1（2025·扬州江都区二模）如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，点F在弧AE上。若$∠ CDF = 95°$，则$∠ FCD$的大小为（）。

A.$38°$
B.$42°$
C.$49°$
D.$58°$

C

2 数学文化 了解勒洛三角形 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形。如图，该勒洛三角形绕其中心O旋转一定角度α后能与自身重合，则该角度α可以为()。

A.$30°$
B.$60°$
C.$120°$
D.$150°$

C

3（2025·南京秦淮区期末）如图，点O是边长为6的正六边形ABCDEF和边长为a的正方形MNPQ的中心，将正方形MNPQ绕点O旋转一周.若在旋转过程中，正方形MNPQ始终在正六边形ABCDEF的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则a的取值范围是.

0＜a＜3√6

4 (2025·无锡中考)已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为$90°$，则这条弧的长为().

A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$

B

5 如图,六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,曲线$FK_1K_2K_3K_4K_5K_6K_7···$叫作“正六边形的渐开线”,其中$\overset{\frown}{FK_1}$,$\overset{\frown}{K_1K_2}$,$\overset{\frown}{K_2K_3}$,$\overset{\frown}{K_3K_4}$,$\overset{\frown}{K_4K_5}$,$\overset{\frown}{K_5K_6}···$的圆心依次按点A,B,C,D,E,F循环,一电子宠物从点F出发,
沿着“渐开线”爬至点$K_7$的路径长为().


A.$\frac{7}{3}π$
B.$7π$
C.$9π$
D.$\frac{28}{3}π$

D

6 转化法 如图,在$△ ABC$中,$CA=CB=4$,$∠ ACB=90°$,以AB的中点D为圆心,作圆心角为$90°$的扇形DEF,点C恰好在弧EF上,则图中阴影部分面积为。

2π−4

7 (2026·徐州睢宁期中)如图,从边长为$8\sqrt{3}$ cm的等边三角形中剪一个最大的扇形ADE,若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径应为().

A.1 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.2 cm
D.$2\sqrt{3}$ cm

C

8 已知圆锥的侧面积为$24π$，母线长为3，则圆锥的底面半径是。

8

9 如图(1),矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方,线段AB与点E,F都在直线l上,且AB=7,EF=10,BC＞5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发,沿射线EF方向运动,矩形ABCD随之运动,运动时间为t秒.
(1)如图(2),当t=2.5时,求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度;
(2)在点B运动的过程中,当AD,BC都与半圆O相交时,设这两个交点分别为G,H.连接OG,OH,若∠GOH为直角,求此时t的值.

(1)如图(1),设 BC 与$\odot O$交于点 M.
当$t=2.5$时,$BE=2.5$.
$\because EF=10,\therefore OE=\frac{1}{2}EF=5,\therefore OB=2.5,\therefore EB=OB$.
在矩形 ABCD 中,$\because ∠ABC=90°,\therefore ME=MO$.
又$MO=EO,\therefore ME=EO=MO$,
$\therefore △ MOE$是等边三角形,$\therefore ∠EOM=60°,\therefore l_{\overset{\frown}{ME}}=\frac{60π×5}{180}=\frac{5π}{3}$.
故半圆 O 在矩形 ABCD 内的弧的长度为$\frac{5π}{3}$.

(2)如图(2),连接 GO,HO.
$\because ∠GOH=90°,\therefore ∠AOG+∠BOH=90°$.
$\because ∠AGO+∠AOG=90°,\therefore ∠AGO=∠BOH$.
在$△ AGO$和$△ BOH$中,$\begin{cases} ∠AGO=∠BOH, \\ ∠GAO=∠OBH, \\ OG=HO, \end{cases}$
$\therefore △ AGO≌△ BOH(AAS),\therefore AG=OB=EB-OE=t-5$.
$\because AB=7,\therefore AE=EB-AB=t-7$,
$\therefore AO=OE-AE=5-(t-7)=12-t$.
在$\mathrm{Rt}△ AGO$中,$AG^2+AO^2=OG^2$,
$\therefore (t-5)^2+(12-t)^2=5^2$,
解得$t_1=8,t_2=9$,故 t 的值为 8 或 9.