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6.学校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色,呈抛物线形状,如图是一个长为2 m、宽为1 m的矩形隔离栏,中间被4根栏杆五等分,每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色,颜色的分界处(点E,P)以及点A,B落在同一条抛物线上,若第1根栏杆涂色部分(EF)与第2根栏杆未涂色部分(PQ)长度相等,则EF的长度是 (
A.$\frac{1}{3}$ m
B.$\frac{1}{2}$ m
C.$\frac{2}{5}$ m
D.$\frac{3}{5}$ m
C
)A.$\frac{1}{3}$ m
B.$\frac{1}{2}$ m
C.$\frac{2}{5}$ m
D.$\frac{3}{5}$ m
答案
6.C
7.如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数$y=4x - ax^2$刻画.斜坡OC可以用一次函数$y=\frac{1}{2}x$刻画,其中x(m)为小球抛出的水平距离,y(m)为小球抛出的高度(即小球到x轴的距离).小球上升过程中,当高度为6 m时,小球的水平距离为2 m.
(1)求这个二次函数的表达式和小球到达的最大高度;
(2)小球的落点是A,求点A的坐标;
(3)若在斜坡OC上距O点水平距离6 m的位置设置一个高2 m的竖直挡板,判断小球能否越过该挡板,并说明理由.
(1)求这个二次函数的表达式和小球到达的最大高度;
(2)小球的落点是A,求点A的坐标;
(3)若在斜坡OC上距O点水平距离6 m的位置设置一个高2 m的竖直挡板,判断小球能否越过该挡板,并说明理由.
答案
7.解:(1)由题意可知,抛物线经过点$(2,6)$, 将 $x=2,y=6$ 代入$y=4x-ax^2$, 得 $6=4×2 - a×2^2$, 解得 $a=\frac{1}{2}$,$\therefore y=4x-\frac{1}{2}x^2$,配方得 $y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+8$.$\because -\frac{1}{2}＜0$,$\therefore$ 当 $x=4$ 时,$y$ 有最大值,最大值为 8.故这个二次函数的表达式为 $y=4x-\frac{1}{2}x^2$,小球到达的最大高度为 8 m.
(2)由题意得 $\frac{1}{2}x=4x-\frac{1}{2}x^2$,整理得 $x^2-7x=0$,解得 $x_1=0,x_2=7$.当 $x=0$ 时,$y=0$(舍去),当 $x=7$ 时,$y=\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}$,$\therefore A(7,\frac{7}{2})$.
(3)小球能越过该挡板,理由如下:若在斜坡 $OC$ 上距 $O$ 点水平距离 6 m 的位置设置一个高 2 m 的竖直挡板,即当 $x=6$ 时,小球的高度为 $y=4×6-\frac{1}{2}×6^2=24-18=6(\mathrm{m})$.当 $x=6$ 时,斜坡的高度为 $y=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{m})$.$\because$ 挡板高 2 m,$\therefore$ 挡板顶端距离地面的高度为 $3+2=5(\mathrm{m})$.$\because 6＞5$,$\therefore$ 小球能越过该挡板.
(2)由题意得 $\frac{1}{2}x=4x-\frac{1}{2}x^2$,整理得 $x^2-7x=0$,解得 $x_1=0,x_2=7$.当 $x=0$ 时,$y=0$(舍去),当 $x=7$ 时,$y=\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}$,$\therefore A(7,\frac{7}{2})$.
(3)小球能越过该挡板,理由如下:若在斜坡 $OC$ 上距 $O$ 点水平距离 6 m 的位置设置一个高 2 m 的竖直挡板,即当 $x=6$ 时,小球的高度为 $y=4×6-\frac{1}{2}×6^2=24-18=6(\mathrm{m})$.当 $x=6$ 时,斜坡的高度为 $y=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{m})$.$\because$ 挡板高 2 m,$\therefore$ 挡板顶端距离地面的高度为 $3+2=5(\mathrm{m})$.$\because 6＞5$,$\therefore$ 小球能越过该挡板.
