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1 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则点$(a,b)$所在的象限是（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1. D
解析
【分析】
要判断点$(a,b)$所在象限，需先确定$a$、$b$的符号：①先根据二次函数图象的开口方向确定$a$的正负；②再根据对称轴的位置，结合对称轴公式推导$b$的正负；③最后根据象限内点的坐标特征判断点$(a,b)$所在象限。
【解析】
1. 确定$a$的符号：
∵二次函数图象开口向上，
∴$a＞0$；
2. 确定$b$的符号：
∵抛物线的对称轴在$y$轴右侧，
∴对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，
又
∵$a＞0$，不等式两边同时乘正数$2a$，不等号方向不变，可得$-b＞0$，即$b＜0$；
3. 判断点所在象限：$a＞0$说明点的横坐标为正，$b＜0$说明点的纵坐标为负，因此点$(a,b)$在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握二次函数系数和图象特征的对应规律，尤其是“开口定$a$、对称轴位置结合$a$定$b$”的判断方法，也就是常说的“左同右异”规律，掌握后可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断点$(a,b)$所在象限，需先确定$a$、$b$的符号：①先根据二次函数图象的开口方向确定$a$的正负；②再根据对称轴的位置，结合对称轴公式推导$b$的正负；③最后根据象限内点的坐标特征判断点$(a,b)$所在象限。
【解析】
1. 确定$a$的符号：
∵二次函数图象开口向上，
∴$a＞0$；
2. 确定$b$的符号：
∵抛物线的对称轴在$y$轴右侧，
∴对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，
又
∵$a＞0$，不等式两边同时乘正数$2a$，不等号方向不变，可得$-b＞0$，即$b＜0$；
3. 判断点所在象限：$a＞0$说明点的横坐标为正，$b＜0$说明点的纵坐标为负，因此点$(a,b)$在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握二次函数系数和图象特征的对应规律，尤其是“开口定$a$、对称轴位置结合$a$定$b$”的判断方法，也就是常说的“左同右异”规律，掌握后可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 二次函数 $ y=ax^2+bx+c(a＞0) $ 的图象如图所示，有下列结论：① $ c＜0 $；② $ -\frac{b}{2a}＞0 $；③ 当 $ -1＜x＜3 $ 时，$ y＜0 $。其中，正确的是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
D
）A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
2. D
解析
【分析】
解决本题需要结合二次函数的图像特征，逐一验证三个结论：首先明确c是二次函数图像与y轴交点的纵坐标，直接观察y轴交点位置即可判断①；其次二次函数的对称轴是其与x轴两个交点的中点，也可由公式$x=-\frac{b}{2a}$表示，计算出对称轴位置就能判断②；最后结合抛物线开口方向和x轴交点的位置，判断指定区间内函数值的正负，即可判断③。
【解析】
1. 判断结论①：二次函数$y=ax^2+bx+c$与y轴交点的纵坐标为c，由图像可知交点在y轴负半轴，因此$c＜0$，①正确。
2. 判断结论②：二次函数与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，因此对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1＞0$，②正确。
3. 判断结论③：已知$a＞0$，抛物线开口向上，两个x轴交点之间的图像位于x轴下方，因此当$-1＜x＜3$时，$y＜0$，③正确。
综上①②③均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴，函数值符号判断
【点评】
本题属于二次函数图像类基础题，解题核心是将图像特征和二次函数的系数、函数值等性质对应，考查学生的读图分析能力，熟练掌握二次函数基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合二次函数的图像特征，逐一验证三个结论：首先明确c是二次函数图像与y轴交点的纵坐标，直接观察y轴交点位置即可判断①；其次二次函数的对称轴是其与x轴两个交点的中点，也可由公式$x=-\frac{b}{2a}$表示，计算出对称轴位置就能判断②；最后结合抛物线开口方向和x轴交点的位置，判断指定区间内函数值的正负，即可判断③。
【解析】
1. 判断结论①：二次函数$y=ax^2+bx+c$与y轴交点的纵坐标为c，由图像可知交点在y轴负半轴，因此$c＜0$，①正确。
