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1. 一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图1,则该不等式组的解集是(
A.$-2＜x＜1$
B.$-2＜x≤1$
C.$-2≤x＜1$
D.$-2≤x≤1$
C
)A.$-2＜x＜1$
B.$-2＜x≤1$
C.$-2≤x＜1$
D.$-2≤x≤1$
答案
1.C
解析
【分析】
解这道题首先要掌握数轴表示不等式解集的规则：①端点处是实心圆点，表示解集包含该端点对应的数，对应不等式带等号；端点处是空心圆圈，表示解集不包含该端点对应的数，对应不等式不带等号。②解集的范围在两个端点之间时，是大于左侧端点的数，小于右侧端点的数。先分别判断两个端点对应的不等式，再合并得到不等式组的解集即可。
【解析】
观察数轴：
1. 左侧端点为-2，是实心圆点，说明解集包含-2，对应不等式为$x≥ -2$；
2. 右侧端点为1，是空心圆圈，说明解集不包含1，对应不等式为$x＜1$；
3. 不等式组的解集是两个不等式的公共部分，因此该不等式组的解集为$-2≤ x＜1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 数轴表示不等式解集
2. 一元一次不等式组解集
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用数轴确定不等式组解集的能力，只要区分清楚实心点和空心点的含义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要掌握数轴表示不等式解集的规则：①端点处是实心圆点，表示解集包含该端点对应的数，对应不等式带等号；端点处是空心圆圈，表示解集不包含该端点对应的数，对应不等式不带等号。②解集的范围在两个端点之间时，是大于左侧端点的数，小于右侧端点的数。先分别判断两个端点对应的不等式，再合并得到不等式组的解集即可。
【解析】
观察数轴：
1. 左侧端点为-2，是实心圆点，说明解集包含-2，对应不等式为$x≥ -2$；
2. 右侧端点为1，是空心圆圈，说明解集不包含1，对应不等式为$x＜1$；
3. 不等式组的解集是两个不等式的公共部分，因此该不等式组的解集为$-2≤ x＜1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 数轴表示不等式解集
2. 一元一次不等式组解集
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用数轴确定不等式组解集的能力，只要区分清楚实心点和空心点的含义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 若$m＞n$，下列不等式不一定成立的是(
A.$m+2＞n+2$
B.$2m＞2n$
C.$\dfrac{m}{2}＞\dfrac{n}{2}$
D.$m^2＞n^2$
D
)A.$m+2＞n+2$
B.$2m＞2n$
C.$\dfrac{m}{2}＞\dfrac{n}{2}$
D.$m^2＞n^2$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，解题时可先回顾不等式的三条基本性质，逐一验证每个选项的不等式是否一定成立；对于涉及平方运算的选项，若无法直接用性质判断，可通过举符合条件的反例验证是否存在不成立的情况，最终选出符合要求的答案。
【解析】
我们结合不等式的基本性质逐一分析选项：
不等式的基本性质：①两边加/减同一个数（或式子），不等号方向不变；②两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；③两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变。
A选项：给$m＞n$两边同时加2，根据性质①，不等号方向不变，可得$m+2＞n+2$，一定成立，不符合题意；
B选项：给$m＞n$两边同时乘正数2，根据性质②，不等号方向不变，可得$2m＞2n$，一定成立，不符合题意；
C选项：给$m＞n$两边同时除以正数2，根据性质②，不等号方向不变，可得$\dfrac{m}{2}＞\dfrac{n}{2}$，一定成立，不符合题意；
D选项：举反例：当$m=1$，$n=-2$时，满足$m＞n$，但$m^2=1^2=1$，$n^2=(-2)^2=4$，此时$m^2＜n^2$，因此$m^2＞n^2$不一定成立，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质、举反例判断命题
【点评】
本题是不等式性质的基础考查题，需要熟练掌握不等式变形的规则，尤其注意乘负数、平方等运算可能改变不等号的方向，遇到“不一定成立”类的题型，用举反例的方法可以快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查不等式基本性质的应用，解题时可先回顾不等式的三条基本性质，逐一验证每个选项的不等式是否一定成立；对于涉及平方运算的选项，若无法直接用性质判断，可通过举符合条件的反例验证是否存在不成立的情况，最终选出符合要求的答案。
【解析】
我们结合不等式的基本性质逐一分析选项：
