一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)
1. 下列各组数满足方程 $2x + 3y = 8$ 的是()
A.$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 2,\\y = 4\end{cases}$

1. A

2. 已知方程组 $\begin{cases}2x + y = 7,\\x + 2y = 8,\end{cases}$ 则 $x + y$ 的值是( )

A.5
B.1
C.0
D.-1

2. A

将方程组中的两个方程相加，得：$2x + y + x + 2y = 7 + 8$，即$3x + 3y = 15$，两边同时除以3，得$x + y = 5$。
A

3. 已知关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x - y = 4m + 1,\\x + y = 2m - 5\end{cases}$ 的解满足 $x - y = 4$,则 $m$ 的值为( )

A.0
B.1
C.2
D.3

3. B

解：解方程组$\begin{cases}3x - y = 4m + 1 \\ x + y = 2m - 5\end{cases}$，
两式相加得：$4x = 6m - 4$，解得$x = \frac{3m - 2}{2}$，
将$x = \frac{3m - 2}{2}$代入$x + y = 2m - 5$，得$y = 2m - 5 - \frac{3m - 2}{2} = \frac{m - 8}{2}$，
因为$x - y = 4$，所以$\frac{3m - 2}{2} - \frac{m - 8}{2} = 4$，
化简得$\frac{2m + 6}{2} = 4$，即$m + 3 = 4$，解得$m = 1$。
B

4. (2025·山东)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题,大意是:有 3 个头 6 只手的哪吒若干,有 1 个头 8 只手的夜叉若干,两方交战,共有 36 个头,108 只手. 问哪吒、夜叉各有多少? 设哪吒有 $x$ 个,夜叉有 $y$ 个,则根据条件所列方程组为()

A.$\begin{cases}x + 3y = 36,\\8x + 6y = 108\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 3y = 36,\\6x + 8y = 108\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + y = 36,\\8x + 6y = 108\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + y = 36,\\6x + 8y = 108\end{cases}$

4. D

设哪吒有$x$个，夜叉有$y$个。
根据头的数量可列方程：$3x + y = 36$；
根据手的数量可列方程：$6x + 8y = 108$。
所列方程组为$\begin{cases}3x + y = 36\\6x + 8y = 108\end{cases}$
D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
5. 已知等式 $y = kx + b$,当 $x = 2$ 时,$y = -1$;当 $x = -2$ 时,$y = 3$,则当 $x = 4$ 时,$y =$.

5. $-3$

将 $x=2$，$y=-1$ 和 $x=-2$，$y=3$ 分别代入 $y=kx+b$，得：
$\begin{cases}2k + b = -1 \\-2k + b = 3\end{cases}$
两式相减消去 $b$：$(2k + b) - (-2k + b) = -1 - 3$，即 $4k = -4$，解得 $k = -1$。
将 $k = -1$ 代入 $2k + b = -1$：$2×(-1) + b = -1$，解得 $b = 1$。
所以 $y = -x + 1$。
当 $x = 4$ 时，$y = -4 + 1 = -3$。
$-3$

6. 已知关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}x + m = 6,\\y - 3 = m,\end{cases}$ 则 $x + y =$ ______ .

6. 9

由方程组$\begin{cases}x + m = 6\\y - 3 = m\end{cases}$，得$x=6 - m$，$y=m + 3$。
则$x + y=(6 - m)+(m + 3)=6 - m + m + 3=9$。
9

7. 已知一个两位数的个位数字为 $x$,十位数字为 $y$,现将此两位数的个位数字与十位数字调换位置后,所得的新两位数比原两位数大 36,则 $x - y =$.

7. 4

原两位数为$10y + x$，新两位数为$10x + y$。
由题意得：$(10x + y) - (10y + x) = 36$
化简得：$9x - 9y = 36$
两边同时除以9：$x - y = 4$
4

8. 已知关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}ax + by = 2024,\\bx + ay = 2025\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$ 那么关于 $m,n$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}a(2m + n) + b(m - n) = 2024,\\b(2m + n) + a(m - n) = 2025\end{cases}$ 的解为 ______ .

8. $\begin{cases}m = 1,\ = -1\end{cases}$

令$\begin{cases}2m + n = x',\\m - n = y'\end{cases}$，则原关于$m,n$的方程组可化为$\begin{cases}ax' + by' = 2024,\\bx' + ay' = 2025\end{cases}$。
因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax + by = 2024,\\bx + ay = 2025\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$，所以$\begin{cases}x' = 1,\\y' = 2\end{cases}$，即$\begin{cases}2m + n = 1,\\m - n = 2\end{cases}$。
解这个方程组：
将两式相加得：$3m = 3$，解得$m = 1$。
把$m = 1$代入$m - n = 2$，得$1 - n = 2$，解得$n = -1$。
所以关于$m,n$的方程组的解为$\begin{cases}m = 1,\ = -1\end{cases}$。
$\begin{cases}m = 1,\ = -1\end{cases}$

三、解答题(共 60 分)
9. (16 分)解下列方程组:
(1) $\begin{cases}y - x = -3,\\7x - 5y = 9;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x = 2y,\\x + y - z = 5,\\y + z = 3.\end{cases}$

$(1)$ 解方程组$\begin{cases}y - x = -3\\7x - 5y = 9\end{cases}$
- 步骤一：对第一个方程进行变形
由$y - x = -3$可得$y=x - 3$。
- 步骤二：将$y=x - 3$代入第二个方程求解$x$
把$y=x - 3$代入$7x - 5y = 9$中，得到$7x-5(x - 3)=9$。
去括号：$7x-5x + 15 = 9$。
移项：$7x-5x=9 - 15$。
合并同类项：$2x=-6$。
系数化为$1$：$x=-3$。
- 步骤三：将$x = -3$代入$y=x - 3$求解$y$
把$x = -3$代入$y=x - 3$，得$y=-3 - 3=-6$。
所以，方程组$\begin{cases}y - x = -3\\7x - 5y = 9\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-3\\y=-6\end{cases}$。
$(2)$ 解方程组$\begin{cases}x = 2y\\x + y - z = 5\\y + z = 3\end{cases}$
- 步骤一：将$x = 2y$代入$x + y - z = 5$
把$x = 2y$代入$x + y - z = 5$，得到$2y + y - z = 5$，即$3y - z = 5$。
- 步骤二：联立方程$3y - z = 5$与$y + z = 3$求解$y$和$z$
将$3y - z = 5$与$y + z = 3$相加，消去$z$：
$(3y - z)+(y + z)=5 + 3$，
$3y - z+y + z = 8$，
$4y=8$，
解得$y = 2$。
把$y = 2$代入$y + z = 3$，得$2 + z = 3$，解得$z = 1$。
- 步骤三：将$y = 2$代入$x = 2y$求解$x$
把$y = 2$代入$x = 2y$，得$x=2×2 = 4$。
所以，方程组$\begin{cases}x = 2y\\x + y - z = 5\\y + z = 3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 2\\z = 1\end{cases}$。
综上，$(1)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x=-3\\y=-6\end{cases}}$；$(2)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 4\\y = 2\\z = 1\end{cases}}$。

(2)解：将$x = 2y$代入$x + y - z = 5$，得$2y + y - z = 5$，即$3y - z = 5$。
联立$\begin{cases}3y - z = 5\\y + z = 3\end{cases}$，两式相加得$4y = 8$，解得$y = 2$。
将$y = 2$代入$x = 2y$，得$x = 4$。
将$y = 2$代入$y + z = 3$，得$z = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 2\\z = 1\end{cases}$。