2. 判断结论②：二次函数与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，因此对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1＞0$，②正确。
3. 判断结论③：已知$a＞0$，抛物线开口向上，两个x轴交点之间的图像位于x轴下方，因此当$-1＜x＜3$时，$y＜0$，③正确。
综上①②③均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴，函数值符号判断
【点评】
本题属于二次函数图像类基础题，解题核心是将图像特征和二次函数的系数、函数值等性质对应，考查学生的读图分析能力，熟练掌握二次函数基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3 [2025邢台南宫期末]二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，有下列结论：
① $abc＞0$；② 函数的最大值为$a-b+c$；
③ 当$-3≤x≤1$时，$y≥0$；④ $4a-2b+c＜0$。
其中，正确的是
① $abc＞0$；② 函数的最大值为$a-b+c$；
③ 当$-3≤x≤1$时，$y≥0$；④ $4a-2b+c＜0$。
其中，正确的是
①②③
（填序号）。答案
3. ①②③
解析
【分析】
解题时先从二次函数图象提取核心信息：根据开口方向判断a的符号，结合对称轴公式判断b的符号，根据图象与y轴交点判断c的符号，再利用二次函数的对称性、最值性质、函数值与自变量的对应关系逐一验证结论：1. 结合a、b、c的正负验证结论①；2. 开口向下的二次函数最大值在顶点处，代入x=-1计算函数值验证结论②；3. 利用对称轴求出图象与x轴的另一个交点，确定y≥0的自变量区间验证结论③；4. 找到4a-2b+c对应的自变量x=-2，判断该点函数值的正负验证结论④。
【解析】
解：根据图象信息推导如下：
1. 抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，$\because a＜0$，$\therefore b＜0$；
抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
$\therefore abc=(\mathrm{负})×(\mathrm{负})×(\mathrm{正})＞0$，故①正确。
2. 抛物线开口向下，顶点在对称轴$x=-1$处，此时函数取得最大值，将$x=-1$代入解析式得$y=a·(-1)^2 +b·(-1)+c=a-b+c$，即函数最大值为$a-b+c$，故②正确。
3. 抛物线与x轴的一个交点为$(1,0)$，对称轴为$x=-1$，根据二次函数的对称性，另一个交点的横坐标为$-1-[1-(-1)]=-3$，即交点为$(-3,0)$；
观察图象可得，当$-3\le x\le1$时，图象在x轴及上方，即$y\ge0$，故③正确。
4. $4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，$\because -3＜-2＜-1$，该区间内图象在x轴上方，$\therefore x=-2$时$y＞0$，即$4a-2b+c＞0$，故④错误。
综上，正确结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础常考题型，解题核心是掌握图象特征与解析式系数的对应关系，能利用对称性快速推导未知交点坐标、判断区间内函数值的正负。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数图象提取核心信息：根据开口方向判断a的符号，结合对称轴公式判断b的符号，根据图象与y轴交点判断c的符号，再利用二次函数的对称性、最值性质、函数值与自变量的对应关系逐一验证结论：1. 结合a、b、c的正负验证结论①；2. 开口向下的二次函数最大值在顶点处，代入x=-1计算函数值验证结论②；3. 利用对称轴求出图象与x轴的另一个交点，确定y≥0的自变量区间验证结论③；4. 找到4a-2b+c对应的自变量x=-2，判断该点函数值的正负验证结论④。
【解析】
解：根据图象信息推导如下：
1. 抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，$\because a＜0$，$\therefore b＜0$；
抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
$\therefore abc=(\mathrm{负})×(\mathrm{负})×(\mathrm{正})＞0$，故①正确。
2. 抛物线开口向下，顶点在对称轴$x=-1$处，此时函数取得最大值，将$x=-1$代入解析式得$y=a·(-1)^2 +b·(-1)+c=a-b+c$，即函数最大值为$a-b+c$，故②正确。
3. 抛物线与x轴的一个交点为$(1,0)$，对称轴为$x=-1$，根据二次函数的对称性，另一个交点的横坐标为$-1-[1-(-1)]=-3$，即交点为$(-3,0)$；
观察图象可得，当$-3\le x\le1$时，图象在x轴及上方，即$y\ge0$，故③正确。
4. $4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，$\because -3＜-2＜-1$，该区间内图象在x轴上方，$\therefore x=-2$时$y＞0$，即$4a-2b+c＞0$，故④错误。
