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1. 在$\odot O$中,如果$75°$的圆心角所对的弧长是2.5π cm,那么$\odot O$的半径是（
A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
A
）A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
1.A
解析
【分析】
本题已知圆心角的度数和对应弧长，要求圆的半径，解题核心是运用弧长计算公式。首先回忆弧长公式：$l = \frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），将已知的$n$、$l$的值代入公式，得到关于半径$r$的一元一次方程，解方程即可求出半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是圆心角度数，$l$是弧长）：
已知$n=75°$，$l=2.5π\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$2.5π=\frac{75×π× r}{180}$
两边同时除以$π$，得：
$2.5=\frac{75r}{180}$
化简右边分数：$\frac{75}{180}=\frac{5}{12}$，则：
$2.5=\frac{5r}{12}$
解得：$r=2.5×\frac{12}{5}=6$
即$\odot O$的半径是6 cm。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式应用，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查弧长公式的直接运用，计算时可先约去$π$简化运算，降低出错概率，熟练掌握弧长公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题已知圆心角的度数和对应弧长，要求圆的半径，解题核心是运用弧长计算公式。首先回忆弧长公式：$l = \frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），将已知的$n$、$l$的值代入公式，得到关于半径$r$的一元一次方程，解方程即可求出半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是圆心角度数，$l$是弧长）：
已知$n=75°$，$l=2.5π\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$2.5π=\frac{75×π× r}{180}$
两边同时除以$π$，得：
$2.5=\frac{75r}{180}$
化简右边分数：$\frac{75}{180}=\frac{5}{12}$，则：
$2.5=\frac{5r}{12}$
解得：$r=2.5×\frac{12}{5}=6$
即$\odot O$的半径是6 cm。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式应用，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查弧长公式的直接运用，计算时可先约去$π$简化运算，降低出错概率，熟练掌握弧长公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2.(常州中考)如图，$\odot O$的半径为2，直径AB，CD互相垂直，则$\overset{\frown}{BC}$的长是（
A.$\frac{π}{4}$
B.$\frac{π}{2}$
C.$π$
D.$2π$
C
）A.$\frac{π}{4}$
B.$\frac{π}{2}$
C.$π$
D.$2π$
答案
2.C
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{BC}$的长，需使用弧长计算公式，首先要明确两个必备条件：一是弧对应的圆心角度数，二是圆的半径。题目已给出圆的半径为2，再根据直径AB、CD互相垂直的条件，可推出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC=90°$，最后将数值代入弧长公式即可求解。
【解析】
∵ 直径AB、CD互相垂直，
∴ $∠ BOC=90°$，
已知$\odot O$的半径$r=2$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），
可得$\overset{\frown}{BC}$的长为：$\frac{90×π×2}{180}=π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，垂直的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先确定所求弧对应的圆心角度数，再正确代入弧长公式计算，掌握弧长公式和基础的垂直性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要求弧$\overset{\frown}{BC}$的长，需使用弧长计算公式，首先要明确两个必备条件：一是弧对应的圆心角度数，二是圆的半径。题目已给出圆的半径为2，再根据直径AB、CD互相垂直的条件，可推出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC=90°$，最后将数值代入弧长公式即可求解。
【解析】
∵ 直径AB、CD互相垂直，
∴ $∠ BOC=90°$，
已知$\odot O$的半径$r=2$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），
可得$\overset{\frown}{BC}$的长为：$\frac{90×π×2}{180}=π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，垂直的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先确定所求弧对应的圆心角度数，再正确代入弧长公式计算，掌握弧长公式和基础的垂直性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
3.(湖南中考)如图,北京市某处A位于北纬$40°$(即$∠ AOC=40°$),东经$116°$,三沙市海域某处B位于北纬$15°$(即$∠ BOC=15°$),东经$116°$.设地球的半径约为$R$千米,则在东经$116°$所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为 (
A.$\frac{5}{72}π R$ 千米
B.$\frac{1}{12}π R$ 千米
C.$\frac{5}{36}π R$ 千米
D.$\frac{2}{9}π R$ 千米
C
)A.$\frac{5}{72}π R$ 千米
B.$\frac{1}{12}π R$ 千米
