1. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=x^2-2x-3$与直线$y=x-3$交于$A,B$两点,抛物线的顶点为$C$.设直线$AB$与抛物线的对称轴交于点$E$,在射线$EB$上存在一点$M$,过点$M$作$x$轴的垂线交抛物线于点$N$,若点$M,N,C,E$是平行四边形的四个顶点,则点$M$的坐标为.

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图

1. $(2,-1)$或$(\dfrac{3+\sqrt{17}}{2},\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2})$

2. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+2x$ 经过 $x$ 轴上的点 $A$,直线 $AB$ 与抛物线在第一象限交于点 $B(2,6)$. 若以点 $A,O,B,N$ 为顶点的四边形是平行四边形,则点 $N$ 的坐标是
.

2. $(6,6)$或$(-2,6)$或$(-6,-6)$

3.如图，二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4$的图象经过$B(0,4),C(4,0)$两点，顶点为$D$.在直线$CD$上有点$E$，作$EF⊥ x$轴于点$F$，当以点$O,B,E,F$为顶点的四边形是矩形时，点$E$的坐标为.

3. $(\dfrac{4}{3},4)$

4.如图，抛物线$y=-x^2+6x-5$交$x$轴于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），交$y$轴于点$C$，直线$y=x-5$经过点$B$，$C$。过点$A$的直线交直线$BC$于点$M$。当$AM⊥ BC$时，过抛物线上一动点$P$（不与点$B$，$C$重合），作直线$AM$的平行线交直线$BC$于点$Q$，若以点$A$，$M$，$P$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形，则点$P$的横坐标为$\underline{\hspace{5cm}}$。

4. 4或$\dfrac{5+\sqrt{41}}{2}$或$\dfrac{5-\sqrt{41}}{2}$

5.(2025·金湖模拟)如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),点A在原点的左侧,点B的坐标为(3,0),P是抛物线上一个动点,且在直线BC的上方.
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)连接PO,PC,并把$△ POC$沿CO翻折,得到四边形$POP'C$,那么是否存在点P,使四边形$POP'C$为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

5. 解:(1)把$B(3,0),C(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$,得
$\begin{cases}-9+3b+c=0,\\c=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2,\\c=3,\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$.
(2)存在点P,使四边形$POP'C$为菱形,
设$P(x,-x^2+2x+3)$,若四边形$POP'C$是菱形,
则$PC=PO$,如答图,连接$PP'$交$CO$于点E,
则$PE⊥ CO$,$OE=CE=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore -x^2+2x+3=\dfrac{3}{2}$,
解得$x_1=\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}$,$x_2=\dfrac{2-\sqrt{10}}{2}$(不合题意,舍去),
$\therefore$点P的坐标为$(\dfrac{2+\sqrt{10}}{2},\dfrac{3}{2})$.