综上，正确结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础常考题型，解题核心是掌握图象特征与解析式系数的对应关系，能利用对称性快速推导未知交点坐标、判断区间内函数值的正负。
【难度系数】
0.7
4 [2025 晋中祁县期末]已知点$A(-1,y_1),B(3,y_2),C(5,y_3)$在抛物线$y=-6(x-3)^2-4$上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_2＞y_3＞y_1$
B.$y_3＞y_2＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
A
）A.$y_2＞y_3＞y_1$
B.$y_3＞y_2＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
4. A
解析
【分析】
要比较抛物线上三个点的纵坐标大小，可利用二次函数的性质求解：首先根据抛物线的顶点式确定开口方向和对称轴，开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，据此分别计算三个点到对称轴的距离，即可判断$y_1、y_2、y_3$的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-6(x-3)^2-4$：
1. 由二次项系数$a=-6＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，顶点是抛物线的最高点，即对称轴上的点对应的函数值最大；
2. 点$B(3,y_2)$在对称轴上，因此$y_2$是三个函数值中的最大值；
3. 计算另外两个点的横坐标到对称轴的距离：
点$A(-1,y_1)$到直线$x=3$的距离为$|-1-3|=4$，
点$C(5,y_3)$到直线$x=3$的距离为$|5-3|=2$，
因为抛物线开口向下，距离对称轴越近函数值越大，且$2＜4$，所以$y_3＞y_1$；
综上可得$y_2＞y_3＞y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的增减性；抛物线的对称轴；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题关键是结合开口方向，通过点到对称轴的距离判断函数值大小，相比直接代入坐标计算更快捷，掌握二次函数的增减性规律是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三个点的纵坐标大小，可利用二次函数的性质求解：首先根据抛物线的顶点式确定开口方向和对称轴，开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，据此分别计算三个点到对称轴的距离，即可判断$y_1、y_2、y_3$的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-6(x-3)^2-4$：
1. 由二次项系数$a=-6＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，顶点是抛物线的最高点，即对称轴上的点对应的函数值最大；
2. 点$B(3,y_2)$在对称轴上，因此$y_2$是三个函数值中的最大值；
3. 计算另外两个点的横坐标到对称轴的距离：
点$A(-1,y_1)$到直线$x=3$的距离为$|-1-3|=4$，
点$C(5,y_3)$到直线$x=3$的距离为$|5-3|=2$，
因为抛物线开口向下，距离对称轴越近函数值越大，且$2＜4$，所以$y_3＞y_1$；
综上可得$y_2＞y_3＞y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的增减性；抛物线的对称轴；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题关键是结合开口方向，通过点到对称轴的距离判断函数值大小，相比直接代入坐标计算更快捷，掌握二次函数的增减性规律是解题的核心。
【难度系数】
0.8
5 二次函数$y=ax^2 - 2ax + c(a＞0)$的图象经过$A(-4,y_1),B(-2,y_2),C(3,y_3),D(5,y_4)$四个点.若$y_2＜0,y_4＞0$,则下列结论正确的是（
A.$y_3y_4＞0$
B.$y_2y_3＜0$
C.$y_1y_3＜0$
D.$y_1y_2＞0$
C
）A.$y_3y_4＞0$
B.$y_2y_3＜0$
C.$y_1y_3＜0$
D.$y_1y_2＞0$
答案
5. C
解析
【分析】
解题第一步先求出二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性分析：该函数开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大。再计算四个点到对称轴的距离，结合已知$y_2＜0$、$y_4＞0$的条件，判断四个点对应函数值的正负，最后逐一验证选项即可得出结论。
【解析】
