1 新考向 传统文化 [2026江苏南京质检,中]冰裂纹是中国传统陶瓷工艺中的釉面装饰技法.小明研究一个青花瓷表面时,发现一个有趣的冰裂纹图案.如图,点$A'$,$B'$,$C'$,$D'$分别是点$A$,$B$,$C$,$D$关于点$B$,$C$,$D$,$A$的对称点,设$S$表示四边形$ABCD$的面积,$S'$表示四边形$A'B'C'D'$的面积,则$\frac{S'}{S}$的值为 ()


A.3
B.4
C.5
D.6

1.C 【解析】如图,连结BD,B'D,BD'.由题意可知点D为CC'中点,点C为BB'中点,所以$S_{△C'CB'}=2S_{△B'CD}$,$S_{△B'CD}=S_{△BCD}$,所以$S_{△C'CB'}=2S_{△BCD}$.同理可得$S_{△A'AD'}=2S_{△ABD}$,所以$S_{△C'CB'}+S_{△A'AD'}=2S_{四边形ABCD}=2S$.同理可得$S_{△D'DC'}+S_{△B'BA'}=2S$,所以S'=5S,则$\frac{S'}{S}=5$.故选C.

2[中]如图,将△ABC沿DE折叠,点A落在点A'处,A'E,A'D与边BC分别相交于点M,N,若∠1+∠2=150°,则∠3+∠4的度数为 ()

A.250°
B.255°
C.260°
D.265°

2.B 【解析】由折叠得∠ADE = ∠A'DE,∠AED = ∠A'ED,所以∠1 = 180°-2∠AED,∠2 = 180°-2∠ADE,所以∠1 + ∠2 = 360° - 2(∠AED+∠ADE),所以∠1+∠2=360°-2(180°-∠A),所以∠1+∠2=2∠A.因为∠1+∠2=150°,所以∠A=75°,所以∠B+∠C=180°-∠A=105°.因为∠3=∠1+∠C,∠4=∠2+∠B,所以∠3+∠4=∠1+∠2+∠B+∠C=150°+105°=255°,故选B.

3[中]如图，∠AOB=20°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN的值最小时，β−α等于.

3.40° 【解析】如图,作M关于OB的对称点M',N关于OA的对称点N',连结M'N'交OA于Q,交OB于P,此时MP + PQ + QN 的值最小,所以∠OPM = ∠OPM' = ∠NPQ,∠OQP = ∠AQN' = ∠AQN,所以∠QPN=$\frac{1}{2}(180°-α)$=∠AOB+∠MQP=20°+$\frac{1}{2}(180°-β)$,所以180°-α=40°+(180°-β),所以β-α=40°,故答案为40°.

4[2026福建福州期中,较难]
如图,在长方形ABCD中,BD为对角线,∠ABD=48°,P为AD边上一点,连结BP,作△PBA关于BP对称的△PBE,点F是点E关于BD的对称点,设∠ABP=x°,若点F在△PBD内(不包括边界),则x的取值范围是.

4.24＜x＜32 【解析】如图(1),当点F在BD上时,点E与点F重合.因为△PBA与△PBE关于BP对称,∠ABD=48°,所以∠ABP=$\frac{1}{2}$∠ABD=$\frac{1}{2}×48°=24°$,所以x=24;如图(2),当点F在BP上时,因为△PBA与△PBE关于BP对称,所以∠EBP=∠ABP=x°.因为点F是点E关于BD的对称点,所以∠PBD=$\frac{1}{2}∠EBP=(\frac{1}{2}x)°$.因为∠ABD=48°,所以$x°+(\frac{1}{2}x)°=48°$,解得x=32.所以x的取值范围是24＜x＜32.故答案为24＜x＜32.

5[2025 浙江宁波期中,较难]
如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,
$AC=3,BC=4,AB=5,D,E,F$
分别是$AB,BC,AC$边上的动
点,则$DE+EF+DF$的最小值是.

5.4.8 【解析】如图,作D关于AC的对称点M,作D关于BC的对称点N,连结CM,CN,CD,EN,FM,则∠MCA = ∠DCA,∠BCN = ∠BCD,DF = FM,DE = EN,CD = CM,CD = CN,所以CD = CM = CN.因为∠ACD+∠BCD=90°,所以∠MCD+∠NCD=2(∠ACD+∠BCD)=180°,所以M,C,N三点共线.因为DF+DE+EF=FM+EN+EF≥MN=2CD,所以当M,F,E,N四点共线,且CD⊥AB时,DE+EF+DF的值最小,最小值为2CD.因为CD⊥AB,所以$\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}BC·AC$,所以CD=$\frac{BC·AC}{AB}=\frac{4×3}{5}=2.4$,所以DE+EF+DF的最小值为4.8.故答案为4.8.

6[2026上海闵行区质检,中]如图,已知长方形ABCD,点E在线段AD上,将△ABE沿直线BE翻折后,点A落在线段CD上的点F处.
(1)用圆规和直尺画出△FBE(保留作图痕迹);
(2)如果△FDE的周长为6,△FCB的周长为a(a＞6),用含有a的代数式表示FC的长.

6.【解】(1)如图所示,△FBE即为所求.
(2)由题意可知,BA = BF,EF = AE.因为△FDE的周长为6,所以FD + DE + EF = FD + DE + AE = DF + AD = 6.因为△FCB的周长为a(a＞6),四边形ABCD是长方形,所以AD = BC,AB = CD,FB + BC + CF = AB + BC + FC = a,所以AB + BC = AD + DC = AD + DF + FC,所以a - FC = 6 + FC,所以$FC=\frac{a-6}{2}$.

7[较难]如图，AH平分$∠ PAQ$，M为射线AH上任意一点(不与点A重合)，过点M作AH的垂线分别交AP，AQ于点B，C.
(1)求证:$BM=CM$；
(2)作点M关于射线AP的对称点N，连结BN，在线段BN上取一点D(不与点B，点N重合)，作$∠ DAE = \frac{1}{2}∠ PAQ$，交线段BM于点E，连结DE.用等式表示线段EC，BD，DE之间的数量关系，并证明.

7.(1)【证明】因为AH平分∠PAQ,所以∠BAM = ∠CAM.因为BC ⊥ AH,所以∠AMB = ∠AMC = 90°.因为∠BAM = ∠CAM,AM = AM,∠AMB = ∠AMC = 90°,所以△ABM ≌ △ACM (ASA),所以BM = CM.
(2)【解】EC = BD + DE.证明如下:如图,连结AN,在CE上截取CF,使得CF = DB,连结AF.由轴对称的性质可知,AN = AM,∠BAN = ∠BAM,∠ABN = ∠ABM.因为△ABM ≌ △ACM,所以∠ABM = ∠ACM,AB = AC,所以∠ABN = ∠ACM.因为AB = AC,∠ABD = ∠ACF,DB = CF,所以△ABD ≌ △ACF (SAS),所以AD = AF,∠BAD = ∠CAF.因为∠DAE = $\frac{1}{2}∠PAQ$ = ∠BAM = ∠CAM,所以∠BAD + ∠BAE = ∠BAE + ∠EAM = ∠CAF + ∠FAM,所以∠BAD = ∠EAM,∠BAE = ∠FAM,所以∠BAD + ∠BAE = ∠EAM + ∠FAM,即∠DAE = ∠FAE.因为AD = AF,∠DAE = ∠FAE,AE = AE,所以△ADE ≌ △AFE(SAS),所以DE = EF.因为EC = CF + EF,所以EC = BD + DE.