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三、解答题(本大题共8小题,共90分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(10分)计算.
(1)$2^2 ÷ |-2| - \sqrt{9} × 3^{-1}$
(2)$x(x+1)-(x+2)(x-2)$
16.(10分)计算.
(1)$2^2 ÷ |-2| - \sqrt{9} × 3^{-1}$
(2)$x(x+1)-(x+2)(x-2)$
答案
解：
(1) 先分别计算各项：
$2^2=4$，$|-2|=2$，$\sqrt{9}=3$，$3^{-1}=\frac{1}{3}$，
代入原式得：
$\begin{aligned}2^2 ÷ |-2| - \sqrt{9} × 3^{-1}&=4 ÷ 2 - 3 × \frac{1}{3}\\&=2 - 1\\&=1\end{aligned}$
(2) 分别展开两项再合并化简：
根据单项式乘多项式法则，$x(x+1)=x^2+x$；
根据平方差公式，$(x+2)(x-2)=x^2-4$，
代入原式得：
$\begin{aligned}x(x+1)-(x+2)(x-2)&=x^2+x-(x^2-4)\\&=x^2+x-x^2+4\\&=x+4\end{aligned}$
(1) 先分别计算各项：
$2^2=4$，$|-2|=2$，$\sqrt{9}=3$，$3^{-1}=\frac{1}{3}$，
代入原式得：
$\begin{aligned}2^2 ÷ |-2| - \sqrt{9} × 3^{-1}&=4 ÷ 2 - 3 × \frac{1}{3}\\&=2 - 1\\&=1\end{aligned}$
(2) 分别展开两项再合并化简：
根据单项式乘多项式法则，$x(x+1)=x^2+x$；
根据平方差公式，$(x+2)(x-2)=x^2-4$，
代入原式得：
$\begin{aligned}x(x+1)-(x+2)(x-2)&=x^2+x-(x^2-4)\\&=x^2+x-x^2+4\\&=x+4\end{aligned}$
17.(12分)(1)解方程组: $\begin{cases} 3x - 2y = 10 \\ 2x + y = 9 \end{cases}$。
(2)如图,已知点C为BE上一点,点A,D分别在BE两侧,$AB// DE$,$AB=CE$,$BC=ED$.求证:$AC=CD$。
(2)如图,已知点C为BE上一点,点A,D分别在BE两侧,$AB// DE$,$AB=CE$,$BC=ED$.求证:$AC=CD$。
答案
17. (1) $\begin{cases} x=4 \\ y=1 \end{cases}$ (2) 证明:
∵AB//DE,
∴∠B=∠E. 在△ABC和△CED中，$\begin{cases} AB=CE \\ ∠B=∠E \\ BC=DE \end{cases}$，
∴△ABC ≌ △CED(SAS),
∴AC=CD.
∵AB//DE,
∴∠B=∠E. 在△ABC和△CED中，$\begin{cases} AB=CE \\ ∠B=∠E \\ BC=DE \end{cases}$，
∴△ABC ≌ △CED(SAS),
∴AC=CD.
18.(10分)为了解某景区游客的消费情况,某天工作人员采用抽样调查的方法,随机抽取若干名游客,调查人均日消费金额.统计情况如下表:
【数据收集与整理】
【数据描述】
【数据分析与应用】根据以上信息,解答下列问题:
(1)频数分布表中$a=$
(2)补全频数分布直方图.
(3)用组中值表示该组人均日消费金额,根据统计信息,估计这一天游客人均日消费金额的平均数.
(4)从D组、E组中各选取2人,在这4人中再随机抽取2人进行访谈,请利用列表法或树状图法求这2人恰好来自同一组别的概率.
【数据收集与整理】
【数据描述】
【数据分析与应用】根据以上信息,解答下列问题:
(1)频数分布表中$a=$
80
,$b=$0.15
.(2)补全频数分布直方图.
(3)用组中值表示该组人均日消费金额,根据统计信息,估计这一天游客人均日消费金额的平均数.
(4)从D组、E组中各选取2人,在这4人中再随机抽取2人进行访谈,请利用列表法或树状图法求这2人恰好来自同一组别的概率.