不等式的基本性质：①两边加/减同一个数（或式子），不等号方向不变；②两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；③两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变。
A选项：给$m＞n$两边同时加2，根据性质①，不等号方向不变，可得$m+2＞n+2$，一定成立，不符合题意；
B选项：给$m＞n$两边同时乘正数2，根据性质②，不等号方向不变，可得$2m＞2n$，一定成立，不符合题意；
C选项：给$m＞n$两边同时除以正数2，根据性质②，不等号方向不变，可得$\dfrac{m}{2}＞\dfrac{n}{2}$，一定成立，不符合题意；
D选项：举反例：当$m=1$，$n=-2$时，满足$m＞n$，但$m^2=1^2=1$，$n^2=(-2)^2=4$，此时$m^2＜n^2$，因此$m^2＞n^2$不一定成立，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质、举反例判断命题
【点评】
本题是不等式性质的基础考查题，需要熟练掌握不等式变形的规则，尤其注意乘负数、平方等运算可能改变不等号的方向，遇到“不一定成立”类的题型，用举反例的方法可以快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 不等式组$\begin{cases}2x+1 ＞ -3 \\ -x+3 ≥ 0\end{cases}$的整数解的个数是( )
A.3
B.5
C.7
D.无数个
A.3
B.5
C.7
D.无数个
答案
3.B
解析
【分析】
要解决本题，首先需分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再求出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集中的所有整数，统计个数即可得到答案。求解时要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向需要改变；找整数解时要注意解集的边界是否包含在内。
【解析】
1. 解不等式$2x+1 ＞ -3$：
移项得$2x ＞ -3 -1$，
合并同类项得$2x ＞ -4$，
两边同时除以2得$x ＞ -2$。
2. 解不等式$-x+3 ≥ 0$：
移项得$-x ≥ -3$，
两边同时乘以$-1$（不等号方向改变）得$x ≤ 3$。
3. 确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$-2 ＜ x ≤ 3$。
4. 找出整数解：
在$-2 ＜ x ≤ 3$范围内的整数为$-1、0、1、2、3$，共5个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解法、不等式组整数解求解
【点评】
本题重点考察不等式组的求解及整数解的确定，易错点是解含负系数的不等式时忘记改变不等号方向，或者统计整数解时漏算、多算边界值。
【难度系数】
0.75
要解决本题，首先需分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再求出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集中的所有整数，统计个数即可得到答案。求解时要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向需要改变；找整数解时要注意解集的边界是否包含在内。
【解析】
1. 解不等式$2x+1 ＞ -3$：
移项得$2x ＞ -3 -1$，
合并同类项得$2x ＞ -4$，
两边同时除以2得$x ＞ -2$。
2. 解不等式$-x+3 ≥ 0$：
移项得$-x ≥ -3$，
两边同时乘以$-1$（不等号方向改变）得$x ≤ 3$。
3. 确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$-2 ＜ x ≤ 3$。
4. 找出整数解：
在$-2 ＜ x ≤ 3$范围内的整数为$-1、0、1、2、3$，共5个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解法、不等式组整数解求解
【点评】
本题重点考察不等式组的求解及整数解的确定，易错点是解含负系数的不等式时忘记改变不等号方向，或者统计整数解时漏算、多算边界值。
【难度系数】
0.75
二、填空题
1. 不等式$2x+3＜-1$的解集是
1. 不等式$2x+3＜-1$的解集是
$x＜-2$
。答案
1.$x＜-2$
解析
【分析】
这是求解一元一次不等式的基础题，解题思路和一元一次方程求解步骤类似，依次按移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作即可。首先将含未知数的项留在不等号左侧，常数项移到右侧，注意移项要变号；再合并右侧常数项，最后将未知数的系数化为1，本题中未知数系数为正数，不等号方向无需改变。
【解析】
解：求解不等式$2x+3＜-1$
1. 移项：将左侧的$+3$移到不等号右侧，符号变为负，得$2x ＜ -1 - 3$
2. 合并同类项：计算右侧常数项，得$2x ＜ -4$
