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14. 当$a=$
0
时,$5-|a|$的值最大,最大值为5
.答案
14. 0；5
解析
【分析】要使$5-|a|$的值最大，根据减法的运算规律：被减数固定时，减数越小，得到的差就越大，因此需要让减数$|a|$取最小值。结合绝对值的性质：任意数的绝对值都是非负数，即$|a|≥0$，就能找到$|a|$的最小值，进而求出对应的$a$的取值和代数式的最大值。
【解析】根据绝对值的性质可知，$|a|≥0$，即$|a|$的最小值为0。
要使$5-|a|$的值最大，需使$|a|$取最小值0，此时$a=0$。
将$|a|=0$代入代数式计算得：$5-0=5$，即代数式的最大值为5。
【答案】0；5
【知识点】绝对值的非负性；代数式最值
【点评】本题核心考查绝对值非负性的应用，解题关键是理解减法运算中差和减数的变化关系，是绝对值性质应用的典型基础题，掌握绝对值的非负性即可快速求解。
【难度系数】0.85
【解析】根据绝对值的性质可知，$|a|≥0$，即$|a|$的最小值为0。
要使$5-|a|$的值最大，需使$|a|$取最小值0，此时$a=0$。
将$|a|=0$代入代数式计算得：$5-0=5$，即代数式的最大值为5。
【答案】0；5
【知识点】绝对值的非负性；代数式最值
【点评】本题核心考查绝对值非负性的应用，解题关键是理解减法运算中差和减数的变化关系，是绝对值性质应用的典型基础题，掌握绝对值的非负性即可快速求解。
【难度系数】0.85
15.某天一台摄像机连续8次东西滑行的情况记录如下表,规定以起点为基准,向东滑行记为正,向西滑行记为负.这台摄像机8次滑行的总距离是多少米?
| 次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 滑行距离/m | -33 | +21 |
| -63 | -24 | -14 | -46 | +57 |
| 次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 滑行距离/m | -33 | +21 |
| -63 | -24 | -14 | -46 | +57 |答案
15. 解:$|-33|+|+21|+|+95|+|-63|+|-24|+|-14|+|-46|+|+57|$(要点:总距离等于记录的所有滑行距离的绝对值之和)
=33+21+95+63+24+14+46+57
=353(m).
答:这台摄像机8次滑行的总距离是353 m.
=33+21+95+63+24+14+46+57
=353(m).
答:这台摄像机8次滑行的总距离是353 m.
解析
【分析】
要计算摄像机8次滑行的总距离，首先明确总距离是无方向的量，与滑行方向无关：向东（正数）、向西（负数）的滑行长度都要计入总距离，而一个数的绝对值恰好表示这个数对应实际滑行的路程长度。因此解题时先求出每次滑行距离的绝对值，再将所有绝对值相加，所得的和就是总滑行距离。
【解析】
总距离等于所有滑行距离的绝对值之和，据此列式计算：
$\begin{aligned}&|-33|+|+21|+|+95|+|-63|+|-24|+|-14|+|-46|+|+57|\\=&33+21+95+63+24+14+46+57\\=&353(\mathrm{m})\end{aligned}$
答：这台摄像机8次滑行的总距离是353 m。
【答案】
353 m
【知识点】
1. 绝对值的意义
2. 有理数的加法
3. 正负数的实际应用
【点评】
本题的易错点是混淆总距离和最终位移的计算，直接将带正负号的数相加。解题核心是明确总距离和方向无关，只需将每次滑行的路程求和，即计算所有滑行数据的绝对值之和即可。
【难度系数】
0.7
要计算摄像机8次滑行的总距离，首先明确总距离是无方向的量，与滑行方向无关：向东（正数）、向西（负数）的滑行长度都要计入总距离，而一个数的绝对值恰好表示这个数对应实际滑行的路程长度。因此解题时先求出每次滑行距离的绝对值，再将所有绝对值相加，所得的和就是总滑行距离。
【解析】
总距离等于所有滑行距离的绝对值之和，据此列式计算：
$\begin{aligned}&|-33|+|+21|+|+95|+|-63|+|-24|+|-14|+|-46|+|+57|\\=&33+21+95+63+24+14+46+57\\=&353(\mathrm{m})\end{aligned}$
答：这台摄像机8次滑行的总距离是353 m。
【答案】
353 m
【知识点】
1. 绝对值的意义
2. 有理数的加法
3. 正负数的实际应用
【点评】
本题的易错点是混淆总距离和最终位移的计算，直接将带正负号的数相加。解题核心是明确总距离和方向无关，只需将每次滑行的路程求和，即计算所有滑行数据的绝对值之和即可。
【难度系数】
0.7
16. 新考法·探究与运用 对于较为复杂的问题，我们可以先从简单的情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂的问题.