答案
18. (1) 80 0.15 (2) 补全频数分布直方图如下：
(3) 根据加权平均数定义，得$\frac{1}{200}×(100×20+300×60+500×80+700×30+900×10)=450$(元). 答:估计这一天游客人均日消费金额的平均数为450元. (4) 记D组两人为$D_1,D_2$,E组两人为$E_1,E_2$，画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中2人恰好来自同一组别的结果为4种，∴2人恰好来自同一组别的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
19.(10分)如图，直线$AB// CD$，点E是AB上一点，点F是CD上一点，连接EF，以点F为圆心，EF的长为半径画弧，在点F的右侧交直线CD于点G，再分别以点E和点G为圆心，大于$\frac{1}{2}EG$的长为半径画弧，两弧交于点H，画射线FH交AB于点M，连接MG.
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形，判断四边形EFGM的形状.
(2)证明(1)中的结论.
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形，判断四边形EFGM的形状.
(2)证明(1)中的结论.
答案
19. (1) 解:如图即为补全的图形，四边形EFGM是菱形.
(2) 证明:根据作图过程可知FE=FG，FM平分∠EFG，∴∠EFM=∠GFM.
∵AB//CD，
∴∠EMF=∠GFM，
∴∠EFM=∠EMF，
∴EF=EM，
∴FG=EM，
∴四边形EFGM是平行四边形.
∵EF=EM，
∴四边形EFGM是菱形.
20. (10分)项目式学习
项目主题:无人机播撒种子研究
项目背景:在农业种植技术研究中,针对一些复杂地形,使用无人机播撒种子高效、便捷,同
时可以避免农民直接进入到危险复杂的地形中,有利于增强种植的安全性.
建立模型:如图,无人机从点A的正上方点C,沿正东方向以4 m/s的速度飞行15 s到达点D,测得点A的俯角为$60°$,然后以同样的速度沿正东方向又飞行50 s到达点E,测得点B的俯角为$37°$.
(1)求无人机的高度AC.(结果保留根号)
(2)求AB的长度.(结果精确到1 m,参考数据:$\sin 37° \approx 0.60, \cos 37° \approx 0.80, \tan 37° \approx 0.75, \sqrt{3} \approx 1.73$)
项目主题:无人机播撒种子研究
项目背景:在农业种植技术研究中,针对一些复杂地形,使用无人机播撒种子高效、便捷,同
时可以避免农民直接进入到危险复杂的地形中,有利于增强种植的安全性.
建立模型:如图,无人机从点A的正上方点C,沿正东方向以4 m/s的速度飞行15 s到达点D,测得点A的俯角为$60°$,然后以同样的速度沿正东方向又飞行50 s到达点E,测得点B的俯角为$37°$.
(1)求无人机的高度AC.(结果保留根号)
(2)求AB的长度.(结果精确到1 m,参考数据:$\sin 37° \approx 0.60, \cos 37° \approx 0.80, \tan 37° \approx 0.75, \sqrt{3} \approx 1.73$)
答案
20. 解:(1)
∵无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以4 m/s的速度飞行15 s到达点D，
∴CD=4×15=60(m). 在Rt△ACD中，$\tan∠ADC=\frac{AC}{CD}$，
∴$AC=CD·\tan 60°=60×\sqrt{3}=60\sqrt{3}$(m). 答:无人机的高度AC是$60\sqrt{3}$ m. (2) 过点B作BF⊥CE于点F，则四边形ABFC是矩形，
∴BF=AC=$60\sqrt{3}$ m，AB=CF. 在Rt△BEF中，$\tan∠BEF=\frac{BF}{EF}$，
∴$EF=\frac{BF}{\tan 37°}≈\frac{60\sqrt{3}}{0.75}=80\sqrt{3}$(m).
∵CE=4×(15+50)=260(m)，
∴AB=CF=CE-EF=260-80√3≈122(m). 答:AB的长度约为122 m.
∵无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以4 m/s的速度飞行15 s到达点D，
∴CD=4×15=60(m). 在Rt△ACD中，$\tan∠ADC=\frac{AC}{CD}$，
∴$AC=CD·\tan 60°=60×\sqrt{3}=60\sqrt{3}$(m). 答:无人机的高度AC是$60\sqrt{3}$ m. (2) 过点B作BF⊥CE于点F，则四边形ABFC是矩形，
∴BF=AC=$60\sqrt{3}$ m，AB=CF. 在Rt△BEF中，$\tan∠BEF=\frac{BF}{EF}$，
∴$EF=\frac{BF}{\tan 37°}≈\frac{60\sqrt{3}}{0.75}=80\sqrt{3}$(m).
∵CE=4×(15+50)=260(m)，
∴AB=CF=CE-EF=260-80√3≈122(m). 答:AB的长度约为122 m.
