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8.如图，已知AB，CD是$\odot O$的两条弦，且$AB=CD$.若$∠ BOD=84°$，则$∠ ACO$的度数是（
A.$42°$
B.$44°$
C.$46°$
D.$48°$
D
）A.$42°$
B.$44°$
C.$46°$
D.$48°$
答案
8. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件“同圆中两条弦相等”入手，回忆圆的基本性质：同圆中等弦对应的圆心角相等，先得到∠AOB=∠COD，再通过角的和差关系推出∠AOC=∠BOD；再结合圆的半径相等，可知△AOC是等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求出∠ACO的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$AB=CD$，
∴ 弦$AB$、$CD$所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ COD$，
∴ $∠ AOB - ∠ AOD = ∠ COD - ∠ AOD$，即$∠ AOC=∠ BOD=84°$，
又
∵ $OA=OC$（$\odot O$的半径相等），
∴ $△ AOC$是等腰三角形，$∠ ACO=∠ CAO$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ACO=\frac{180° - ∠ AOC}{2}=\frac{180° - 84°}{2}=48°$。
【答案】
D
【知识点】
圆心角弧弦的关系；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的关键是通过等弦的性质推导得到待求角所在等腰三角形的顶角大小，熟练掌握圆的相关基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“同圆中两条弦相等”入手，回忆圆的基本性质：同圆中等弦对应的圆心角相等，先得到∠AOB=∠COD，再通过角的和差关系推出∠AOC=∠BOD；再结合圆的半径相等，可知△AOC是等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求出∠ACO的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$AB=CD$，
∴ 弦$AB$、$CD$所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ COD$，
∴ $∠ AOB - ∠ AOD = ∠ COD - ∠ AOD$，即$∠ AOC=∠ BOD=84°$，
又
∵ $OA=OC$（$\odot O$的半径相等），
∴ $△ AOC$是等腰三角形，$∠ ACO=∠ CAO$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ACO=\frac{180° - ∠ AOC}{2}=\frac{180° - 84°}{2}=48°$。
【答案】
D
【知识点】
圆心角弧弦的关系；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的关键是通过等弦的性质推导得到待求角所在等腰三角形的顶角大小，熟练掌握圆的相关基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
9. AB，CD是同圆的两段弧，且$AB=2CD$，则AB与2CD之间的关系为（
A.$AB=2CD$
B.$AB＜2CD$
C.$AB＞2CD$
D.不能确定
B
）A.$AB=2CD$
B.$AB＜2CD$
C.$AB＞2CD$
D.不能确定
答案
9. B
解析
【分析】
要比较弦AB与2CD的大小关系，可结合同圆中等弧对等弦的性质，将弧AB拆分为两段长度均等于弧CD的等弧，得到两条长度均等于CD的弦，再利用三角形三边关系进行推导，即可得出结论。
【解析】
在该圆上取弧AB的中点E，连接AE、BE。
∵弧AB = 2弧CD，且E为弧AB中点，
∴弧AE = 弧BE = 弧CD，
∵同圆中，等弧对等弦，
∴AE = BE = CD，
在△ABE中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得AE + BE ＞ AB，
将AE=BE=CD代入得：CD + CD ＞ AB，即AB ＜ 2CD。
综上本题选B。
【答案】
B
【知识点】
同圆等弧对等弦；三角形三边关系
【点评】
本题容易陷入“弧长为2倍则对应弦长也为2倍”的误区，解题核心是通过拆分等弧，把弦的大小比较转化为三角形三边关系的应用，综合考察了圆的基本性质和几何基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
要比较弦AB与2CD的大小关系，可结合同圆中等弧对等弦的性质，将弧AB拆分为两段长度均等于弧CD的等弧，得到两条长度均等于CD的弦，再利用三角形三边关系进行推导，即可得出结论。
【解析】
在该圆上取弧AB的中点E，连接AE、BE。
∵弧AB = 2弧CD，且E为弧AB中点，
∴弧AE = 弧BE = 弧CD，
∵同圆中，等弧对等弦，
∴AE = BE = CD，
在△ABE中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得AE + BE ＞ AB，
将AE=BE=CD代入得：CD + CD ＞ AB，即AB ＜ 2CD。
综上本题选B。
【答案】
B
【知识点】
同圆等弧对等弦；三角形三边关系
【点评】
本题容易陷入“弧长为2倍则对应弦长也为2倍”的误区，解题核心是通过拆分等弧，把弦的大小比较转化为三角形三边关系的应用，综合考察了圆的基本性质和几何基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，$CE⊥ AB$，垂足为E，连接DO，则$∠ ACE$的度数为
（第10题图）
（第11题图）
30°
。（第10题图）
（第11题图）
答案
10. 30°
解析
【分析】
解题时首先利用直径对应的平角为180°，结合三段弧相等的条件，可求出每段弧对应的圆心角为60°，得到∠AOC=60°；再由OA和OC都是圆的半径，可判定△AOC是等边三角形，得到∠A=60°；最后根据CE⊥AB可知△AEC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB=180°$，
又
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴三段弧对应的圆心角相等，即$∠ AOC=\frac{180°}{3}=60°$，
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴OA=OC，
∴$△ AOC$是等边三角形，
∴$∠ OAC=60°$，
∵$CE⊥ AB$，
∴$∠ AEC=90°$，
在$Rt△ ACE$中，$∠ ACE + ∠ OAC=90°$，
∴$∠ ACE=90° - 60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
