【例1】 如图16-1所示，将两个长方形用不同方式拼成图16-1①和图16-1②两个图形.
(1)若图①中的阴影部分面积为$a^2 - b^2$，则图②中的阴影部分面积为（用含字母$a,b$的代数式表示）.
(2)由(1)你可以得到的等式是.
(3)根据你所得到的等式解决下面的问题:
①若$x^2 - y^2 =16, x-y=2$，则$x+y=$；
②计算:$67.75^2 -32.25^2$.

思路分析:通过对条件的转化、结论的转化,使问题化难为易,化生为熟,化未知为已知,最终解决问题,这个过程体现了转化的思想方法.
解:(1)$(a+b)(a-b)$
(2)$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
(3)①8
②原式$=(67.75+32.25)×(67.75-32.25)=100×35.5=3550$.

(1)$(a+b)(a-b)$
(2)$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
(3)①8
②原式$=(67.75+32.25)×(67.75-32.25)=100×35.5=3550$.

【例2】 已知多项式$A=(m-3)^2-(2-m)(2+m)+2$.
(1)化简多项式$A$；
(2)若$x^2-2mx+4$是一个完全平方式，求$A$的值.
思路分析:当不能确定完全平方公式的类型时往往需要进行分类讨论.
解:(1)$A=(m-3)^2-(2-m)(2+m)+2=m^2-6m+9-(4-m^2)+2=m^2-6m+9-4+m^2+2=2m^2-6m+7$.
(2)$\because x^2-2mx+4$是一个完全平方式，$\therefore -2m=\pm2×1×2$，$\therefore m=\pm2$.当$m=2$时，$A=2×2^2-6×2+7=8-12+7=3$；当$m=-2$时，$A=2×(-2)^2-6×(-2)+7=8+12+7=27$.故$A$的值为3或27.

(1)$A=(m-3)^2-(2-m)(2+m)+2=m^2-6m+9-(4-m^2)+2=m^2-6m+9-4+m^2+2=2m^2-6m+7$.
(2)$\because x^2-2mx+4$是一个完全平方式，$\therefore -2m=\pm2×1×2$，$\therefore m=\pm2$.当$m=2$时，$A=2×2^2-6×2+7=8-12+7=3$；当$m=-2$时，$A=2×(-2)^2-6×(-2)+7=8+12+7=27$.故$A$的值为3或27.

【例3】 阅读材料并解答问题:我们已经知道,完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示,例如:$2a(a+b)=2a^2+2ab$就可以用如图16-2①所示的图形面积来表示.
(1)请写出图16-2②所表示的代数恒等式.
(2)请画图,用平面几何图形的面积来表示代数恒等式$(a+b)(2a+b)=2a^2+3ab+b^2$.

思路分析:数形结合是指“以形助数”或“以数解形”,即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
解:(1)$(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2$.
(2)如图16-3所示即为所求.

(1)$(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2$.
(2)如图16-3所示即为所求.