C.$\frac{5}{36}π R$ 千米
D.$\frac{2}{9}π R$ 千米
答案
3.C
解析
【分析】
首先观察A、B两点的经纬度，二者经度相同，因此两点在同一个经线圈上，两点间劣弧对应的圆心角为两个北纬度数的差值。解题步骤为：①先求出劣弧对应的圆心角度数；②回忆弧长计算公式；③将圆心角度数、地球半径代入公式计算即可得到结果。
【解析】
∵A、B两点经度相同，均位于东经116°的经线圈上，且∠AOC=40°，∠BOC=15°，
∴劣弧AB对应的圆心角∠AOB=∠AOC-∠BOC=40°-15°=25°。
根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$（其中n为圆心角度数，R为圆的半径），将n=25、半径为R代入得：
劣弧AB的长$l=\frac{25πR}{180}=\frac{5πR}{36}$（千米）。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆心角求法，经纬度概念
【点评】
本题结合实际生活中的经纬度背景考查弧长的应用，解题的核心是准确求出劣弧对应的圆心角度数，熟练掌握弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察A、B两点的经纬度，二者经度相同，因此两点在同一个经线圈上，两点间劣弧对应的圆心角为两个北纬度数的差值。解题步骤为：①先求出劣弧对应的圆心角度数；②回忆弧长计算公式；③将圆心角度数、地球半径代入公式计算即可得到结果。
【解析】
∵A、B两点经度相同，均位于东经116°的经线圈上，且∠AOC=40°，∠BOC=15°，
∴劣弧AB对应的圆心角∠AOB=∠AOC-∠BOC=40°-15°=25°。
根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$（其中n为圆心角度数，R为圆的半径），将n=25、半径为R代入得：
劣弧AB的长$l=\frac{25πR}{180}=\frac{5πR}{36}$（千米）。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆心角求法，经纬度概念
【点评】
本题结合实际生活中的经纬度背景考查弧长的应用，解题的核心是准确求出劣弧对应的圆心角度数，熟练掌握弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.(哈尔滨中考)一个扇形的弧长是$\frac{7}{6}π$ cm，半径是3 cm，则此扇形的圆心角是
70
度。答案
4.70
解析
【分析】
解题的核心是运用弧长公式建立等式求解圆心角。首先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，已知弧长和半径，将公式变形为求圆心角的形式，再代入已知数值计算即可，计算时注意消去π简化运算，最后结果的单位为度。
【解析】
设该扇形的圆心角为$n$度，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$l$为弧长，$R$为扇形半径），已知$l=\frac{7}{6}π\ \mathrm{cm}$，$R=3\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$\frac{7}{6}π=\frac{nπ×3}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{7}{6}=\frac{n}{60}$
解得：$n=70$
【答案】
70
【知识点】
弧长公式；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查弧长公式的直接应用，熟练掌握弧长公式是解题的关键，计算时可先约去公共因式简化运算，避免计算错误。
【难度系数】
0.85
解题的核心是运用弧长公式建立等式求解圆心角。首先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，已知弧长和半径，将公式变形为求圆心角的形式，再代入已知数值计算即可，计算时注意消去π简化运算，最后结果的单位为度。
【解析】
设该扇形的圆心角为$n$度，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$l$为弧长，$R$为扇形半径），已知$l=\frac{7}{6}π\ \mathrm{cm}$，$R=3\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$\frac{7}{6}π=\frac{nπ×3}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{7}{6}=\frac{n}{60}$
解得：$n=70$
【答案】
70
【知识点】
弧长公式；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查弧长公式的直接应用，熟练掌握弧长公式是解题的关键，计算时可先约去公共因式简化运算，避免计算错误。
【难度系数】
0.85
5.如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，$\overset{\frown}{AB}$是以点O为圆心，18 cm为半径的弧，弦AB的长为18 cm，则AB的长是
$6π$
cm.答案
5.$6π$
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，需先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$是弧所对圆心角的度数，$R$是圆的半径）。题目已经给出半径$R=18\mathrm{cm}$，因此只需先求出圆心角$∠ AOB$的度数即可。已知$OA、OB$都是半径，长度为$18\mathrm{cm}$，弦$AB$长也为$18\mathrm{cm}$，可先判断$△ AOB$的形状，进而得到圆心角的度数，再代入公式计算弧长。
【解析】
解：$\because OA、OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OB=18\mathrm{cm}$，
又$\because AB=18\mathrm{cm}$，
$\therefore OA=OB=AB$，即$△ AOB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AB}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{60×π×18}{180}=6π(\mathrm{cm})$。
【答案】
$6π$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【点评】
本题是弧长计算的基础题型，解题核心是通过三边相等的条件判断出三角形为等边三角形，得到弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解即可。