【探究发现】
(1)如果$|m|=0$,那么$m=$
(2)如果$|m|+|n|=0$,那么$m=$
(3)如果$|m-2|+|n-5|=0$,那么$m=$
【猜想归纳】
结论:
【拓展应用】
(1)已知$|x-2|+|4-y|=0$,则$x+y$的相反数的绝对值是
(2)若有理数$a,b$满足$|3a-1|+|b-2|=0$,求$(a+b)· \dfrac{|-b|}{7}$的值.
【探究发现】
(1)如果$|m|=0$,那么$m=$
0
;(2)如果$|m|+|n|=0$,那么$m=$
0
,$n=$0
;(3)如果$|m-2|+|n-5|=0$,那么$m=$
2
,$n=$5
.【猜想归纳】
结论:
当几个非负数的和为0时，它们都为0(说法不唯一，合理即可)
.【拓展应用】
(1)已知$|x-2|+|4-y|=0$,则$x+y$的相反数的绝对值是
6
;(2)若有理数$a,b$满足$|3a-1|+|b-2|=0$,求$(a+b)· \dfrac{|-b|}{7}$的值.
答案
16. 解:【探究发现】
(1) 0
(2) 0；0
(3) 2；5
【猜想归纳】
当几个非负数的和为0时，它们都为0(说法不唯一，合理即可)
【拓展应用】
(1) 6
(2) 因为$|3a-1|+|b-2|=0$,
所以$3a-1=0$且$b-2=0$,可得$a=\frac{1}{3},b=2$.
所以$(a+b) · \frac{|-b|}{7} = (\frac{1}{3}+2)×\frac{|-2|}{7} = \frac{7}{3}×\frac{2}{7} = \frac{2}{3}$.
(1) 0
(2) 0；0
(3) 2；5
【猜想归纳】
当几个非负数的和为0时，它们都为0(说法不唯一，合理即可)
【拓展应用】
(1) 6
(2) 因为$|3a-1|+|b-2|=0$,
所以$3a-1=0$且$b-2=0$,可得$a=\frac{1}{3},b=2$.
所以$(a+b) · \frac{|-b|}{7} = (\frac{1}{3}+2)×\frac{|-2|}{7} = \frac{7}{3}×\frac{2}{7} = \frac{2}{3}$.
解析
【分析】
解题核心是利用绝对值的非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0。我们从简单的单个绝对值为0的情况入手，逐步推导多个绝对值相加为0的规律：多个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0。首先用该规律完成探究发现部分的基础计算，再归纳总结通用结论，最后将规律迁移应用到拓展题中，先求出对应字母的值，再结合相反数、绝对值的定义以及代数式运算规则计算最终结果。
【解析】
【探究发现】
(1) 根据绝对值的定义，只有0的绝对值是0，因此$m=0$；
(2) 由于$|m|≥0$，$|n|≥0$，两个非负数相加和为0，说明每个非负数都为0，因此$|m|=0$，$|n|=0$，即$m=0$，$n=0$；
(3) 同理，$|m-2|≥0$，$|n-5|≥0$，二者和为0，则$m-2=0$，$n-5=0$，解得$m=2$，$n=5$。
【猜想归纳】
结合前面的推导可总结规律：当几个非负数的和为0时，这几个非负数的值都为0（表述合理即可）。
【拓展应用】
(1) 由非负数的性质得$x-2=0$，$4-y=0$，解得$x=2$，$y=4$，则$x+y=6$，6的相反数是$-6$，$-6$的绝对值是6；
(2) 由非负数的性质得$3a-1=0$，$b-2=0$，解得$a=\frac{1}{3}$，$b=2$，代入代数式计算：
$\begin{aligned}(a+b)· \dfrac{|-b|}{7}&= (\dfrac{1}{3}+2)×\dfrac{|-2|}{7}\\&= \dfrac{7}{3}×\dfrac{2}{7}\\&= \dfrac{2}{3}\end{aligned}$
【答案】
【探究发现】(1)$0$；(2)$0$，$0$；(3)$2$，$5$
【猜想归纳】当几个非负数的和为0时，它们都为0（合理即可）
【拓展应用】(1)$6$；(2)$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 非负数的性质
3. 代数式求值
【点评】