弧与圆心角的关系；等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是通过等弧与圆心角的关系得到特殊角度，再结合特殊三角形的性质计算角度，是圆章节中常见的基础题型，有助于巩固圆的基本性质相关知识点。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直径对应的平角为180°，结合三段弧相等的条件，可求出每段弧对应的圆心角为60°，得到∠AOC=60°；再由OA和OC都是圆的半径，可判定△AOC是等边三角形，得到∠A=60°；最后根据CE⊥AB可知△AEC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB=180°$，
又
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴三段弧对应的圆心角相等，即$∠ AOC=\frac{180°}{3}=60°$，
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴OA=OC，
∴$△ AOC$是等边三角形，
∴$∠ OAC=60°$，
∵$CE⊥ AB$，
∴$∠ AEC=90°$，
在$Rt△ ACE$中，$∠ ACE + ∠ OAC=90°$，
∴$∠ ACE=90° - 60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
弧与圆心角的关系；等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是通过等弧与圆心角的关系得到特殊角度，再结合特殊三角形的性质计算角度，是圆章节中常见的基础题型，有助于巩固圆的基本性质相关知识点。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$\odot O$中，$AB=2AC$，且$AD⊥ OC$，垂足为D。若$AB=8$，$CD=2$，则$\odot O$的半径长为
5
。答案
11. 5
解析
【分析】
解题时首先明确题目中$AB=2AC$为弧长关系，先结合$AD⊥ OC$的条件，利用垂径定理得到$AD$是弦$AE$（延长$AD$交圆于$E$）的一半，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，由此推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，根据等弧对等弦得到$AE=AB=8$，即可求出$AD=4$。再设圆的半径为$r$，表示出$OD$的长度，最后在直角三角形$AOD$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：延长$AD$交$\odot O$于点$E$。
$\because AD⊥ OC$，$OC$为$\odot O$的半径
$\therefore AD=DE$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$（垂径定理）
$\therefore AE=2AD$
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AE}$
$\therefore AB=AE$（等弧对等弦）
$\because AB=8$
$\therefore AE=8$，$AD=\frac{1}{2}AE=4$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$
$\because CD=2$
$\therefore OD=OC-CD=r-2$
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$
代入得$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开：$r^2=r^2-4r+4+16$
整理得$4r=20$
解得$r=5$
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题是圆中求半径的典型题型，核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合圆的弧弦关系找到线段长度，再用勾股定理列方程求解，需要熟练掌握圆的基本性质和辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确题目中$AB=2AC$为弧长关系，先结合$AD⊥ OC$的条件，利用垂径定理得到$AD$是弦$AE$（延长$AD$交圆于$E$）的一半，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，由此推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，根据等弧对等弦得到$AE=AB=8$，即可求出$AD=4$。再设圆的半径为$r$，表示出$OD$的长度，最后在直角三角形$AOD$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：延长$AD$交$\odot O$于点$E$。
$\because AD⊥ OC$，$OC$为$\odot O$的半径
$\therefore AD=DE$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$（垂径定理）
$\therefore AE=2AD$
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AE}$
$\therefore AB=AE$（等弧对等弦）
$\because AB=8$
$\therefore AE=8$，$AD=\frac{1}{2}AE=4$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$
$\because CD=2$
$\therefore OD=OC-CD=r-2$
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$
代入得$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开：$r^2=r^2-4r+4+16$
整理得$4r=20$
解得$r=5$
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题是圆中求半径的典型题型，核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合圆的弧弦关系找到线段长度，再用勾股定理列方程求解，需要熟练掌握圆的基本性质和辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
12. 如图，在$\odot O$中，$AB=AC$，$OM$和$ON$是$\odot O$的半径，且$OM⊥ AB$，$ON⊥ AC$，垂足分别为$D,E$。
（1）求证：$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$。
（2）若$\odot O$的半径为$5$，$AB=8$，求$EN$的长。
（1）求证：$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$。
（2）若$\odot O$的半径为$5$，$AB=8$，求$EN$的长。
答案
12. (1)【证明】
∵在$\odot O$中,AB=AC,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$.