3. 系数化为1：不等号两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$x ＜ -2$
【答案】
$x＜-2$
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次不等式的求解步骤，熟练掌握移项规则，以及系数化为1时不等号方向的变化规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这是求解一元一次不等式的基础题，解题思路和一元一次方程求解步骤类似，依次按移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作即可。首先将含未知数的项留在不等号左侧，常数项移到右侧，注意移项要变号；再合并右侧常数项，最后将未知数的系数化为1，本题中未知数系数为正数，不等号方向无需改变。
【解析】
解：求解不等式$2x+3＜-1$
1. 移项：将左侧的$+3$移到不等号右侧，符号变为负，得$2x ＜ -1 - 3$
2. 合并同类项：计算右侧常数项，得$2x ＜ -4$
3. 系数化为1：不等号两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$x ＜ -2$
【答案】
$x＜-2$
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次不等式的求解步骤，熟练掌握移项规则，以及系数化为1时不等号方向的变化规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 不等式组$\begin{cases}2x+1＞-1 \\2x+1＜3\end{cases}$的解集是 ______ 。
答案
2.$-1＜x＜1$
解析
【分析】
要解一元一次不等式组，需先分别求出组内每个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的解集。求解每个一元一次不等式时，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作即可，最后确定两个解集的公共区间即可得到最终结果。
【解析】
分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$2x+1＞-1$：
移项得$2x ＞ -1 -1$，合并同类项得$2x ＞ -2$，
系数化为1得$x ＞ -1$。
2. 解不等式$2x+1＜3$：
移项得$2x ＜ 3 -1$，合并同类项得$2x ＜ 2$，
系数化为1得$x ＜ 1$。
两个解集的公共部分为$-1 ＜ x ＜ 1$，即该不等式组的解集。
【答案】
$-1＜x＜1$
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题型，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，能准确找到多个解集的公共部分，即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
要解一元一次不等式组，需先分别求出组内每个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的解集。求解每个一元一次不等式时，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作即可，最后确定两个解集的公共区间即可得到最终结果。
【解析】
分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$2x+1＞-1$：
移项得$2x ＞ -1 -1$，合并同类项得$2x ＞ -2$，
系数化为1得$x ＞ -1$。
2. 解不等式$2x+1＜3$：
移项得$2x ＜ 3 -1$，合并同类项得$2x ＜ 2$，
系数化为1得$x ＜ 1$。
两个解集的公共部分为$-1 ＜ x ＜ 1$，即该不等式组的解集。
【答案】
$-1＜x＜1$
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题型，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，能准确找到多个解集的公共部分，即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
3. 不等式组$\begin{cases}3x+4≥0 \\ \frac{1}{2}x -24≤1\end{cases}$的所有整数解的积为 ______ 。
答案
3. 0
解析
【分析】
解决本题的思路很清晰：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找到两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，接着从总解集中筛选出所有整数解，最后计算这些整数解的乘积即可。要注意如果整数解里包含0，根据乘法规则乘积直接为0，不需要逐一计算所有整数的乘积。
【解析】
1. 解不等式$3x+4≥0$：
移项得$3x≥-4$，两边同时除以3，得$x≥-\frac{4}{3}$（即$x≥-1.\dot{3}$）。
