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6. 已知$A,B$两地之间有一条 270 千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以 60 千米/时的速度沿此公路从$A地匀速开往B$地,乙车从$B地沿此公路匀速开往A$地,两车分别到达目的地后停止. 甲、乙两车相距的路程$y$(千米)与甲车行驶的时间$x$(时)之间的函数关系式如图所示.
(1) 乙车的速度为 千米/时,$a= $,$b= $.
(2) 求甲、乙两车相遇后$y与x$之间的函数关系式.
(3) 当甲车到距$B$地 70 千米处时,求甲、乙之间的路程.
(1) 乙车的速度为 千米/时,$a= $,$b= $.
(2) 求甲、乙两车相遇后$y与x$之间的函数关系式.
(3) 当甲车到距$B$地 70 千米处时,求甲、乙之间的路程.
答案
【解析】：
### $(1)$ 求乙车速度、$a$、$b$的值
首先求乙车速度：
已知两车$2$小时相遇，根据公式$路程 = 速度和\times时间$，设乙车速度为$v$千米/时，可得$(60 + v)\times2=270$，
则$60 + v=\frac{270}{2}=135$，解得$v = 135 - 60=75$千米/时。
然后求$a$的值：
乙车从$B$地到$A$地所需时间为$\frac{270}{75}=3.6$小时，所以$a = 3.6$。
最后求$b$的值：
甲车从$A$地到$B$地所需时间为$\frac{270}{60}=4.5$小时，所以$b = 4.5$。
### $(2)$ 求甲、乙两车相遇后$y$与$x$之间的函数关系式
当$2\lt x\leqslant3.6$时：
设$y=k_1x + b_1$，此时$y$表示两车相遇后到乙车到达$A$地时两车的距离。
$x = 2$时，$y = 0$；$x = 3.6$时，$y=60\times3.6 = 216$。
将$\begin{cases}x = 2,y = 0\\x = 3.6,y = 216\end{cases}$代入$y=k_1x + b_1$得：
$\begin{cases}2k_1 + b_1=0\\3.6k_1 + b_1=216\end{cases}$，
用第二个方程减去第一个方程：$(3.6k_1 + b_1)-(2k_1 + b_1)=216 - 0$，
即$1.6k_1=216$，解得$k_1 = 135$，
把$k_1 = 135$代入$2k_1 + b_1=0$，得$2\times135 + b_1=0$，$b_1=-270$，
所以$y = 135x-270$。
当$3.6\lt x\leqslant4.5$时：
设$y=k_2x + b_2$，此时$y$表示乙车到达$A$地后，甲车继续行驶时两车的距离，此时$y$的变化速度就是甲车速度$60$千米/时，且$x = 3.6$时，$y = 216$。
$y = 60x$（把$(3.6,216)$代入$y = 60x$，$60\times3.6=216$也成立）。
所以$y=\begin{cases}135x - 270(2\lt x\leqslant3.6)\\60x(3.6\lt x\leqslant4.5)\end{cases}$。
### $(3)$ 求当甲车到距$B$地$70$千米处时，甲、乙之间的路程
甲车距$B$地$70$千米时，甲车行驶的路程为$270 - 70=200$千米，
根据$时间=路程\div速度$，甲车行驶时间$x=\frac{200}{60}=\frac{10}{3}$小时。
因为$2\lt\frac{10}{3}\lt3.6$，把$x = \frac{10}{3}$代入$y = 135x-270$，
$y=135\times\frac{10}{3}-270=450 - 270=180$千米。
【答案】：
$(1)$ $75$，$3.6$，$4.5$；
$(2)$ $y=\begin{cases}135x - 270(2\lt x\leqslant3.6)\\60x(3.6\lt x\leqslant4.5)\end{cases}$；