∵OM⊥AB,ON⊥AC,
∴$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$.
∴$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$.
(2)【解】如图,连接OA.
∵在$\odot O$中,AC=AB=8,ON⊥AC,
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=4.
∵OA=ON=5,
∴OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
∴EN=5-3=2.
解析
【分析】
（1）要证$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$，首先根据同圆中相等的弦对应相等的劣弧，由$AB=AC$推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；再结合垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{BM}$是$\overset{\frown}{AB}$的一半，$\overset{\frown}{CN}$是$\overset{\frown}{AC}$的一半，等量代换即可得证。
（2）求$EN$的长，观察可知$EN=ON-OE$，$ON$是已知半径，因此只需计算$OE$的长度；连接$OA$，由垂径定理得$AE$是$AC$的一半，在$Rt△ OAE$中利用勾股定理求出$OE$，即可算出$EN$。
【解析】
（1）证明：
∵在$\odot O$中，$AB=AC$，
∴同圆中相等的弦所对的劣弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
∵$OM⊥ AB$，$ON⊥ AC$，且$OM、ON$均为$\odot O$的半径，
根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，
∴$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，
∴$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$。
（2）解：连接$OA$，
∵$AC=AB=8$，$ON⊥ AC$，
由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
∵$OA、ON$都是$\odot O$的半径，
∴$OA=ON=5$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理可得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
∴$EN=ON-OE=5-3=2$。
【答案】
(1)【证明】
∵在$\odot O$中,AB=AC,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$.
∵OM⊥AB,ON⊥AC,
∴$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$.
∴$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$.
(2)【解】如图,连接OA.
∵在$\odot O$中,AC=AB=8,ON⊥AC,
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=4.
∵OA=ON=5,
∴OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
∴EN=5-3=2.
【知识点】
垂径定理；弧弦的关系；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础常规题型，将圆的基本性质和勾股定理结合考查，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用，能快速构造直角三角形求解线段长度。
【难度系数】
0.75
（1）要证$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$，首先根据同圆中相等的弦对应相等的劣弧，由$AB=AC$推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；再结合垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{BM}$是$\overset{\frown}{AB}$的一半，$\overset{\frown}{CN}$是$\overset{\frown}{AC}$的一半，等量代换即可得证。
（2）求$EN$的长，观察可知$EN=ON-OE$，$ON$是已知半径，因此只需计算$OE$的长度；连接$OA$，由垂径定理得$AE$是$AC$的一半，在$Rt△ OAE$中利用勾股定理求出$OE$，即可算出$EN$。
【解析】
（1）证明：
∵在$\odot O$中，$AB=AC$，
∴同圆中相等的弦所对的劣弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
∵$OM⊥ AB$，$ON⊥ AC$，且$OM、ON$均为$\odot O$的半径，
根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，
∴$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，
∴$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$。
（2）解：连接$OA$，
∵$AC=AB=8$，$ON⊥ AC$，
由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
∵$OA、ON$都是$\odot O$的半径，
∴$OA=ON=5$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理可得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
∴$EN=ON-OE=5-3=2$。
【答案】
(1)【证明】
∵在$\odot O$中,AB=AC,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$.
∵OM⊥AB,ON⊥AC,
∴$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$.
∴$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$.
(2)【解】如图,连接OA.
∵在$\odot O$中,AC=AB=8,ON⊥AC,
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=4.
∵OA=ON=5,
∴OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
∴EN=5-3=2.
【知识点】
垂径定理；弧弦的关系；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础常规题型，将圆的基本性质和勾股定理结合考查，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用，能快速构造直角三角形求解线段长度。
【难度系数】
0.75
13. 如图，AB是$\odot O$的一条弦，$OD ⊥ AB$，垂足为C，OD交$\odot O$于点D，点E在$\odot O$上，连接DE.