【难度系数】
0.8
要求弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，需先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$是弧所对圆心角的度数，$R$是圆的半径）。题目已经给出半径$R=18\mathrm{cm}$，因此只需先求出圆心角$∠ AOB$的度数即可。已知$OA、OB$都是半径，长度为$18\mathrm{cm}$，弦$AB$长也为$18\mathrm{cm}$，可先判断$△ AOB$的形状，进而得到圆心角的度数，再代入公式计算弧长。
【解析】
解：$\because OA、OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OB=18\mathrm{cm}$，
又$\because AB=18\mathrm{cm}$，
$\therefore OA=OB=AB$，即$△ AOB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AB}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{60×π×18}{180}=6π(\mathrm{cm})$。
【答案】
$6π$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【点评】
本题是弧长计算的基础题型，解题核心是通过三边相等的条件判断出三角形为等边三角形，得到弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解即可。
【难度系数】
0.8
6. 在半径为2的圆中，扇形AOB的圆心角为$60°$，则扇形AOB的面积为（
A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{2π}{3}$
C.$π$
D.$\frac{4π}{3}$
B
）A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{2π}{3}$
C.$π$
D.$\frac{4π}{3}$
答案
6.B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确已知条件：圆的半径r=2，扇形AOB的圆心角n=60°，所求为扇形的面积。我们可以回忆扇形面积的计算公式：扇形面积等于圆心角占360°的比例乘以整个圆的面积，对应公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），接下来只要将已知数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
扇形面积的计算公式为：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，其中n是扇形的圆心角度数，r是扇形所在圆的半径。
已知r=2，n=60°，代入公式得：
$S_{\mathrm{扇形AOB}}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{60×4π}{360}=\frac{2π}{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查扇形面积公式的直接应用，解题的关键是熟记公式，代入数值时注意半径要平方，计算过程中做好约分即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确已知条件：圆的半径r=2，扇形AOB的圆心角n=60°，所求为扇形的面积。我们可以回忆扇形面积的计算公式：扇形面积等于圆心角占360°的比例乘以整个圆的面积，对应公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），接下来只要将已知数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
扇形面积的计算公式为：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，其中n是扇形的圆心角度数，r是扇形所在圆的半径。
已知r=2，n=60°，代入公式得：
$S_{\mathrm{扇形AOB}}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{60×4π}{360}=\frac{2π}{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查扇形面积公式的直接应用，解题的关键是熟记公式，代入数值时注意半径要平方，计算过程中做好约分即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
7.小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为$120°$，且它的喷灌区域是一个扇形。若它能喷灌的扇形草坪面积为$4π$平方米，则这个扇形的半径是（
A.$\sqrt{6}$米
B.$2\sqrt{2}$米
C.$\sqrt{10}$米
D.$2\sqrt{3}$米
D
）A.$\sqrt{6}$米
B.$2\sqrt{2}$米
C.$\sqrt{10}$米
D.$2\sqrt{3}$米
答案
7.D
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练运用扇形面积公式，首先明确已知条件：扇形的圆心角为$120°$，面积为$4π$，要求半径。我们可以先设半径为$r$，将已知量代入扇形面积公式，得到关于$r$的方程，解方程后结合半径为正数的实际意义，舍去负解即可得到结果。
【解析】
设这个扇形的半径为$r$米，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$S$为扇形面积），将$n=120°$，$S=4π$代入得：
$\frac{120π r^2}{360}=4π$
化简得：$\frac{π r^2}{3}=4π$
两边同时除以$π$得：$\frac{r^2}{3}=4$
整理得：$r^2=12$
因为半径为正数，所以$r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$（负根舍去）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积公式，开方运算
【点评】
本题是扇形面积相关的基础题型，重点考查对扇形面积公式的识记与应用，解题时只需准确代入已知量解方程即可，注意结合实际意义对根进行取舍，属于易得分题目。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是熟练运用扇形面积公式，首先明确已知条件：扇形的圆心角为$120°$，面积为$4π$，要求半径。我们可以先设半径为$r$，将已知量代入扇形面积公式，得到关于$r$的方程，解方程后结合半径为正数的实际意义，舍去负解即可得到结果。
【解析】