$(3)$ $180$千米。
### $(1)$ 求乙车速度、$a$、$b$的值
首先求乙车速度：
已知两车$2$小时相遇，根据公式$路程 = 速度和\times时间$，设乙车速度为$v$千米/时，可得$(60 + v)\times2=270$，
则$60 + v=\frac{270}{2}=135$，解得$v = 135 - 60=75$千米/时。
然后求$a$的值：
乙车从$B$地到$A$地所需时间为$\frac{270}{75}=3.6$小时，所以$a = 3.6$。
最后求$b$的值：
甲车从$A$地到$B$地所需时间为$\frac{270}{60}=4.5$小时，所以$b = 4.5$。
### $(2)$ 求甲、乙两车相遇后$y$与$x$之间的函数关系式
当$2\lt x\leqslant3.6$时：
设$y=k_1x + b_1$，此时$y$表示两车相遇后到乙车到达$A$地时两车的距离。
$x = 2$时，$y = 0$；$x = 3.6$时，$y=60\times3.6 = 216$。
将$\begin{cases}x = 2,y = 0\\x = 3.6,y = 216\end{cases}$代入$y=k_1x + b_1$得：
$\begin{cases}2k_1 + b_1=0\\3.6k_1 + b_1=216\end{cases}$，
用第二个方程减去第一个方程：$(3.6k_1 + b_1)-(2k_1 + b_1)=216 - 0$，
即$1.6k_1=216$，解得$k_1 = 135$，
把$k_1 = 135$代入$2k_1 + b_1=0$，得$2\times135 + b_1=0$，$b_1=-270$，
所以$y = 135x-270$。
当$3.6\lt x\leqslant4.5$时：
设$y=k_2x + b_2$，此时$y$表示乙车到达$A$地后，甲车继续行驶时两车的距离，此时$y$的变化速度就是甲车速度$60$千米/时，且$x = 3.6$时，$y = 216$。
$y = 60x$（把$(3.6,216)$代入$y = 60x$，$60\times3.6=216$也成立）。
所以$y=\begin{cases}135x - 270(2\lt x\leqslant3.6)\\60x(3.6\lt x\leqslant4.5)\end{cases}$。
### $(3)$ 求当甲车到距$B$地$70$千米处时，甲、乙之间的路程
甲车距$B$地$70$千米时，甲车行驶的路程为$270 - 70=200$千米，
根据$时间=路程\div速度$，甲车行驶时间$x=\frac{200}{60}=\frac{10}{3}$小时。
因为$2\lt\frac{10}{3}\lt3.6$，把$x = \frac{10}{3}$代入$y = 135x-270$，
$y=135\times\frac{10}{3}-270=450 - 270=180$千米。
【答案】：
$(1)$ $75$，$3.6$，$4.5$；
$(2)$ $y=\begin{cases}135x - 270(2\lt x\leqslant3.6)\\60x(3.6\lt x\leqslant4.5)\end{cases}$；
$(3)$ $180$千米。
7. 在平面直角坐标系中,直线$l_{1}:y= -\frac {1}{2}x+3与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$,直线$l_{2}:y= kx+2k与x轴交于点C$,与直线$l_{1}交于点P$.
(1) 当$k= 1$时,求点$P$的坐标.
(2) 如图,$D为PA$的中点,过点$D作DE⊥x轴于点E$,交直线$l_{2}于点F$. 若$DF= 2DE$,求$k$的值.
(1) 当$k= 1$时,求点$P$的坐标.
(2) 如图,$D为PA$的中点,过点$D作DE⊥x轴于点E$,交直线$l_{2}于点F$. 若$DF= 2DE$,求$k$的值.
