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10. (16 分)已知关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2ax + y = 5, &①\\x - by = 2. &②\end{cases}$
(1) 若 $a = 1$,请写出方程①的所有正整数解;
(2) 由于甲看错了方程①中的 $a$,得到方程组的解为 $\begin{cases}x = -2,\\y = 1;\end{cases}$ 乙看错了方程②中的 $b$,得到方程组的解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = 3.\end{cases}$ 求 $a,b$ 的值及原方程组的解.
(1) 若 $a = 1$,请写出方程①的所有正整数解;
(2) 由于甲看错了方程①中的 $a$,得到方程组的解为 $\begin{cases}x = -2,\\y = 1;\end{cases}$ 乙看错了方程②中的 $b$,得到方程组的解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = 3.\end{cases}$ 求 $a,b$ 的值及原方程组的解.
答案
10. 解: (1) 将 $a = 1$ 代入方程①可得 $2x + y = 5$. 当 $x = 1$ 时, $y = 3$; 当 $x = 2$ 时, $y = 1$; 当 $x ＞ 2$ 时, $y ＜ 1$, 没有符合条件的解. 所以该方程的正整数解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = 3\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x = 2,\\y = 1.\end{cases}$
(2) 将 $\begin{cases}x = -2,\\y = 1\end{cases}$ 代入②, 得 $-2 - b = 2$, 解得 $b = -4$. 将 $\begin{cases}x = 1,\\y = 3\end{cases}$ 代入①, 得 $2a + 3 = 5$, 解得 $a = 1$. 所以原方程组为 $\begin{cases}2x + y = 5, &③\\x + 4y = 2, &④\end{cases}$ ③ $× 4 -$ ④, 得 $7x = 18$, 解得 $x = \frac{18}{7}$. ④ $× 2 -$ ③, 得 $7y = -1$, 解得 $y = -\frac{1}{7}$. 所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = \frac{18}{7},\\y = -\frac{1}{7}.\end{cases}$
(2) 将 $\begin{cases}x = -2,\\y = 1\end{cases}$ 代入②, 得 $-2 - b = 2$, 解得 $b = -4$. 将 $\begin{cases}x = 1,\\y = 3\end{cases}$ 代入①, 得 $2a + 3 = 5$, 解得 $a = 1$. 所以原方程组为 $\begin{cases}2x + y = 5, &③\\x + 4y = 2, &④\end{cases}$ ③ $× 4 -$ ④, 得 $7x = 18$, 解得 $x = \frac{18}{7}$. ④ $× 2 -$ ③, 得 $7y = -1$, 解得 $y = -\frac{1}{7}$. 所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = \frac{18}{7},\\y = -\frac{1}{7}.\end{cases}$
11. (12 分)已知关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}3x - 2y = 7,\\4ax + 5by = -22\end{cases}$ 和 $\begin{cases}2x + 3y = -4,\\ax - by = 8\end{cases}$ 有相同的解,求 $(-a)^b$ 的值.
答案
11. 解: 由题意得 $\begin{cases}3x - 2y = 7,\\2x + 3y = -4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 1,\\y = -2.\end{cases}$ 把 $\begin{cases}x = 1,\\y = -2\end{cases}$ 代入 $\begin{cases}4ax + 5by = -22,\\ax - by = 8,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}4a - 10b = -22,\\a + 2b = 8,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 2,\\b = 3.\end{cases}$ 所以 $(-a)^b = (-2)^3 = -8$.
12. (16 分)(泰州月考)善于思考的小明在解方程组 $\begin{cases}4x + 10y = 6, &①\\8x + 22y = 10 &②\end{cases}$ 时,采用了一种“整体代换”的思想,解法如下:
将方程②变形为 $8x + 20y + 2y = 10$,即 $2(4x + 10y) + 2y = 10$. ③
把方程①代入③,得 $2×6 + 2y = 10$,解得 $y = -1$.
把 $y = -1$ 代入①,得 $4x - 10 = 6$,解得 $x = 4$.
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 4,\\y = -1.\end{cases}$
试用“整体代换”法解决以下问题:
(1) 求方程组 $\begin{cases}2x - 3y = 7,\\6x - 5y = 9\end{cases}$ 的解;
(2) 已知 $x,y,z$ 满足 $\begin{cases}3x - 2z + 12y = 5,\\2x + z + 8y = 8,\end{cases}$ 求 $z$ 的值.
将方程②变形为 $8x + 20y + 2y = 10$,即 $2(4x + 10y) + 2y = 10$. ③
把方程①代入③,得 $2×6 + 2y = 10$,解得 $y = -1$.
把 $y = -1$ 代入①,得 $4x - 10 = 6$,解得 $x = 4$.
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 4,\\y = -1.\end{cases}$
试用“整体代换”法解决以下问题:
(1) 求方程组 $\begin{cases}2x - 3y = 7,\\6x - 5y = 9\end{cases}$ 的解;
(2) 已知 $x,y,z$ 满足 $\begin{cases}3x - 2z + 12y = 5,\\2x + z + 8y = 8,\end{cases}$ 求 $z$ 的值.
答案
12. 解: (1) $\begin{cases}2x - 3y = 7, &①\\6x - 5y = 9. &②\end{cases}$ 将②变形, 得 $3(2x - 3y) + 4y = 9$. ③ 将①代入③, 得 $3 × 7 + 4y = 9$, 解得 $y = -3$. 把 $y = -3$ 代入①, 得 $2x + 9 = 7$, 解得 $x = -1$. 所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = -1,\\y = -3.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x - 2z + 12y = 5, &①\\2x + z + 8y = 8. &②\end{cases}$ 由①, 得 $3(x + 4y) - 2z = 5$. ③ 由②, 得 $2(x + 4y) + z = 8$. ④ 由③ $× 2 -$ ④ $× 3$, 得 $-7z = -14$, 解得 $z = 2$.
(2) $\begin{cases}3x - 2z + 12y = 5, &①\\2x + z + 8y = 8. &②\end{cases}$ 由①, 得 $3(x + 4y) - 2z = 5$. ③ 由②, 得 $2(x + 4y) + z = 8$. ④ 由③ $× 2 -$ ④ $× 3$, 得 $-7z = -14$, 解得 $z = 2$.