8.[跨学科·体育与健康]跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.某次比赛某跳台滑雪的起跳台的高度OA为58 m，基准点K到起跳台的水平距离为60 m，高度为h m(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$.
(1)c的值为
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时$a=-\frac{1}{45},b=\frac{4}{5}$，求基准点K的高度h；
②若$a=-\frac{1}{45}$时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为
(3)若运动员飞行的水平距离为20 m时，恰好达到最大高度70 m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由.
(1)c的值为
58
；(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时$a=-\frac{1}{45},b=\frac{4}{5}$，求基准点K的高度h；
②若$a=-\frac{1}{45}$时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为
$b＞\frac{4}{5}$
；(3)若运动员飞行的水平距离为20 m时，恰好达到最大高度70 m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由.
答案
8.(1)58
(2)解:①$\because a=-\frac{1}{45},b=\frac{4}{5}$,$\therefore y=-\frac{1}{45}x^2+\frac{4}{5}x+58$.$\because$ 基准点 $K$ 到起跳台的水平距离为 60 m,$\therefore y=-\frac{1}{45}×60^2+\frac{4}{5}×60+58=26$,$\therefore$ 基准点 $K$ 的高度 $h$ 为 26 m.
②$b＞\frac{4}{5}$ [解析]$\because a=-\frac{1}{45}$,$\therefore y=-\frac{1}{45}x^2+bx+58$.$\because$ 运动员落地点要超过 $K$ 点,$\therefore x=60$ 时,$y＞26$,即 $-\frac{1}{45}×60^2+60b+58＞26$,解得 $b＞\frac{4}{5}$.
(3)解:他的落地点不能超过 $K$ 点.理由:$\because$ 运动员飞行的水平距离为 20 m 时,恰好达到最大高度 70 m,$\therefore$ 抛物线的顶点为$(20,70)$.设抛物线解析式为 $y=a(x-20)^2+70$,把 $(0,58)$ 代入,得 $58=a(0-20)^2+70$,解得 $a=-\frac{3}{100}$,$\therefore$ 抛物线解析式为$y=-\frac{3}{100}(x-20)^2+70$.当 $x=60$ 时,$y=-\frac{3}{100}×(60-20)^2+70=22$.$\because 22＜26$,$\therefore$ 他的落地点不能超过 $K$ 点.
(2)解:①$\because a=-\frac{1}{45},b=\frac{4}{5}$,$\therefore y=-\frac{1}{45}x^2+\frac{4}{5}x+58$.$\because$ 基准点 $K$ 到起跳台的水平距离为 60 m,$\therefore y=-\frac{1}{45}×60^2+\frac{4}{5}×60+58=26$,$\therefore$ 基准点 $K$ 的高度 $h$ 为 26 m.
②$b＞\frac{4}{5}$ [解析]$\because a=-\frac{1}{45}$,$\therefore y=-\frac{1}{45}x^2+bx+58$.$\because$ 运动员落地点要超过 $K$ 点,$\therefore x=60$ 时,$y＞26$,即 $-\frac{1}{45}×60^2+60b+58＞26$,解得 $b＞\frac{4}{5}$.
(3)解:他的落地点不能超过 $K$ 点.理由:$\because$ 运动员飞行的水平距离为 20 m 时,恰好达到最大高度 70 m,$\therefore$ 抛物线的顶点为$(20,70)$.设抛物线解析式为 $y=a(x-20)^2+70$,把 $(0,58)$ 代入,得 $58=a(0-20)^2+70$,解得 $a=-\frac{3}{100}$,$\therefore$ 抛物线解析式为$y=-\frac{3}{100}(x-20)^2+70$.当 $x=60$ 时,$y=-\frac{3}{100}×(60-20)^2+70=22$.$\because 22＜26$,$\therefore$ 他的落地点不能超过 $K$ 点.
