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13.【数学应用】红星队在4场足球赛中的成绩如下:第一场$3:1$胜,第二场$2:3$负,第三场$0:0$平,第四场$2:5$负。红星队在这4场比赛中总的净胜球数是多少?(注:红星队若$2:0$胜,则净胜球个数为$2-0=2$;若$0:2$负,则净胜球个数为$0-2=-2$)
答案
解:由题知(3－1)＋(2－3)＋(0－0)＋(2－5)＝－2。
解析
【分析】
解题时首先要明确题目给出的净胜球计算规则：每场比赛的净胜球=本场红星队的进球数-本场对手的进球数。我们可以先分别计算出4场比赛每场的净胜球，再将4场的净胜球相加，得到的和就是4场比赛总的净胜球数，计算时遵循有理数的加减运算规则即可。
【解析】
根据净胜球的计算规则，分别计算每场的净胜球再求和：
第一场净胜球：$3-1=2$
第二场净胜球：$2-3=-1$
第三场净胜球：$0-0=0$
第四场净胜球：$2-5=-3$
总净胜球数：$(3-1)+(2-3)+(0-0)+(2-5)=2+(-1)+0+(-3)=-2$
【答案】
红星队在这4场比赛中总的净胜球数是$\boldsymbol{-2}$。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的加减混合运算
【点评】
本题结合足球比赛的实际场景出题，核心是理解净胜球的计算规则，再运用有理数加减运算求解，解题的关键是准确计算每场的净胜球，注意正负号的运算不要出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确题目给出的净胜球计算规则：每场比赛的净胜球=本场红星队的进球数-本场对手的进球数。我们可以先分别计算出4场比赛每场的净胜球，再将4场的净胜球相加，得到的和就是4场比赛总的净胜球数，计算时遵循有理数的加减运算规则即可。
【解析】
根据净胜球的计算规则，分别计算每场的净胜球再求和：
第一场净胜球：$3-1=2$
第二场净胜球：$2-3=-1$
第三场净胜球：$0-0=0$
第四场净胜球：$2-5=-3$
总净胜球数：$(3-1)+(2-3)+(0-0)+(2-5)=2+(-1)+0+(-3)=-2$
【答案】
红星队在这4场比赛中总的净胜球数是$\boldsymbol{-2}$。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的加减混合运算
【点评】
本题结合足球比赛的实际场景出题，核心是理解净胜球的计算规则，再运用有理数加减运算求解，解题的关键是准确计算每场的净胜球，注意正负号的运算不要出错。
【难度系数】
0.9
14.【综合与实践】阅读下列式子：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
…
则(1)$\frac{1}{n(n+1)}=$
(2)计算：$\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}-\frac{1}{42}$；
(3)计算：$\frac{1}{1×5}+\frac{1}{5×9}+\frac{1}{9×13}+…+\frac{1}{2021×2025}$。
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
…
则(1)$\frac{1}{n(n+1)}=$
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
；(2)计算：$\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}-\frac{1}{42}$；
(3)计算：$\frac{1}{1×5}+\frac{1}{5×9}+\frac{1}{9×13}+…+\frac{1}{2021×2025}$。
答案
1. $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
2. 原式=$\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})-(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})=\frac{1}{7}$
3. 原式=$\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+…+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2025})$
$=\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{2025})$
$=\frac{1}{4}×\frac{2024}{2025}$
$=\frac{506}{2025}$
2. 原式=$\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})-(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})=\frac{1}{7}$
3. 原式=$\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+…+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2025})$
$=\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{2025})$
$=\frac{1}{4}×\frac{2024}{2025}$
$=\frac{506}{2025}$
解析
【分析】
（1）观察给出的已知式子，可发现规律：分母为两个相邻正整数的乘积、分子为1的分数，可拆成以这两个相邻正整数为分母、分子为1的两个分数的差，据此直接推导$\frac{1}{n(n+1)}$的变形结果即可。
（2）先将式子中每个减数的分母分解为两个相邻正整数的乘积：$6=2×3$、$12=3×4$、$20=4×5$、$30=5×6$、$42=6×7$，再利用（1）的规律将每个减数裂项，去括号后中间的分数会相互抵消，计算剩余项即可得到结果。
（3）观察可知每个分数的分母是差为4的正整数的乘积、分子为1，这类分数裂项时需要提取系数$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{a(a+4)}=\frac{1}{4}×(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+4})$，将每一项按此规律变形后提取公因式$\frac{1}{4}$，中间的分数相互抵消，最后计算剩余项的乘积即可。
【解析】
（1）根据给出的式子规律可得：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）先对各减数裂项：
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{30}=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，$\frac{1}{42}=\frac{1}{6×7}=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})-(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\\&=\frac{1}{7}\end{aligned}$
（3）根据裂项规律$\frac{1}{a(a+4)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+4})$对每一项变形：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+…+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2025})\\&=\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{2025})\\&=\frac{1}{4}×\frac{2024}{2025}\\&=\frac{506}{2025}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；(2) $\frac{1}{7}$；(3) $\frac{506}{2025}$
【知识点】
裂项相消法，有理数混合运算，规律探究归纳
【点评】
本题从基础的裂项规律出发，逐步延伸到需要调整系数的裂项计算，侧重考查学生对规律的归纳理解和灵活应用能力，解题时需注意非相邻整数乘积裂项时的系数匹配，避免漏乘系数导致计算错误。
【难度系数】
0.6
（1）观察给出的已知式子，可发现规律：分母为两个相邻正整数的乘积、分子为1的分数，可拆成以这两个相邻正整数为分母、分子为1的两个分数的差，据此直接推导$\frac{1}{n(n+1)}$的变形结果即可。
（2）先将式子中每个减数的分母分解为两个相邻正整数的乘积：$6=2×3$、$12=3×4$、$20=4×5$、$30=5×6$、$42=6×7$，再利用（1）的规律将每个减数裂项，去括号后中间的分数会相互抵消，计算剩余项即可得到结果。
（3）观察可知每个分数的分母是差为4的正整数的乘积、分子为1，这类分数裂项时需要提取系数$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{a(a+4)}=\frac{1}{4}×(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+4})$，将每一项按此规律变形后提取公因式$\frac{1}{4}$，中间的分数相互抵消，最后计算剩余项的乘积即可。
【解析】
（1）根据给出的式子规律可得：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）先对各减数裂项：
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{30}=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，$\frac{1}{42}=\frac{1}{6×7}=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})-(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\\&=\frac{1}{7}\end{aligned}$
（3）根据裂项规律$\frac{1}{a(a+4)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+4})$对每一项变形：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+…+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2025})\\&=\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{2025})\\&=\frac{1}{4}×\frac{2024}{2025}\\&=\frac{506}{2025}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；(2) $\frac{1}{7}$；(3) $\frac{506}{2025}$
【知识点】
裂项相消法，有理数混合运算，规律探究归纳
【点评】
本题从基础的裂项规律出发，逐步延伸到需要调整系数的裂项计算，侧重考查学生对规律的归纳理解和灵活应用能力，解题时需注意非相邻整数乘积裂项时的系数匹配，避免漏乘系数导致计算错误。
【难度系数】
0.6