设这个扇形的半径为$r$米，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$S$为扇形面积），将$n=120°$，$S=4π$代入得：
$\frac{120π r^2}{360}=4π$
化简得：$\frac{π r^2}{3}=4π$
两边同时除以$π$得：$\frac{r^2}{3}=4$
整理得：$r^2=12$
因为半径为正数，所以$r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$（负根舍去）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积公式，开方运算
【点评】
本题是扇形面积相关的基础题型，重点考查对扇形面积公式的识记与应用，解题时只需准确代入已知量解方程即可，注意结合实际意义对根进行取舍，属于易得分题目。
【难度系数】
0.8
8.一个扇形的弧长是$10π$，半径为12，则其面积为
$60π$
。答案
8.$60π$
解析
【分析】
本题要求扇形的面积，我们学过扇形面积有两种常用计算方法：①已知圆心角$n$和半径$R$时，用$S=\frac{nπ R^2}{360}$；②已知弧长$l$和半径$R$时，用$S=\frac{1}{2}lR$。题目已经直接给出弧长和半径，所以直接选择第二种公式计算即可，不需要额外求解圆心角，能简化计算过程。
【解析】
已知扇形的弧长$l=10π$，半径$R=12$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$，代入数值计算：
$S_{扇形}=\frac{1}{2} × 10π × 12 = 60π$
【答案】
$60π$
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是灵活选择扇形面积的计算公式，当已知弧长和半径时，直接用弧长相关的扇形面积公式能有效提高解题效率，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.9
本题要求扇形的面积，我们学过扇形面积有两种常用计算方法：①已知圆心角$n$和半径$R$时，用$S=\frac{nπ R^2}{360}$；②已知弧长$l$和半径$R$时，用$S=\frac{1}{2}lR$。题目已经直接给出弧长和半径，所以直接选择第二种公式计算即可，不需要额外求解圆心角，能简化计算过程。
【解析】
已知扇形的弧长$l=10π$，半径$R=12$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$，代入数值计算：
$S_{扇形}=\frac{1}{2} × 10π × 12 = 60π$
【答案】
$60π$
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是灵活选择扇形面积的计算公式，当已知弧长和半径时，直接用弧长相关的扇形面积公式能有效提高解题效率，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.9
9.苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺,其特点是细腻精致、典雅秀气.图1是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》,图2是它的设计图,其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O,且圆心角∠O=108°.已知OA=100 cm,OB=40 cm,则该砖雕的面积为
$2520π$
cm². 答案
9.$2520π$
解析
【分析】
首先观察图形可知，该砖雕是圆心角相同的两个扇形形成的扇环，其面积等于大扇形OAD的面积减去小扇形OBC的面积。解题时我们先回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），再将已知的圆心角∠O=108°，两个扇形的半径OA=100cm、OB=40cm分别代入公式计算两个扇形的面积，最后作差就能得到砖雕的面积。
【解析】
解：由题意得，砖雕的面积为扇形OAD与扇形OBC的面积差。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，其中圆心角$n=108°$：
$S_{\mathrm{扇形}OAD}=\frac{108π × 100^2}{360}$，
$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{108π × 40^2}{360}$，
则砖雕面积：
$S = S_{\mathrm{扇形}OAD} - S_{\mathrm{扇形}OBC}$
$=\frac{108π}{360}×(100^2 - 40^2)$
$=\frac{3}{10}π×(10000 - 1600)$
$=\frac{3}{10}π×8400$
$=2520π (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$2520π$
【知识点】
扇形面积计算，面积差法求图形面积
【点评】
本题结合传统砖雕工艺的情境考查扇形面积的实际应用，解题的核心是识别出所求图形为两个同圆心角扇形的面积差，熟记扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知，该砖雕是圆心角相同的两个扇形形成的扇环，其面积等于大扇形OAD的面积减去小扇形OBC的面积。解题时我们先回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），再将已知的圆心角∠O=108°，两个扇形的半径OA=100cm、OB=40cm分别代入公式计算两个扇形的面积，最后作差就能得到砖雕的面积。
【解析】
解：由题意得，砖雕的面积为扇形OAD与扇形OBC的面积差。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，其中圆心角$n=108°$：
$S_{\mathrm{扇形}OAD}=\frac{108π × 100^2}{360}$，
$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{108π × 40^2}{360}$，
则砖雕面积：
$S = S_{\mathrm{扇形}OAD} - S_{\mathrm{扇形}OBC}$
$=\frac{108π}{360}×(100^2 - 40^2)$
$=\frac{3}{10}π×(10000 - 1600)$
$=\frac{3}{10}π×8400$
$=2520π (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$2520π$
【知识点】
扇形面积计算，面积差法求图形面积
【点评】
本题结合传统砖雕工艺的情境考查扇形面积的实际应用，解题的核心是识别出所求图形为两个同圆心角扇形的面积差，熟记扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
