7. (亮点原创·若直线 $y=-2x-4$ 向右平移3个单位长度后,与直线 $y=4x+b$ 的交点在第一象限,则 $b$ 的取值范围是 ( )
A. $-4≤ b≤ 2$
B. $-4＜ b＜ 2$
C. $b＜-4$ 或 $b＞2$
D. $b＞-4$

B

8. 新素养 应用意识（2025·江苏无锡模拟）已知可以用矩阵式$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$来表示二元一次方程组$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1, \\ a_2 x + b_2 y = c_2, \end{cases}$且该方程组的解对应两直线（不平行）$a_1 x + b_1 y = c_1$与$a_2 x + b_2 y = c_2$的交点坐标$P(x,y)$，则矩阵式$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$所对应的两直线的交点坐标是______．

$(2,5)$

9. 已知三条直线$y=2x-3$、$y=-2x+1$和$y=kx-2$相交于同一点，则$k$的值为______．

1

10. 在平面直角坐标系中，无论 $ k $ 取何实数，直线 $ y=(k-1)x+4-5k $ 总经过定点 $ P $，则点 $ P $ 与动点 $ Q(5m-1,5m+1) $ 之间的距离的最小值为 ______。

$\sqrt{32}$

11. (新素养 运算能力) 如图，一次函数 $y = -\dfrac{1}{2}x + b$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$，与 $x$ 轴交于点 $B$，与正比例函数 $y = 2x$ 的图象交于点 $C(1,a)$。
(1) 求 $a,b$ 的值；
(2) 方程组 $\begin{cases}2x - y = 0, \\ \dfrac{1}{2}x + y = b\end{cases}$ 的解为 ______；
(3) 在 $y = 2x$ 的图象上是否存在点 $P$，使得 $△ BOP$ 的面积比 $△ AOP$ 的面积大 5？若存在，请求出符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$ ; 解：​$(1)$​把​$(1，$​​$a)$​代入​$y = 2x$​中，得​$a = 2×1 = 2，$​则点​$C$​的坐标为​$(1，$​​$2)$​又点​$C$​在一次函数​$y = -\frac 12x + b$​的图象上，∴把​$x = 1，$​​$y = 2$​代入​$y = -\frac 12x + b，$​得​$2 = -\frac 12×1 + b，$​解得​$b =\frac 52$​∴​$a$​的值为​$2，$​​$b$​的值为​$\frac 52$​​$(3)$​存在，由​$(1)，$​得​$b = \frac 52$​∴直线​$AB$​的函数表达式为​$y = -\frac 12x + \frac 52$​令​$x = 0，$​得​$y = \frac 52；$​令​$y = 0，$​得​$-\frac 12x + \frac 52=0，$​解得​$x = 5$​∴点​$A$​的坐标为​$(0，$​​$\frac 52)，$​点​$B$​的坐标为​$(5，$​​$0)$​∴​$OA = \frac 52，$​​$OB = 5$​由题意，设点​$P $​的坐标为​$(t，$​​$2\ \mathrm {t})$​则​$S_{\triangle AOP}=\frac 12×\frac 52|t|=\frac {5|t|}4，$​​$S_{\triangle BOP}=\frac 12×5|2\ \mathrm {t}| = 5|t|$​又​$\triangle BOP $​的面积比​$\triangle AOP $​的面积大​$5$​∴​$5|t|=\frac {5|t|}4+5，$​解得​$t = \pm \frac 43$​∴点​$P $​的坐标为​$(\frac 43，$​​$\frac 83)$​或​$(-\frac 43，$​​$-\frac 83)$​

12. (2025·江苏苏州模拟)如图,直线 $ l_1 $ 的函数表达式为 $ y_1 = -x + 4 $,直线 $ l_2 $ 的函数表达式为 $ y_2 = x - 2 $,直线 $ l_1 $ 和直线 $ l_2 $ 的交点为 $ B $.
(1) 求点 $ B $ 的坐标;
(2) 平行于 $ y $ 轴的直线 $ l $ 交 $ x $ 轴于点 $ M $,交直线 $ l_1 $ 于点 $ E $,交直线 $ l_2 $ 于点 $ F $.
① 分别求当直线 $ l $ 为直线 $ x = 2 $ 和直线 $ x = 4 $ 时 $ EF $ 的值;
② 写出线段 $ EF $ 的长 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并画出函数图象 $ L $;
③ 在(2)②的条件下,如果直线 $ y = kx + 3(k ≠ 0) $ 与 $ L $ 始终都有 2 个公共点,直接写出 $ k $ 的取值范围.

解：​$(1)$​联立​$\begin {cases}y = -x + 4\\y = x - 2\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{x = 3}\\{y = 1}\end {cases}$​∴点​$B$​的坐标为​$(3，$​​$1)$​​$(2)①$​当​$x = 2$​时，​$y_{1} = -2 + 4 = 2，$​​$y_{2} = 2 - 2 = 0$​则点​$E$​的坐标为​$(2，$​​$2)，$​点​$F $​的坐标为​$(2，$​​$0)$​∴​$EF = 2 - 0 = 2$​当​$x = 4$​时，​$y_{1} = -4 + 4 = 0，$​​$y_{2} = 4 - 2 = 2$​则点​$E$​的坐标为​$(4，$​​$0)，$​点​$F $​的坐标为​$(4，$​​$2)$​∴​$EF = 2 - 0 = 2$​​$②$​由​$(1)，$​得点​$B$​的坐标为​$(3，$​​$1)$​∴当​$x = 3$​时，直线​$l_{1}$​与直线​$l_{2}$​相交当​$x\leq 3$​时，​$y = -x + 4-(x - 2)=-2x + 6$​当​$x>3$​时，​$y = x - 2-(-x + 4) = 2x - 6$​∴线段​$EF $​的长​$y$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y = \begin {cases}-2x + 6(x\leq 3)\\2x - 6(x>3)\end {cases}$​函数图象​$L $​如图所示
​$③k$​的取值范围为​$-1＜k＜2，$​且​$k\neq 0。$​