1. 求对称轴：对于二次函数$y=ax^2-2ax+c(a＞0)$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$得$x=\frac{2a}{2a}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$，且抛物线开口向上。
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$A(-4,y_1)$到$x=1$的距离：$|-4-1|=5$
点$B(-2,y_2)$到$x=1$的距离：$|-2-1|=3$
点$C(3,y_3)$到$x=1$的距离：$|3-1|=2$
点$D(5,y_4)$到$x=1$的距离：$|5-1|=4$
3. 结合开口向上的性质判断函数值正负：开口向上时，点离对称轴越近函数值越小，已知距离为3时$y_2＜0$，距离为4时$y_4＞0$，因此：
点C距离为$2＜3$，故$y_3＜y_2＜0$
点A距离为$5＞4$，故$y_1＞y_4＞0$
4. 逐一判断选项：
A：$y_3＜0$，$y_4＞0$，故$y_3y_4＜0$，错误
B：$y_2＜0$，$y_3＜0$，故$y_2y_3＞0$，错误
C：$y_1＞0$，$y_3＜0$，故$y_1y_3＜0$，正确
D：$y_1＞0$，$y_2＜0$，故$y_1y_2＜0$，错误
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的图象性质
【点评】
本题核心考查二次函数对称性的应用，解题关键是先求出对称轴，再通过比较点到对称轴的距离判断函数值的大小和正负，是二次函数性质的经典考法。
【难度系数】
0.6
解题第一步先求出二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性分析：该函数开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大。再计算四个点到对称轴的距离，结合已知$y_2＜0$、$y_4＞0$的条件，判断四个点对应函数值的正负，最后逐一验证选项即可得出结论。
【解析】
1. 求对称轴：对于二次函数$y=ax^2-2ax+c(a＞0)$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$得$x=\frac{2a}{2a}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$，且抛物线开口向上。
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$A(-4,y_1)$到$x=1$的距离：$|-4-1|=5$
点$B(-2,y_2)$到$x=1$的距离：$|-2-1|=3$
点$C(3,y_3)$到$x=1$的距离：$|3-1|=2$
点$D(5,y_4)$到$x=1$的距离：$|5-1|=4$
3. 结合开口向上的性质判断函数值正负：开口向上时，点离对称轴越近函数值越小，已知距离为3时$y_2＜0$，距离为4时$y_4＞0$，因此：
点C距离为$2＜3$，故$y_3＜y_2＜0$
点A距离为$5＞4$，故$y_1＞y_4＞0$
4. 逐一判断选项：
A：$y_3＜0$，$y_4＞0$，故$y_3y_4＜0$，错误
B：$y_2＜0$，$y_3＜0$，故$y_2y_3＞0$，错误
C：$y_1＞0$，$y_3＜0$，故$y_1y_3＜0$，正确
D：$y_1＞0$，$y_2＜0$，故$y_1y_2＜0$，错误
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的图象性质
【点评】
本题核心考查二次函数对称性的应用，解题关键是先求出对称轴，再通过比较点到对称轴的距离判断函数值的大小和正负，是二次函数性质的经典考法。
【难度系数】
0.6
6点$A(m,y_1)$，$B(m+4,y_2)$在二次函数$y=x^2+4x+c$的图象上.若$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围是
$m＞-4$
.答案
6. $m＞-4$
解析
【分析】
首先明确该二次函数的基本性质：二次项系数为1＞0，图象开口向上，先求出函数对称轴，再结合点的坐标特征分析。解题有两种符合学段要求的思路：一是直接将两点坐标代入函数解析式，根据$y_1＜y_2$列出关于$m$的不等式求解；二是利用开口向上的二次函数“点离对称轴越远，对应函数值越大”的性质，通过比较两点到对称轴的距离列不等式求解。
【解析】
方法1：代入坐标列不等式求解
将点$A(m,y_1)$、$B(m+4,y_2)$代入$y=x^2+4x+c$得：
$y_1=m^2+4m+c$，
$y_2=(m+4)^2+4(m+4)+c$。
由$y_1＜y_2$得$y_2-y_1＞0$，代入化简：
$\begin{aligned}(m+4)^2+4(m+4)+c - (m^2+4m+c) &＞ 0 \\m^2+8m+16+4m+16 - m^2-4m &＞0 \\8m+32 &＞0 \\m &＞-4\end{aligned}$
方法2：利用二次函数性质求解
二次函数$y=x^2+4x+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$，且$a=1＞0$，图象开口向上，函数值越小的点到对称轴的距离越近。
由$y_1＜y_2$得：$|m+2| ＜ |(m+4)+2|$，即$|m+2| ＜ |m+6|$
两边平方得：$(m+2)^2 ＜ (m+6)^2$