本题按照从简单探究到规律归纳再到拓展应用的逻辑设置，重点考查绝对值非负性的应用，同时结合相反数、绝对值计算、代数式求值等知识点，能有效锻炼学生的规律归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用绝对值的非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0。我们从简单的单个绝对值为0的情况入手，逐步推导多个绝对值相加为0的规律：多个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0。首先用该规律完成探究发现部分的基础计算，再归纳总结通用结论，最后将规律迁移应用到拓展题中，先求出对应字母的值，再结合相反数、绝对值的定义以及代数式运算规则计算最终结果。
【解析】
【探究发现】
(1) 根据绝对值的定义，只有0的绝对值是0，因此$m=0$；
(2) 由于$|m|≥0$，$|n|≥0$，两个非负数相加和为0，说明每个非负数都为0，因此$|m|=0$，$|n|=0$，即$m=0$，$n=0$；
(3) 同理，$|m-2|≥0$，$|n-5|≥0$，二者和为0，则$m-2=0$，$n-5=0$，解得$m=2$，$n=5$。
【猜想归纳】
结合前面的推导可总结规律：当几个非负数的和为0时，这几个非负数的值都为0（表述合理即可）。
【拓展应用】
(1) 由非负数的性质得$x-2=0$，$4-y=0$，解得$x=2$，$y=4$，则$x+y=6$，6的相反数是$-6$，$-6$的绝对值是6；
(2) 由非负数的性质得$3a-1=0$，$b-2=0$，解得$a=\frac{1}{3}$，$b=2$，代入代数式计算：
$\begin{aligned}(a+b)· \dfrac{|-b|}{7}&= (\dfrac{1}{3}+2)×\dfrac{|-2|}{7}\\&= \dfrac{7}{3}×\dfrac{2}{7}\\&= \dfrac{2}{3}\end{aligned}$
【答案】
【探究发现】(1)$0$；(2)$0$，$0$；(3)$2$，$5$
【猜想归纳】当几个非负数的和为0时，它们都为0（合理即可）
【拓展应用】(1)$6$；(2)$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 非负数的性质
3. 代数式求值
【点评】
本题按照从简单探究到规律归纳再到拓展应用的逻辑设置，重点考查绝对值非负性的应用，同时结合相反数、绝对值计算、代数式求值等知识点，能有效锻炼学生的规律归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
17. 新趋势·定义新运算 设$[a]$表示不大于$a$的最大整数，如$[4.2]=4$，$[-4.2]=-5$，则下列选项正确的是（
A.$[a]=|a|$
B.$[a]=-a$
C.$[a]=|a|-1$
D.$[a]＞a-1$
D
）A.$[a]=|a|$
B.$[a]=-a$
C.$[a]=|a|-1$
D.$[a]＞a-1$
答案
17. D
解析
【分析】
首先明确新定义中$[a]$的含义：$[a]$是不大于$a$的最大整数，即小于等于$a$的所有整数里最大的那个。解这类定义新运算的选择题，优先用特殊值代入法排除错误选项，选取特殊值时要覆盖正数、负数、整数三类，避免遗漏情况，排除完错误选项后再验证剩余选项的普适性即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 取$a=-4.2$，根据定义得$[-4.2]=-5$，而$|a|=|-4.2|=4.2$，$-5≠4.2$，故A错误；
B. 取$a=4.2$，根据定义得$[4.2]=4$，而$-a=-4.2$，$4≠-4.2$，故B错误；
C. 取正整数$a=3$，根据定义得$[3]=3$，而$|a|-1=3-1=2$，$3≠2$，故C错误；
D. 分别取不同类型的数验证：当$a=4.2$时，$[a]=4$，$a-1=3.2$，$4＞3.2$成立；当$a=-4.2$时，$[a]=-5$，$a-1=-5.2$，$-5＞-5.2$成立；当$a$为整数比如$a=3$时，$[a]=3$，$a-1=2$，$3＞2$成立，因此$[a]＞a-1$恒成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
定义新运算、有理数大小比较、绝对值
【点评】