2. 解不等式$\frac{1}{2}x -24≤1$：
移项得$\frac{1}{2}x≤1+24$，即$\frac{1}{2}x≤25$，两边同时乘2，得$x≤50$。
3. 确定不等式组的解集：两个解集的公共部分为$-\frac{4}{3}≤ x≤50$。
4. 找出整数解：该范围内的整数有$-1、0、1、2、\dots、50$。
5. 计算乘积：因为整数解中包含0，任何数和0相乘都得0，因此所有整数解的积为0。
【答案】
0
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组的整数解，有理数乘法
【点评】
本题侧重考察不等式组的基础求解能力和整数解的识别，解题时注意观察整数解的特征，巧用0的乘法性质可以快速得到结果，避免无效计算。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路很清晰：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找到两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，接着从总解集中筛选出所有整数解，最后计算这些整数解的乘积即可。要注意如果整数解里包含0，根据乘法规则乘积直接为0，不需要逐一计算所有整数的乘积。
【解析】
1. 解不等式$3x+4≥0$：
移项得$3x≥-4$，两边同时除以3，得$x≥-\frac{4}{3}$（即$x≥-1.\dot{3}$）。
2. 解不等式$\frac{1}{2}x -24≤1$：
移项得$\frac{1}{2}x≤1+24$，即$\frac{1}{2}x≤25$，两边同时乘2，得$x≤50$。
3. 确定不等式组的解集：两个解集的公共部分为$-\frac{4}{3}≤ x≤50$。
4. 找出整数解：该范围内的整数有$-1、0、1、2、\dots、50$。
5. 计算乘积：因为整数解中包含0，任何数和0相乘都得0，因此所有整数解的积为0。
【答案】
0
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组的整数解，有理数乘法
【点评】
本题侧重考察不等式组的基础求解能力和整数解的识别，解题时注意观察整数解的特征，巧用0的乘法性质可以快速得到结果，避免无效计算。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 解不等式：$\frac{x}{3}＞1-\frac{x-3}{6}$
1. 解不等式：$\frac{x}{3}＞1-\frac{x-3}{6}$
答案
1.$x＞3$
解析
【分析】
本题是一元一次不等式求解类基础题，解题时可参照一元一次方程的求解步骤，依次按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序计算即可。需注意：去分母时不要漏乘不含分母的常数项，不等式两边同时乘除正数时，不等号方向保持不变。
【解析】
解：第一步去分母，不等式两边同时乘以分母的最小公倍数6，不等号方向不变：
$\begin{aligned}6×\frac{x}{3}&＞6×1 - 6×\frac{x-3}{6}\\2x&＞6-(x-3)\end{aligned}$
第二步去括号：
$2x＞6-x+3$
第三步移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号：
$2x+x＞6+3$
第四步合并同类项：
$3x＞9$
第五步系数化为1，两边同时除以正数3，不等号方向不变：
$x＞3$
【答案】
$x＞3$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题为基础常考题型，核心考察一元一次不等式的标准求解步骤，计算时要注意避免去分母漏乘常数项、去括号时符号出错等常见问题，熟练掌握相关规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次不等式求解类基础题，解题时可参照一元一次方程的求解步骤，依次按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序计算即可。需注意：去分母时不要漏乘不含分母的常数项，不等式两边同时乘除正数时，不等号方向保持不变。
【解析】
解：第一步去分母，不等式两边同时乘以分母的最小公倍数6，不等号方向不变：
$\begin{aligned}6×\frac{x}{3}&＞6×1 - 6×\frac{x-3}{6}\\2x&＞6-(x-3)\end{aligned}$
第二步去括号：
$2x＞6-x+3$
第三步移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号：
$2x+x＞6+3$
第四步合并同类项：
$3x＞9$
第五步系数化为1，两边同时除以正数3，不等号方向不变：
$x＞3$
【答案】
$x＞3$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题为基础常考题型，核心考察一元一次不等式的标准求解步骤，计算时要注意避免去分母漏乘常数项、去括号时符号出错等常见问题，熟练掌握相关规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