展开化简得：$-8m ＜32$，解得$m＞-4$
【答案】
$m＞-4$
【知识点】
二次函数的图象与性质；一元一次不等式的解法；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，两种解题思路均为常规考查方向，熟练掌握二次函数的开口、对称轴等基本性质，灵活运用代入法或对称性即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先明确该二次函数的基本性质：二次项系数为1＞0，图象开口向上，先求出函数对称轴，再结合点的坐标特征分析。解题有两种符合学段要求的思路：一是直接将两点坐标代入函数解析式，根据$y_1＜y_2$列出关于$m$的不等式求解；二是利用开口向上的二次函数“点离对称轴越远，对应函数值越大”的性质，通过比较两点到对称轴的距离列不等式求解。
【解析】
方法1：代入坐标列不等式求解
将点$A(m,y_1)$、$B(m+4,y_2)$代入$y=x^2+4x+c$得：
$y_1=m^2+4m+c$，
$y_2=(m+4)^2+4(m+4)+c$。
由$y_1＜y_2$得$y_2-y_1＞0$，代入化简：
$\begin{aligned}(m+4)^2+4(m+4)+c - (m^2+4m+c) &＞ 0 \\m^2+8m+16+4m+16 - m^2-4m &＞0 \\8m+32 &＞0 \\m &＞-4\end{aligned}$
方法2：利用二次函数性质求解
二次函数$y=x^2+4x+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$，且$a=1＞0$，图象开口向上，函数值越小的点到对称轴的距离越近。
由$y_1＜y_2$得：$|m+2| ＜ |(m+4)+2|$，即$|m+2| ＜ |m+6|$
两边平方得：$(m+2)^2 ＜ (m+6)^2$
展开化简得：$-8m ＜32$，解得$m＞-4$
【答案】
$m＞-4$
【知识点】
二次函数的图象与性质；一元一次不等式的解法；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，两种解题思路均为常规考查方向，熟练掌握二次函数的开口、对称轴等基本性质，灵活运用代入法或对称性即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7 二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的图象上有$A(-1,y_1),B(3,y_1),C(2,y_2),D(-2,y_3)$四点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是________（用“＜”连接）。
答案
7. $y_2＜y_1＜y_3$
解析
【分析】
首先观察到A、B两点纵坐标相同，说明两点关于二次函数的对称轴对称，由此可先求出二次函数的对称轴；已知a＞0，说明二次函数开口向上，开口向上的二次函数有一个重要性质：抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。接下来只需要分别计算C、D、A（或B）三点到对称轴的距离，比较距离大小就能对应得出y值的大小关系。
【解析】
1. 求对称轴：
∵ 点A(-1,y₁)和B(3,y₁)的纵坐标相等，
∴ A、B关于二次函数的对称轴对称，
∴ 对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
2. 判断函数值变化规律：
∵ $a＞0$，
∴ 二次函数图象开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
3. 计算各点到对称轴$x=1$的距离：
点C(2,y₂)到对称轴的距离：$|2-1|=1$
点A(-1,y₁)到对称轴的距离：$|-1-1|=2$
点D(-2,y₃)到对称轴的距离：$|-2-1|=3$
4. 比较距离大小对应得y值大小：
∵ $1＜2＜3$，
∴ $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题型，无需代入计算具体函数值，利用“开口向上的抛物线，点到对称轴距离越远函数值越大”的规律即可快速求解，能有效考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察到A、B两点纵坐标相同，说明两点关于二次函数的对称轴对称，由此可先求出二次函数的对称轴；已知a＞0，说明二次函数开口向上，开口向上的二次函数有一个重要性质：抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。接下来只需要分别计算C、D、A（或B）三点到对称轴的距离，比较距离大小就能对应得出y值的大小关系。
【解析】
1. 求对称轴：
∵ 点A(-1,y₁)和B(3,y₁)的纵坐标相等，
∴ A、B关于二次函数的对称轴对称，
∴ 对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
2. 判断函数值变化规律：
∵ $a＞0$，
∴ 二次函数图象开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
3. 计算各点到对称轴$x=1$的距离：
点C(2,y₂)到对称轴的距离：$|2-1|=1$