本题结合新定义考查有理数的相关性质，解题核心是准确理解新运算的规则，通过举反例排除错误选项是快速解题的关键，选取特殊值时要注意覆盖不同类型的有理数，避免因取值片面导致判断错误。
【难度系数】
0.7
首先明确新定义中$[a]$的含义：$[a]$是不大于$a$的最大整数，即小于等于$a$的所有整数里最大的那个。解这类定义新运算的选择题，优先用特殊值代入法排除错误选项，选取特殊值时要覆盖正数、负数、整数三类，避免遗漏情况，排除完错误选项后再验证剩余选项的普适性即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 取$a=-4.2$，根据定义得$[-4.2]=-5$，而$|a|=|-4.2|=4.2$，$-5≠4.2$，故A错误；
B. 取$a=4.2$，根据定义得$[4.2]=4$，而$-a=-4.2$，$4≠-4.2$，故B错误；
C. 取正整数$a=3$，根据定义得$[3]=3$，而$|a|-1=3-1=2$，$3≠2$，故C错误；
D. 分别取不同类型的数验证：当$a=4.2$时，$[a]=4$，$a-1=3.2$，$4＞3.2$成立；当$a=-4.2$时，$[a]=-5$，$a-1=-5.2$，$-5＞-5.2$成立；当$a$为整数比如$a=3$时，$[a]=3$，$a-1=2$，$3＞2$成立，因此$[a]＞a-1$恒成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
定义新运算、有理数大小比较、绝对值
【点评】
本题结合新定义考查有理数的相关性质，解题核心是准确理解新运算的规则，通过举反例排除错误选项是快速解题的关键，选取特殊值时要注意覆盖不同类型的有理数，避免因取值片面导致判断错误。
【难度系数】
0.7
18. 新趋势·材料阅读（2026河南平顶山月考）
我们知道$|x|$的几何意义是数轴上表示数$x$的点与原点的距离，即$|x|=|x-0|$.同理可得，$|x_1 - x_2|$的几何意义是数轴上表示数$x_1$的点与表示数$x_2$的点之间的距离.在解题中，我们经常会用到绝对值的几何意义.
例1:已知$|x|=2$,求$x$的值.
解:数轴上与原点距离为2的点表示的数为2或-2,即$x=2$或$x=-2$.
例2:已知$|x-1|=2$,求$x$的值.
解:$|x-1|=2$的几何意义是数轴上表示数$x$的点与表示数1的点之间的距离为2.数轴上与表示数1的点的距离为2的点表示的数为-1或3,即$x=-1$或$x=3$.
参考上述材料,解答下列问题.
(1)已知$|x|=3$,则$x$的值为
(2)已知$|x+1|=3$,则$x$的值为
(3)已知$x$是有理数,当$x$取不同值时,式子$|x-1|+|x+7|$的值可能会不同,那么式子$|x-1|+|x+7|$有最小值吗?若有,请求出最小值;若没有,请说明理由.
我们知道$|x|$的几何意义是数轴上表示数$x$的点与原点的距离，即$|x|=|x-0|$.同理可得，$|x_1 - x_2|$的几何意义是数轴上表示数$x_1$的点与表示数$x_2$的点之间的距离.在解题中，我们经常会用到绝对值的几何意义.
例1:已知$|x|=2$,求$x$的值.
解:数轴上与原点距离为2的点表示的数为2或-2,即$x=2$或$x=-2$.
例2:已知$|x-1|=2$,求$x$的值.
解:$|x-1|=2$的几何意义是数轴上表示数$x$的点与表示数1的点之间的距离为2.数轴上与表示数1的点的距离为2的点表示的数为-1或3,即$x=-1$或$x=3$.
参考上述材料,解答下列问题.
(1)已知$|x|=3$,则$x$的值为
3或-3
.(2)已知$|x+1|=3$,则$x$的值为
2或-4
.(3)已知$x$是有理数,当$x$取不同值时,式子$|x-1|+|x+7|$的值可能会不同,那么式子$|x-1|+|x+7|$有最小值吗?若有,请求出最小值;若没有,请说明理由.
答案
18. 解:(1) 3或-3
(2) 2或-4
(3) $|x-1|+|x+7|$有最小值.
$|x-1|+|x+7|$的几何意义是数轴上表示数$x$的点到表示数1的点的距离与表示数$x$的点到表示数-7的点的距离之和.
因此当表示数$x$的点在表示数-7的点和表示数1的点之间时(包含表示数-7和数1的点),这个距离之和最小,即$|x-1|+|x+7|$的值最小,最小值为表示数1的点与表示数-7的点之间的距离,即最小值为8.
(2) 2或-4
(3) $|x-1|+|x+7|$有最小值.