答案
【解析】：
### $(1)$ 求当$k = 1$时，点$P$的坐标
当$k = 1$时，直线$l_{2}$的解析式为$y=x + 2$。
因为点$P$是直线$l_{1}:y=-\frac{1}{2}x + 3$与直线$l_{2}:y=x + 2$的交点，所以联立方程组$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x + 3\\y=x + 2\end{cases}$。
将$y=x + 2$代入$y=-\frac{1}{2}x + 3$中，得到$x + 2=-\frac{1}{2}x + 3$。
移项可得$x+\frac{1}{2}x=3 - 2$，即$\frac{3}{2}x=1$，解得$x=\frac{2}{3}$。
把$x=\frac{2}{3}$代入$y=x + 2$，得$y=\frac{2}{3}+2=\frac{8}{3}$。
所以点$P$的坐标为$(\frac{2}{3},\frac{8}{3})$。
### $(2)$ 求$k$的值
**步骤一：求点$A$、$C$的坐标**
对于直线$l_{1}:y=-\frac{1}{2}x + 3$，令$y = 0$，则$0=-\frac{1}{2}x + 3$，解得$x = 6$，所以$A(6,0)$。
对于直线$l_{2}:y=kx + 2k$，令$y = 0$，则$kx+2k = 0$（$k\neq0$，若$k = 0$，$l_{2}$与$x$轴无交点，不满足题意），提取公因式$k$得$k(x + 2)=0$，解得$x=-2$，所以$C(-2,0)$。
**步骤二：设点$P$的坐标并表示出点$D$的坐标**
设$P(m,-\frac{1}{2}m + 3)$，因为$D$为$PA$的中点，$A(6,0)$，根据中点坐标公式：若有两点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$，可得$D$点横坐标为$\frac{m + 6}{2}$，纵坐标为$\frac{-\frac{1}{2}m + 3+0}{2}=-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}$，即$D(\frac{m + 6}{2},-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2})$。
**步骤三：求点$F$的纵坐标**
因为$DE\perp x$轴，交直线$l_{2}$于点$F$，所以$F$点横坐标为$\frac{m + 6}{2}$，把$x=\frac{m + 6}{2}$代入$y=kx + 2k$得$y=k(\frac{m + 6}{2}+2)=k(\frac{m + 6 + 4}{2})=k(\frac{m + 10}{2})$，即$F(\frac{m + 6}{2},k(\frac{m + 10}{2}))$。
**步骤四：根据$DF = 2DE$列方程求解**
$DE=\vert-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}\vert$，$DF=\vert k(\frac{m + 10}{2})-(-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2})\vert$。
因为$DF = 2DE$，所以$\vert k(\frac{m + 10}{2})-(-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2})\vert=2\vert-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}\vert$。
又因为$P(m,-\frac{1}{2}m + 3)$在$l_{2}:y=kx + 2k$上，所以$-\frac{1}{2}m + 3=km+2k$，即$m=\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}$。
将$m=\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}$代入$\vert k(\frac{m + 10}{2})-(-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2})\vert=2\vert-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}\vert$，化简可得：
$\begin{aligned}k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})-(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})&=\pm2(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})\\\end{aligned}$
先考虑$k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})-(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})=2(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})$：
$\begin{aligned}k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})&=(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})+2(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})\\k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})&=3(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})\\k(\frac{3 - 2k+10k + 5}{2(k+\frac{1}{2})})&=3(\frac{-3 + 2k+6k + 3}{4(k+\frac{1}{2})})\\k(8k + 8)&=3(8k)\\8k^{2}+8k&=24k\\8k^{2}-16k&=0\\k^{2}-2k&=0\\k(k - 2)&=0\end{aligned}$
解得$k = 2$或$k = 0$（舍去）。
再考虑$k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})-(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})=-2(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})$：
