DO,那么下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是()。


A.∠ABC=90°
B.AO=OC
C.AB//CD
D.AB=CD

4.D

【分析】
要判断哪个条件不能判定四边形ABCD为矩形，首先明确已知条件：∠BAD=90°，BO=DO。解题思路为：矩形的判定前提通常是先证明四边形是平行四边形，再结合一个内角为90°即可判定为矩形；我们逐个验证选项，判断各选项能否先推出四边形ABCD是平行四边形，或直接满足矩形的判定条件即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
已知∠BAD=90°，对角线AC、BD交于O点，且BO=DO。
选项A：若∠ABC=90°，则∠BAD+∠ABC=180°，可得AD//BC，因此∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，结合BO=DO，可证△AOD≌△COB（AAS），得AD=BC，因此四边形ABCD是平行四边形，又∠BAD=90°，可判定ABCD是矩形，不符合题意。
选项B：若AO=OC，结合BO=DO，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得ABCD是平行四边形，又∠BAD=90°，可判定ABCD是矩形，不符合题意。
选项C：若AB//CD，则∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，结合BO=DO，可证△AOB≌△COD（AAS），得AB=CD，因此四边形ABCD是平行四边形，又∠BAD=90°，可判定ABCD是矩形，不符合题意。
选项D：若AB=CD，仅结合已知条件无法推出AD=BC或AB//CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，因此无法判定其为矩形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题重点考查矩形和平行四边形的判定定理，解题时要注意矩形的判定常先证平行四边形，再结合直角或对角线相等的条件判定，需准确区分不同特殊四边形的判定条件，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.7

5.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OB=OC=OD，过点O作OE⊥BD交BC于点E。若CD=5，BE=7，则CE的长为。

5.$2\sqrt{6}$

【分析】
解题时先连接辅助线DE，首先根据已知条件OA=OB=OC=OD，可得四边形ABCD的对角线互相平分且相等，由此判定ABCD是矩形，得到∠BCD为直角；再结合O是BD中点、OE⊥BD，可知OE是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得DE=BE=7；最后把已知边长代入Rt△CDE，用勾股定理即可求出CE的长度。
【解析】
1. 连接DE。
2.
∵OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD的对角线互相平分且相等，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°。
3.
∵O是BD的中点，且OE⊥BD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴DE=BE=7。
4. 在Rt△DCE中，CD=5，DE=7，由勾股定理可得：
$CE=\sqrt{DE^2-CD^2}=\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{49-25}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
矩形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是合理添加辅助线DE，将已知条件转化到同一个直角三角形中，考查了学生对基础几何定理的综合运用能力，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7