点A(-1,y₁)到对称轴的距离：$|-1-1|=2$
点D(-2,y₃)到对称轴的距离：$|-2-1|=3$
4. 比较距离大小对应得y值大小：
∵ $1＜2＜3$，
∴ $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题型，无需代入计算具体函数值，利用“开口向上的抛物线，点到对称轴距离越远函数值越大”的规律即可快速求解，能有效考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
8 [2025张家口期末]在平面直角坐标系中，将二次函数$y=3(x-2)^2+4$的图象先向左平移$a$个单位长度，再向下平移$b$个单位长度，所得函数的表达式为$y=3(x-1)^2-1$，则下列说法正确的是（
A.$a=-1,b=5$
B.$a=2,b=3$
C.$a=5,b=1$
D.$a=1,b=5$
D
）A.$a=-1,b=5$
B.$a=2,b=3$
C.$a=5,b=1$
D.$a=1,b=5$
答案
8. D
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移规律，解题有两种常用思路：一是直接利用“左加右减、上加下减”的平移法则对原解析式变形，与平移后的解析式对比求解a、b；二是通过顶点坐标的变化判断平移距离，因为二次函数平移仅改变顶点位置，不改变形状和开口方向。解题时注意“左加右减”是针对自变量x的变化，“上加下减”是针对函数整体的常数项变化，避免混淆规则出错。
【解析】
方法一：利用平移法则推导
原二次函数解析式为$y=3(x-2)^2+4$：
1. 向左平移$a$个单位长度，根据“左加右减”规则，将$x$替换为$x+a$，得到解析式：$y=3(x-2+a)^2+4$；
2. 再向下平移$b$个单位长度，根据“上加下减”规则，整体减去$b$，得到平移后解析式：$y=3(x-2+a)^2+4-b$。
已知平移后解析式为$y=3(x-1)^2-1$，两式对应相等，可得：
$\begin{cases}-2+a=-1\\4-b=-1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=1\\b=5\end{cases}$
方法二：利用顶点坐标平移推导
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$：
1. 原函数$y=3(x-2)^2+4$的顶点为$(2,4)$，平移后函数$y=3(x-1)^2-1$的顶点为$(1,-1)$；
2. 横坐标从2变为1，说明向左平移了$2-1=1$个单位，即$a=1$；
3. 纵坐标从4变为-1，说明向下平移了$4-(-1)=5$个单位，即$b=5$。
综上，$a=1$，$b=5$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质应用的基础常考题，核心是掌握平移规则，通过顶点坐标变化求解的方法更直观，能有效避免因混淆平移规则导致的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移规律，解题有两种常用思路：一是直接利用“左加右减、上加下减”的平移法则对原解析式变形，与平移后的解析式对比求解a、b；二是通过顶点坐标的变化判断平移距离，因为二次函数平移仅改变顶点位置，不改变形状和开口方向。解题时注意“左加右减”是针对自变量x的变化，“上加下减”是针对函数整体的常数项变化，避免混淆规则出错。
【解析】
方法一：利用平移法则推导
原二次函数解析式为$y=3(x-2)^2+4$：
1. 向左平移$a$个单位长度，根据“左加右减”规则，将$x$替换为$x+a$，得到解析式：$y=3(x-2+a)^2+4$；
2. 再向下平移$b$个单位长度，根据“上加下减”规则，整体减去$b$，得到平移后解析式：$y=3(x-2+a)^2+4-b$。
已知平移后解析式为$y=3(x-1)^2-1$，两式对应相等，可得：
$\begin{cases}-2+a=-1\\4-b=-1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=1\\b=5\end{cases}$
方法二：利用顶点坐标平移推导
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$：
1. 原函数$y=3(x-2)^2+4$的顶点为$(2,4)$，平移后函数$y=3(x-1)^2-1$的顶点为$(1,-1)$；
2. 横坐标从2变为1，说明向左平移了$2-1=1$个单位，即$a=1$；
3. 纵坐标从4变为-1，说明向下平移了$4-(-1)=5$个单位，即$b=5$。
综上，$a=1$，$b=5$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质应用的基础常考题，核心是掌握平移规则，通过顶点坐标变化求解的方法更直观，能有效避免因混淆平移规则导致的错误。
【难度系数】
0.8
9 [2025泸州泸县期末]如图，在平面直角坐标系中，抛物线$C_1: y=-x^2+bx+c$经过平移后得到抛物线$C_2$，则抛物线$C_2$对应的函数表达式为
$y_2=-x^2-2x+2$
。答案
9. $y_2=-x^2-2x+2$
解析
【分析】