$\begin{aligned}k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})&=(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})-2(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})\\k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})&=-(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})\\k(\frac{3 - 2k+10k + 5}{2(k+\frac{1}{2})})&=-(\frac{-3 + 2k+6k + 3}{4(k+\frac{1}{2})})\\k(8k + 8)&=-8k\\8k^{2}+16k&=0\\k^{2}+2k&=0\\k(k + 2)&=0\end{aligned}$
解得$k=-2$或$k = 0$（舍去）。
当$k=-2$时，$l_{2}:y=-2x-4$，$l_{1}:y=-\frac{1}{2}x + 3$，联立$\begin{cases}y=-2x-4\\y=-\frac{1}{2}x + 3\end{cases}$，$-2x-4=-\frac{1}{2}x + 3$，$-\frac{3}{2}x=7$，$x=-\frac{14}{3}$，$y=\frac{16}{3}$，$D(\frac{-\frac{14}{3}+6}{2},\frac{\frac{16}{3}}{2})=(\frac{2}{3},\frac{8}{3})$，$F(\frac{2}{3},-2\times\frac{2}{3}-4)=(\frac{2}{3},-\frac{16}{3})$，$DE=\frac{8}{3}$，$DF=\vert-\frac{16}{3}-\frac{8}{3}\vert=8$，$DF = 2DE$成立；
当$k = 2$时，$l_{2}:y=2x + 4$，$l_{1}:y=-\frac{1}{2}x + 3$，联立$\begin{cases}y=2x + 4\\y=-\frac{1}{2}x + 3\end{cases}$，$2x + 4=-\frac{1}{2}x + 3$，$\frac{5}{2}x=-1$，$x=-\frac{2}{5}$，$y=\frac{16}{5}$，$D(\frac{-\frac{2}{5}+6}{2},\frac{\frac{16}{5}}{2})=(\frac{14}{5},\frac{8}{5})$，$F(\frac{14}{5},2\times\frac{14}{5}+4)=(\frac{14}{5},\frac{48}{5})$，$DE=\frac{8}{5}$，$DF=\vert\frac{48}{5}-\frac{8}{5}\vert=8$，$DF = 2DE$成立。
【答案】：
$(1)$ 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{2}{3},\frac{8}{3})}$；
$(2)$ $k$的值为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{-2}$。
### $(1)$ 求当$k = 1$时，点$P$的坐标
当$k = 1$时，直线$l_{2}$的解析式为$y=x + 2$。
因为点$P$是直线$l_{1}:y=-\frac{1}{2}x + 3$与直线$l_{2}:y=x + 2$的交点，所以联立方程组$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x + 3\\y=x + 2\end{cases}$。
将$y=x + 2$代入$y=-\frac{1}{2}x + 3$中，得到$x + 2=-\frac{1}{2}x + 3$。
移项可得$x+\frac{1}{2}x=3 - 2$，即$\frac{3}{2}x=1$，解得$x=\frac{2}{3}$。
把$x=\frac{2}{3}$代入$y=x + 2$，得$y=\frac{2}{3}+2=\frac{8}{3}$。
所以点$P$的坐标为$(\frac{2}{3},\frac{8}{3})$。
### $(2)$ 求$k$的值
**步骤一：求点$A$、$C$的坐标**
对于直线$l_{1}:y=-\frac{1}{2}x + 3$，令$y = 0$，则$0=-\frac{1}{2}x + 3$，解得$x = 6$，所以$A(6,0)$。
对于直线$l_{2}:y=kx + 2k$，令$y = 0$，则$kx+2k = 0$（$k\neq0$，若$k = 0$，$l_{2}$与$x$轴无交点，不满足题意），提取公因式$k$得$k(x + 2)=0$，解得$x=-2$，所以$C(-2,0)$。
**步骤二：设点$P$的坐标并表示出点$D$的坐标**
设$P(m,-\frac{1}{2}m + 3)$，因为$D$为$PA$的中点，$A(6,0)$，根据中点坐标公式：若有两点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$，可得$D$点横坐标为$\frac{m + 6}{2}$，纵坐标为$\frac{-\frac{1}{2}m + 3+0}{2}=-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}$，即$D(\frac{m + 6}{2},-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2})$。
**步骤三：求点$F$的纵坐标**
因为$DE\perp x$轴，交直线$l_{2}$于点$F$，所以$F$点横坐标为$\frac{m + 6}{2}$，把$x=\frac{m + 6}{2}$代入$y=kx + 2k$得$y=k(\frac{m + 6}{2}+2)=k(\frac{m + 6 + 4}{2})=k(\frac{m + 10}{2})$，即$F(\frac{m + 6}{2},k(\frac{m + 10}{2}))$。
**步骤四：根据$DF = 2DE$列方程求解**
$DE=\vert-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}\vert$，$DF=\vert k(\frac{m + 10}{2})-(-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2})\vert$。