(1)若B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，求证：$AB=DE$.
(2)若$CD=2$，$AB=12$，求$\odot O$的半径长.
(1)若B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，求证：$AB=DE$.
(2)若$CD=2$，$AB=12$，求$\odot O$的半径长.
答案
13. (1)【证明】
∵在$\odot O$中,OD⊥AB,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
∵B是$\overset{\frown}{DE}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$.
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$.
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}+\overset{\frown}{BD}$,即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$.
∴AB=DE.
(2)【解】如图,连接OA.
设$\odot O$的半径长为r.
∵CD=2,
∴OC=OD-CD=r-2.
∵OD⊥AB,AB=12,
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=6.
∵在Rt△AOC中,$OA^2=AC^2+OC^2$,
∴$r^2=6^2+(r-2)^2$.
解得r=10.
∴$\odot O$的半径长为10.
解析
【分析】
(1)要证明两条弦相等，可利用同圆中相等的弧所对的弦相等这一性质，先证两条弦对应的弧相等即可。首先由$OD ⊥ AB$，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，再结合B是$\overset{\frown}{DE}$的中点得到$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，通过等量代换推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$，即可得到弦相等的结论。
(2)求圆的半径可结合垂径定理和勾股定理求解：先连接半径OA，设半径为r，用含r的代数式表示出OC的长度，再由垂径定理得到AC的长度，最后在$Rt△ AOC$中利用勾股定理列方程求解r即可。
【解析】
(1)证明：
∵在$\odot O$中，$OD ⊥ AB$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
∵B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$。
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$。
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}+\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$。
∴$AB=DE$。
(2)解：如图，连接OA。
设$\odot O$的半径长为$r$。
∵$CD=2$，
∴$OC=OD-CD=r-2$。
∵$OD ⊥ AB$，$AB=12$，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=6$。
∵在$Rt△ AOC$中，$OA^2=AC^2+OC^2$，
∴$r^2=6^2+(r-2)^2$。
解得$r=10$。
∴$\odot O$的半径长为10。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\odot O$的半径长为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
垂径定理；弧弦的关系；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础常规题型，第一问核心是掌握同圆中弧与弦的对应相等关系，第二问是垂径定理的典型应用，构造直角三角形结合勾股定理列方程求半径是圆中线段计算的常用方法，熟练掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1)要证明两条弦相等，可利用同圆中相等的弧所对的弦相等这一性质，先证两条弦对应的弧相等即可。首先由$OD ⊥ AB$，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，再结合B是$\overset{\frown}{DE}$的中点得到$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，通过等量代换推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$，即可得到弦相等的结论。
(2)求圆的半径可结合垂径定理和勾股定理求解：先连接半径OA，设半径为r，用含r的代数式表示出OC的长度，再由垂径定理得到AC的长度，最后在$Rt△ AOC$中利用勾股定理列方程求解r即可。
【解析】
(1)证明：
∵在$\odot O$中，$OD ⊥ AB$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
∵B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$。
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$。
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}+\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$。
∴$AB=DE$。
(2)解：如图，连接OA。
设$\odot O$的半径长为$r$。
∵$CD=2$，
∴$OC=OD-CD=r-2$。
∵$OD ⊥ AB$，$AB=12$，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=6$。
∵在$Rt△ AOC$中，$OA^2=AC^2+OC^2$，
∴$r^2=6^2+(r-2)^2$。
解得$r=10$。
∴$\odot O$的半径长为10。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\odot O$的半径长为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
垂径定理；弧弦的关系；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础常规题型，第一问核心是掌握同圆中弧与弦的对应相等关系，第二问是垂径定理的典型应用，构造直角三角形结合勾股定理列方程求半径是圆中线段计算的常用方法，熟练掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
14.如图,在$\odot O$中,C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,弦CM交半径OA于点D,弦CN交半径OB于点E,连接OC,OM,ON.已知$AD=BE$.求证:
(1)$∠ CDO=∠ CEO$.
(2)$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
(1)$∠ CDO=∠ CEO$.
(2)$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
答案
14.【证明】(1)
∵C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$.
∴∠COD=∠COE.
∵OA=OB,AD=BE,
∴OD=OE.
在△COD和△COE中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠COD=∠COE, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴△COD≌△COE(SAS).
∴∠CDO=∠CEO.
(2)由(1)可知△COD≌△COE,
∴∠CDO=∠CEO,∠OCD=∠OCE.
