7.(2025·江都区期末)已知反比例函数$y=\frac{-m^2 -1}{x}$（$m$为常数），当$1≤ x≤2$时，函数$y$的最大值为$a$（$a$为常数），则当$-4≤ x≤-2$时，函数$y$有（）

A.最小值$-\frac{1}{2}a$
B.最大值$-\frac{1}{2}a$
C.最小值$-a$
D.最大值$-2a$

7.A

8.(2025·姑苏区月考)若点$A(-1,y_1)$，$B(-\dfrac{1}{4},y_2)$，$C(1,y_3)$都在反比例函数$y=\dfrac{k^2+1}{x}$（$k$为常数）的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为________.（用“＜”连接）

8.$y_2＜y_1＜y_3$

9.已知反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$（$m$为常数，且$m≠3$）.
(1)若在其图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而增大，求$m$的取值范围.
(2)若点$A(m+1,2)$，$B(4,n)$均在该反比例函数的图象上.
①求$m,n$的值；
②当$x≥-1$且$x≠0$时，直接写出$y$的取值范围.

9.解:(1)由题意,得$m-3＜0$,解得$m＜3$。
(2)①把$(m+1,2),(4,n)$代入$y=\frac{m-3}{x}$中,得$2(m+1)=m-3$,解得$m=-5$，$\therefore m-3=-8$,$\therefore 4n=-8$,$\therefore n=-2$。
②由①可得$y=\frac{-8}{x}$,$\therefore x=\frac{-8}{y}$，$\therefore$当$x≥-1$且$x≠0$时,$\frac{-8}{y}≥-1$,解得$y≥8$；当$y＜0$时,$x＞0$,也符合题意。综上,$y$的取值范围为$y≥8$或$y＜0$。

10.若关于x的函数y，当$t-1≤ x≤ t+1$时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数$h=\dfrac{M-N}{2}$，我们不妨把函数h称为函数y的“合体函数”.
(1)①若函数$y=-2024x$，当$t=1$时，则函数y的“合体函数”$h=$；
②若函数$y=kx+5(k≠0,k$为常数$)$，求函数y的“合体函数”h的解析式.
(2)若函数$y=\dfrac{1}{x}(x≥2)$，求函数y的“合体函数”h的最大值.

10.解:(1)①2024
②当$k＞0$时,函数$y=kx+5$随$x$的增大而增大，$\therefore x=t-1$时,$N=(t-1)k+5$;$x=t+1$时,$M=(t+1)k+5$，$\therefore h=\frac{1}{2}(M-N)=\frac{1}{2}[(t+1)k+5-(t-1)k-5]=k(k≠0,k$为常数$)$；
当$k＜0$时,函数$y=kx+5$随$x$的增大而减小，$\therefore x=t-1$时,$M=(t-1)k+5$；$x=t+1$时,$N=(t+1)k+5$，$\therefore h=\frac{1}{2}(M-N)=\frac{1}{2}[(t-1)k+5-(t+1)k-5]=-k(k≠0,k$为常数$)$，故函数$y$的“合体函数”$h$的解析式为$h=k(k＞0)$或$h=-k(k＜0)$。
(2)$\because x≥2$,$\therefore t-1≥2$,则$t≥3$，则$M=\frac{1}{t-1}$,$N=\frac{1}{t+1}$，$\therefore h=\frac{1}{2}(M-N)=\frac{1}{2}(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1})=\frac{1}{t^2-1}$，$\therefore$当$t=3$时,$h$的值最大,最大值为$\frac{1}{8}$。