因为$DF = 2DE$，所以$\vert k(\frac{m + 10}{2})-(-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2})\vert=2\vert-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}\vert$。
又因为$P(m,-\frac{1}{2}m + 3)$在$l_{2}:y=kx + 2k$上，所以$-\frac{1}{2}m + 3=km+2k$，即$m=\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}$。
将$m=\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}$代入$\vert k(\frac{m + 10}{2})-(-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2})\vert=2\vert-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}\vert$，化简可得：
$\begin{aligned}k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})-(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})&=\pm2(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})\\\end{aligned}$
先考虑$k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})-(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})=2(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})$：
$\begin{aligned}k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})&=(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})+2(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})\\k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})&=3(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})\\k(\frac{3 - 2k+10k + 5}{2(k+\frac{1}{2})})&=3(\frac{-3 + 2k+6k + 3}{4(k+\frac{1}{2})})\\k(8k + 8)&=3(8k)\\8k^{2}+8k&=24k\\8k^{2}-16k&=0\\k^{2}-2k&=0\\k(k - 2)&=0\end{aligned}$
解得$k = 2$或$k = 0$（舍去）。
再考虑$k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})-(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})=-2(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})$：
$\begin{aligned}k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})&=(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})-2(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})\\k(\frac{\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+10}{2})&=-(-\frac{1}{4}\times\frac{3 - 2k}{k+\frac{1}{2}}+\frac{3}{2})\\k(\frac{3 - 2k+10k + 5}{2(k+\frac{1}{2})})&=-(\frac{-3 + 2k+6k + 3}{4(k+\frac{1}{2})})\\k(8k + 8)&=-8k\\8k^{2}+16k&=0\\k^{2}+2k&=0\\k(k + 2)&=0\end{aligned}$
解得$k=-2$或$k = 0$（舍去）。
当$k=-2$时，$l_{2}:y=-2x-4$，$l_{1}:y=-\frac{1}{2}x + 3$，联立$\begin{cases}y=-2x-4\\y=-\frac{1}{2}x + 3\end{cases}$，$-2x-4=-\frac{1}{2}x + 3$，$-\frac{3}{2}x=7$，$x=-\frac{14}{3}$，$y=\frac{16}{3}$，$D(\frac{-\frac{14}{3}+6}{2},\frac{\frac{16}{3}}{2})=(\frac{2}{3},\frac{8}{3})$，$F(\frac{2}{3},-2\times\frac{2}{3}-4)=(\frac{2}{3},-\frac{16}{3})$，$DE=\frac{8}{3}$，$DF=\vert-\frac{16}{3}-\frac{8}{3}\vert=8$，$DF = 2DE$成立；
当$k = 2$时，$l_{2}:y=2x + 4$，$l_{1}:y=-\frac{1}{2}x + 3$，联立$\begin{cases}y=2x + 4\\y=-\frac{1}{2}x + 3\end{cases}$，$2x + 4=-\frac{1}{2}x + 3$，$\frac{5}{2}x=-1$，$x=-\frac{2}{5}$，$y=\frac{16}{5}$，$D(\frac{-\frac{2}{5}+6}{2},\frac{\frac{16}{5}}{2})=(\frac{14}{5},\frac{8}{5})$，$F(\frac{14}{5},2\times\frac{14}{5}+4)=(\frac{14}{5},\frac{48}{5})$，$DE=\frac{8}{5}$，$DF=\vert\frac{48}{5}-\frac{8}{5}\vert=8$，$DF = 2DE$成立。
【答案】：
$(1)$ 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{2}{3},\frac{8}{3})}$；
$(2)$ $k$的值为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{-2}$。