$|x-1|+|x+7|$的几何意义是数轴上表示数$x$的点到表示数1的点的距离与表示数$x$的点到表示数-7的点的距离之和.
因此当表示数$x$的点在表示数-7的点和表示数1的点之间时(包含表示数-7和数1的点),这个距离之和最小,即$|x-1|+|x+7|$的值最小,最小值为表示数1的点与表示数-7的点之间的距离,即最小值为8.
解析
【分析】
解题时可结合题目给出的绝对值几何意义的结论模仿求解：
1. 第(1)问对应例1的模型，|x|表示数轴上x到原点的距离，距离为3的点对应的数就是±3；
2. 第(2)问先把|x+1|转化为|x-(-1)|，对应例2的模型，即x到-1的距离为3，在数轴上找到距离-1为3的两个点即可得到x的值；
3. 第(3)问先明确式子的几何意义是x到1的距离与x到-7的距离之和，结合数轴分析：当x在两个点外侧时，距离和会大于两点之间的距离，当x在两点之间（含端点）时，距离和刚好等于两点之间的距离，此时和最小。
【解析】
(1) $|x|=3$的几何意义是数轴上表示数$x$的点与原点的距离为3，数轴上与原点距离为3的点对应的数为3或-3，即$x$的值为3或-3。
(2) 先将$|x+1|$变形为$|x-(-1)|$，其几何意义是数轴上表示数$x$的点与表示数-1的点的距离为3，数轴上与-1距离为3的点对应的数为$-1-3=-4$或$-1+3=2$，即$x$的值为2或-4。
(3) $|x-1|+|x+7|$有最小值，理由如下：
$|x-1|$的几何意义是数轴上表示$x$的点到表示1的点的距离，$|x+7|=|x-(-7)|$的几何意义是数轴上表示$x$的点到表示-7的点的距离，因此原式表示$x$到1和$x$到-7的距离之和。
当表示$x$的点位于表示-7和1的点之间（包含两个端点）时，距离之和最小，最小值就是1和-7两个点之间的距离，即$1-(-7)=8$。
【答案】
(1) 3或-3
(2) 2或-4
(3) 有最小值，最小值为8
【知识点】
1. 绝对值的几何意义
2. 数轴两点距离计算
3. 绝对值最值求解
【点评】
本题属于材料阅读类创新题，重点考查对新知识的迁移应用能力，核心是利用数形结合思想，把绝对值问题转化为数轴上的距离问题分析，只要读懂材料给出的几何意义结论，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时可结合题目给出的绝对值几何意义的结论模仿求解：
1. 第(1)问对应例1的模型，|x|表示数轴上x到原点的距离，距离为3的点对应的数就是±3；
2. 第(2)问先把|x+1|转化为|x-(-1)|，对应例2的模型，即x到-1的距离为3，在数轴上找到距离-1为3的两个点即可得到x的值；
3. 第(3)问先明确式子的几何意义是x到1的距离与x到-7的距离之和，结合数轴分析：当x在两个点外侧时，距离和会大于两点之间的距离，当x在两点之间（含端点）时，距离和刚好等于两点之间的距离，此时和最小。
【解析】
(1) $|x|=3$的几何意义是数轴上表示数$x$的点与原点的距离为3，数轴上与原点距离为3的点对应的数为3或-3，即$x$的值为3或-3。
(2) 先将$|x+1|$变形为$|x-(-1)|$，其几何意义是数轴上表示数$x$的点与表示数-1的点的距离为3，数轴上与-1距离为3的点对应的数为$-1-3=-4$或$-1+3=2$，即$x$的值为2或-4。
(3) $|x-1|+|x+7|$有最小值，理由如下：
$|x-1|$的几何意义是数轴上表示$x$的点到表示1的点的距离，$|x+7|=|x-(-7)|$的几何意义是数轴上表示$x$的点到表示-7的点的距离，因此原式表示$x$到1和$x$到-7的距离之和。
当表示$x$的点位于表示-7和1的点之间（包含两个端点）时，距离之和最小，最小值就是1和-7两个点之间的距离，即$1-(-7)=8$。
【答案】
(1) 3或-3
(2) 2或-4
(3) 有最小值，最小值为8
【知识点】
1. 绝对值的几何意义
2. 数轴两点距离计算
3. 绝对值最值求解
【点评】
本题属于材料阅读类创新题，重点考查对新知识的迁移应用能力，核心是利用数形结合思想，把绝对值问题转化为数轴上的距离问题分析，只要读懂材料给出的几何意义结论，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