解决本题首先要明确抛物线平移的性质：平移前后抛物线的形状、大小不变，即二次项系数a保持不变，因此抛物线C₂的a值与C₁相同，为-1。接下来从图像中提取关键信息：抛物线C₂的对称轴为直线x=-1，顶点纵坐标为3，即可得到C₂的顶点坐标为(-1,3)。最后选择顶点式写出C₂的解析式，再化简为一般式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线平移时二次项系数不变，抛物线C₁的二次项系数为-1
∴ 抛物线C₂的二次项系数a=-1
由图可知，抛物线C₂的顶点坐标为(-1,3)
设抛物线C₂的解析式为顶点式：$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标
将a=-1，h=-1，k=3代入得：
$y=-(x+1)^2+3$
展开化简：
$y=-(x^2+2x+1)+3$
$y=-x^2-2x-1+3$
$y=-x^2-2x+2$
【答案】
$y_2=-x^2-2x+2$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题核心考查抛物线平移的性质以及二次函数解析式的求解，解题的关键是准确从图像中获取顶点坐标信息，选择合适的解析式形式简化计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确抛物线平移的性质：平移前后抛物线的形状、大小不变，即二次项系数a保持不变，因此抛物线C₂的a值与C₁相同，为-1。接下来从图像中提取关键信息：抛物线C₂的对称轴为直线x=-1，顶点纵坐标为3，即可得到C₂的顶点坐标为(-1,3)。最后选择顶点式写出C₂的解析式，再化简为一般式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线平移时二次项系数不变，抛物线C₁的二次项系数为-1
∴ 抛物线C₂的二次项系数a=-1
由图可知，抛物线C₂的顶点坐标为(-1,3)
设抛物线C₂的解析式为顶点式：$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标
将a=-1，h=-1，k=3代入得：
$y=-(x+1)^2+3$
展开化简：
$y=-(x^2+2x+1)+3$
$y=-x^2-2x-1+3$
$y=-x^2-2x+2$
【答案】
$y_2=-x^2-2x+2$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题核心考查抛物线平移的性质以及二次函数解析式的求解，解题的关键是准确从图像中获取顶点坐标信息，选择合适的解析式形式简化计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
10 将抛物线$C_1: y=x^2+2x+3$先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线$C_2$.
（1）求抛物线$C_2$对应的函数表达式.
（2）动点$P(a,-6)$能否在抛物线$C_2$上？请说明理由.
（3）若点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m＜n＜0$，试比较$y_1,y_2$的大小，并说明理由.
（1）求抛物线$C_2$对应的函数表达式.
（2）动点$P(a,-6)$能否在抛物线$C_2$上？请说明理由.
（3）若点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m＜n＜0$，试比较$y_1,y_2$的大小，并说明理由.
答案
10. (1) $\because y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2,\therefore$ 将抛物线$C_1: y=x^2+2x+3$先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线$C_2: y=(x+1-4)^2+2-5$,即$y=(x-3)^2-3$.
$\therefore$ 抛物线$C_2$对应的函数表达式为$y=(x-3)^2-3$
(2) 动点$P(a,-6)$不能在抛物线$C_2$上 理由:$\because$ 抛物线$C_2$对应的函数表达式为$y=(x-3)^2-3$,$\therefore$ 函数的最小值为$-3$.
$\because -6＜-3$,$\therefore$ 动点$P(a,-6)$不能在抛物线$C_2$上.
(3) $y_1＞y_2$ 理由:$\because$ 抛物线$y=(x-3)^2-3$的开口向上,对称轴为直线$x=3$,$\therefore$ 当$x＜3$时,$y$的值随$x$值的增大而减小.
$\because$ 点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上,且$m＜n＜0＜3$,$\therefore y_1＞y_2$.
$\therefore$ 抛物线$C_2$对应的函数表达式为$y=(x-3)^2-3$
(2) 动点$P(a,-6)$不能在抛物线$C_2$上 理由:$\because$ 抛物线$C_2$对应的函数表达式为$y=(x-3)^2-3$,$\therefore$ 函数的最小值为$-3$.
$\because -6＜-3$,$\therefore$ 动点$P(a,-6)$不能在抛物线$C_2$上.