∵OC=OM=ON,
∴∠OCM=∠OMC,∠OCN=∠ONC.
∴∠OMC=∠ONC.
∵∠CDO = ∠OMC + ∠MOD, ∠CEO = ∠ONC+∠NOE,
∴∠MOD=∠NOE.
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
∵C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$.
∴∠COD=∠COE.
∵OA=OB,AD=BE,
∴OD=OE.
在△COD和△COE中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠COD=∠COE, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴△COD≌△COE(SAS).
∴∠CDO=∠CEO.
(2)由(1)可知△COD≌△COE,
∴∠CDO=∠CEO,∠OCD=∠OCE.
∵OC=OM=ON,
∴∠OCM=∠OMC,∠OCN=∠ONC.
∴∠OMC=∠ONC.
∵∠CDO = ∠OMC + ∠MOD, ∠CEO = ∠ONC+∠NOE,
∴∠MOD=∠NOE.
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠CDO=∠CEO，可通过证明两角所在的△COD和△COE全等推导。首先根据C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，可得等弧对应的圆心角∠COD=∠COE；再结合OA=OB、AD=BE推出OD=OE，最后结合公共边OC，用SAS判定两三角形全等，即可得到对应角相等。
(2) 要证明$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$，只需证明两弧对应的圆心角∠AOM=∠BON即可。首先由(1)的全等可得∠OCD=∠OCE，再结合同圆半径相等和等腰三角形等边对等角的性质，推出∠OMC=∠ONC；最后利用三角形外角的性质，结合∠CDO=∠CEO的结论，推导得到∠MOD=∠NOE，即可由等圆心角对等弧得到结论。
【解析】
(1) 证明：
∵C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠COD=∠COE.
∵OA=OB，AD=BE,
∴OA-AD=OB-BE，即OD=OE.
在△COD和△COE中,
$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠COD=∠COE, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴△COD≌△COE(SAS),
∴∠CDO=∠CEO.
(2) 由(1)可知△COD≌△COE,
∴∠CDO=∠CEO，∠OCD=∠OCE.
∵OC=OM=ON,
∴∠OCM=∠OMC，∠OCN=∠ONC,
∴∠OMC=∠ONC.
∵∠CDO = ∠OMC + ∠MOD，∠CEO = ∠ONC+∠NOE,
∴∠MOD=∠NOE,
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
【答案】
(1) 已证得$\boldsymbol{∠CDO=∠CEO}$；
(2) 已证得$\boldsymbol{\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}}$。
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合圆的基本性质和三角形相关定理考查，解题核心是熟练掌握同圆中弧与圆心角的对应关系，合理构造全等三角形推导角的等量关系，能有效考查对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠CDO=∠CEO，可通过证明两角所在的△COD和△COE全等推导。首先根据C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，可得等弧对应的圆心角∠COD=∠COE；再结合OA=OB、AD=BE推出OD=OE，最后结合公共边OC，用SAS判定两三角形全等，即可得到对应角相等。
(2) 要证明$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$，只需证明两弧对应的圆心角∠AOM=∠BON即可。首先由(1)的全等可得∠OCD=∠OCE，再结合同圆半径相等和等腰三角形等边对等角的性质，推出∠OMC=∠ONC；最后利用三角形外角的性质，结合∠CDO=∠CEO的结论，推导得到∠MOD=∠NOE，即可由等圆心角对等弧得到结论。
【解析】
(1) 证明：
∵C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠COD=∠COE.
∵OA=OB，AD=BE,
∴OA-AD=OB-BE，即OD=OE.
在△COD和△COE中,
$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠COD=∠COE, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴△COD≌△COE(SAS),
∴∠CDO=∠CEO.
(2) 由(1)可知△COD≌△COE,
∴∠CDO=∠CEO，∠OCD=∠OCE.
∵OC=OM=ON,
∴∠OCM=∠OMC，∠OCN=∠ONC,
∴∠OMC=∠ONC.
∵∠CDO = ∠OMC + ∠MOD，∠CEO = ∠ONC+∠NOE,
∴∠MOD=∠NOE,
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
【答案】
(1) 已证得$\boldsymbol{∠CDO=∠CEO}$；
(2) 已证得$\boldsymbol{\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}}$。
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合圆的基本性质和三角形相关定理考查，解题核心是熟练掌握同圆中弧与圆心角的对应关系，合理构造全等三角形推导角的等量关系，能有效考查对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
