2.如图,从A地到B地经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸),应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路径最短?请作图指明桥的位置(不用说明理由).

2.【解】如图,过点A作AC垂直于河岸,且使AC=河宽,连接BC,交河岸于点N,过点N作MN垂直河岸另一边于点M,则MN为所建桥的位置.

1. 如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成$30°$的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地。已知$OA=2\ \mathrm{km}$，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程。

1.【解】如图,分别画出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC交OM,ON于点D,E,连接AD,AE,则线段AD,DE,EA即为所求路径.

由题意,得OB=OA=OC=2 km,∠BOD=∠AOD,∠COE = ∠AOE. 因为 ∠MON = ∠AOD+∠AOE=30°,所以∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°,所以△OBC为等边三角形,所以BC=2 km.故所求总路程为2 km.

2. 如图,在长方形ABCD的边BC上有线段PQ,当PQ在BC边上的什么位置时,四边形APQD的周长最小?请画出图形并说明理由.

2.【解】如图,把点A沿AD方向平移PQ长的距离至点A',作点D关于BC的对称点D',连接A'D',交BC于点Q',在线段BQ'上截取P'Q'=PQ,则当线段PQ在BC边上的P'Q'位置时,四边形APQD的周长最小.理由:连接AP',DQ',由作图及平移的性质可得AP'=A'Q',由作图知此时AP'+DQ'的值最小,因为线段AD,P'Q'的长是定值,所以此时四边形APQD的周长最小.