(3) $y_1＞y_2$ 理由:$\because$ 抛物线$y=(x-3)^2-3$的开口向上,对称轴为直线$x=3$,$\therefore$ 当$x＜3$时,$y$的值随$x$值的增大而减小.
$\because$ 点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上,且$m＜n＜0＜3$,$\therefore y_1＞y_2$.
解析
【分析】
（1）求平移后的抛物线表达式，首先将原抛物线$C_1$的一般式化为顶点式，再根据抛物线平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律计算即可；
（2）判断点是否在抛物线上，先根据$C_2$的顶点式确定函数的最值，对比点的纵坐标与最值的大小，若纵坐标不在函数取值范围内则不可能在抛物线上；
（3）比较两个点的函数值大小，先确定抛物线的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性，以及两个点横坐标的大小关系即可判断。
【解析】
(1) 先将抛物线$C_1$的表达式配方为顶点式：
$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$
根据平移规律，向右平移4个单位，自变量减4，向下平移5个单位，常数项减5，可得抛物线$C_2$的表达式：
$y=(x+1-4)^2+2-5=(x-3)^2-3$
(2) 动点$P(a,-6)$不能在抛物线$C_2$上，理由：
$\because$ 抛物线$C_2$的表达式为$y=(x-3)^2-3$，其中$(x-3)^2≥0$，$\therefore y≥ -3$，即函数的最小值为$-3$。
$\because -6 ＜ -3$，不符合函数的取值范围，因此动点$P(a,-6)$不能在抛物线$C_2$上。
(3) $y_1 ＞ y_2$，理由：
$\because$ 抛物线$C_2:y=(x-3)^2-3$开口向上，对称轴为直线$x=3$，$\therefore$ 当$x ＜ 3$时，$y$随$x$的增大而减小。
$\because$ 点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m ＜ n ＜ 0 ＜ 3$，两点均在对称轴左侧，结合增减性可得$y_1 ＞ y_2$。
【答案】
(1) $y=(x-3)^2-3$
(2) 动点$P(a,-6)$不能在抛物线$C_2$上，理由见解析
(3) $y_1 ＞ y_2$，理由见解析
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查二次函数核心性质的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数平移规则、最值判断方法和增减性的适用范围，难度较低，巩固基础的作用较强。
【难度系数】
0.7
（1）求平移后的抛物线表达式，首先将原抛物线$C_1$的一般式化为顶点式，再根据抛物线平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律计算即可；
（2）判断点是否在抛物线上，先根据$C_2$的顶点式确定函数的最值，对比点的纵坐标与最值的大小，若纵坐标不在函数取值范围内则不可能在抛物线上；
（3）比较两个点的函数值大小，先确定抛物线的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性，以及两个点横坐标的大小关系即可判断。
【解析】
(1) 先将抛物线$C_1$的表达式配方为顶点式：
$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$
根据平移规律，向右平移4个单位，自变量减4，向下平移5个单位，常数项减5，可得抛物线$C_2$的表达式：
$y=(x+1-4)^2+2-5=(x-3)^2-3$
(2) 动点$P(a,-6)$不能在抛物线$C_2$上，理由：
$\because$ 抛物线$C_2$的表达式为$y=(x-3)^2-3$，其中$(x-3)^2≥0$，$\therefore y≥ -3$，即函数的最小值为$-3$。
$\because -6 ＜ -3$，不符合函数的取值范围，因此动点$P(a,-6)$不能在抛物线$C_2$上。
(3) $y_1 ＞ y_2$，理由：
$\because$ 抛物线$C_2:y=(x-3)^2-3$开口向上，对称轴为直线$x=3$，$\therefore$ 当$x ＜ 3$时，$y$随$x$的增大而减小。
$\because$ 点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m ＜ n ＜ 0 ＜ 3$，两点均在对称轴左侧，结合增减性可得$y_1 ＞ y_2$。
【答案】
(1) $y=(x-3)^2-3$
(2) 动点$P(a,-6)$不能在抛物线$C_2$上，理由见解析
(3) $y_1 ＞ y_2$，理由见解析
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查二次函数核心性质的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数平移规则、最值判断方法和增减性的适用范围，难度较低，巩固基础的作用较强。
【难度系数】
0.7
