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1. 在平面直角坐标系中,坐标为$(a,b)的点关于x$轴对称的点的坐标为().
A. $(a,-b)$
B. $(b,a)$
C. $(-a,b)$
D. $(-b,-a)$
A. $(a,-b)$
B. $(b,a)$
C. $(-a,b)$
D. $(-b,-a)$
答案
A
2. 已知不等式$-4x≥-8$,两边同时除以“$-4$”得().
A. $x≤2$
B. $x＜2$
C. $x≤\frac {1}{2}$
D. $x＜\frac {1}{2}$
A. $x≤2$
B. $x＜2$
C. $x≤\frac {1}{2}$
D. $x＜\frac {1}{2}$
答案
A
3. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成$1:2$两部分,已知这个等腰三角形周长为$36cm$,则这个等腰三角形的底边为().
A. $4cm$
B. $10cm$
C. $20cm$
D. $4cm或20cm$
A. $4cm$
B. $10cm$
C. $20cm$
D. $4cm或20cm$
答案
A
4. 用尺规作图法作$∠BAC的平分线AD$,痕迹如图所示,则此作图的依据是().
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
答案
A
5. 若函数$y= 2x+b$($b$为常数)的图象经过点$A(0,-2)$,则$b= $.
答案
$-2$
6. 如图,$△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)$.
(1) 作出将$△ABC先向左平移4$个单位,再向上平移$1个单位后的图形△A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出$△A_{1}B_{1}C_{1}$三个顶点的坐标.
(2) 作出$△ABC关于x轴对称的图形△A_{2}B_{2}C_{2}$.
(3) 求$△ABC$的面积,并求出$AC$边上高的长.
(1) 作出将$△ABC先向左平移4$个单位,再向上平移$1个单位后的图形△A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出$△A_{1}B_{1}C_{1}$三个顶点的坐标.
(2) 作出$△ABC关于x轴对称的图形△A_{2}B_{2}C_{2}$.
(3) 求$△ABC$的面积,并求出$AC$边上高的长.
答案
【解析】：
### $(1)$ 求$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$三个顶点的坐标
在平面直角坐标系中，点的平移规律是“左减右加，上加下减”。
已知$A(1,1)$，$B(4,2)$，$C(3,4)$，将$\triangle ABC$先向左平移$4$个单位（横坐标减$4$），再向上平移$1$个单位（纵坐标加$1$）。
$A_1$的坐标：$A(1 - 4,1 + 1)$，即$A_1(-3,2)$。
$B_1$的坐标：$B(4 - 4,2 + 1)$，即$B_1(0,3)$。
$C_1$的坐标：$C(3 - 4,4 + 1)$，即$C_1(-1,5)$。
然后根据坐标作出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
### $(2)$ 作出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的图形$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$
关于$x$轴对称的点的坐标特征是横坐标不变，纵坐标互为相反数。
$A_2$的坐标：$A_2(1,-1)$。
$B_2$的坐标：$B_2(4,-2)$。
$C_2$的坐标：$C_2(3,-4)$。
根据坐标作出$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$。
### $(3)$ 求$\triangle ABC$的面积和$AC$边上高的长
**步骤一：求$\triangle ABC$的面积**
利用割补法，$\triangle ABC$的面积等于一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积。
矩形的长为$3$，宽为$3$，面积$S_{矩}=3\times3 = 9$。
三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}\times1\times3=\frac{3}{2}$，$S_2=\frac{1}{2}\times1\times2 = 1$，$S_3=\frac{1}{2}\times2\times3=3$。
则$S_{\triangle ABC}=9-\frac{3}{2}-1 - 3=\frac{7}{2}$。
**步骤二：求$AC$的长度**
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$A(1,1)$，$C(3,4)$，则$AC=\sqrt{(3 - 1)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$。
**步骤三：求$AC$边上高的长**
设$AC$边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，已知$S_{\triangle ABC}=\frac{7}{2}$，$AC$为底，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AC\times h$，即$\frac{7}{2}=\frac{1}{2}\times\sqrt{13}\times h$，解得$h=\frac{7\sqrt{13}}{13}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{A_1(-3,2)}$，$\boldsymbol{B_1(0,3)}$，$\boldsymbol{C_1(-1,5)}$，图略；
$(2)$图略；
$(3)$$\triangle ABC$的面积为$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$，$AC$边上高的长为$\boldsymbol{\frac{7\sqrt{13}}{13}}$。
### $(1)$ 求$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$三个顶点的坐标
在平面直角坐标系中，点的平移规律是“左减右加，上加下减”。
已知$A(1,1)$，$B(4,2)$，$C(3,4)$，将$\triangle ABC$先向左平移$4$个单位（横坐标减$4$），再向上平移$1$个单位（纵坐标加$1$）。
$A_1$的坐标：$A(1 - 4,1 + 1)$，即$A_1(-3,2)$。
$B_1$的坐标：$B(4 - 4,2 + 1)$，即$B_1(0,3)$。
$C_1$的坐标：$C(3 - 4,4 + 1)$，即$C_1(-1,5)$。
然后根据坐标作出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
### $(2)$ 作出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的图形$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$
关于$x$轴对称的点的坐标特征是横坐标不变，纵坐标互为相反数。
$A_2$的坐标：$A_2(1,-1)$。
$B_2$的坐标：$B_2(4,-2)$。
$C_2$的坐标：$C_2(3,-4)$。
根据坐标作出$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$。
### $(3)$ 求$\triangle ABC$的面积和$AC$边上高的长
**步骤一：求$\triangle ABC$的面积**
利用割补法，$\triangle ABC$的面积等于一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积。
矩形的长为$3$，宽为$3$，面积$S_{矩}=3\times3 = 9$。
三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}\times1\times3=\frac{3}{2}$，$S_2=\frac{1}{2}\times1\times2 = 1$，$S_3=\frac{1}{2}\times2\times3=3$。
则$S_{\triangle ABC}=9-\frac{3}{2}-1 - 3=\frac{7}{2}$。
**步骤二：求$AC$的长度**
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$A(1,1)$，$C(3,4)$，则$AC=\sqrt{(3 - 1)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$。
**步骤三：求$AC$边上高的长**
设$AC$边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，已知$S_{\triangle ABC}=\frac{7}{2}$，$AC$为底，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AC\times h$，即$\frac{7}{2}=\frac{1}{2}\times\sqrt{13}\times h$，解得$h=\frac{7\sqrt{13}}{13}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{A_1(-3,2)}$，$\boldsymbol{B_1(0,3)}$，$\boldsymbol{C_1(-1,5)}$，图略；
$(2)$图略；
$(3)$$\triangle ABC$的面积为$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$，$AC$边上高的长为$\boldsymbol{\frac{7\sqrt{13}}{13}}$。
