24.如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连结BE,点C关于直线BE的对称点为点F,连结BF,EF。

(1)如图1,若点F恰好落在对角线BD上,连结AF,求∠CAF的度数。
(2)如图2,连结DF,CF,若$DF// BE$,试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系,并说明理由。
(3)如图3,连结DF,DE,记$△ DEF$的面积为$S_1$,$△ BEF$的面积为$S_2$,若$DF⊥ FE$,求$\frac{S_1}{S_2}$的值。

24.(1)因为四边形ABCD是正方形,所以$AB=BC,∠ BAD=∠ ABC=90°$,$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=45°$,$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD=45°$,因为点C关于直线BE的对称点为点F,所以$BF=BC$,所以$AB=BF$,所以$∠ BAF=∠ BFA=\frac{180°-∠ ABD}{2}=67.5°$,所以$∠ CAF=∠ BAF-∠ BAC=22.5°$。
(2)如图1,$DF⊥ CF$,$CF=2DF$,理由如下,延长BE,交CF于点G,因为点C关于直线BE的对称点为点F,所以$BG⊥ CF$,$CF=2CG$,所以$∠ BGC=∠ BGF=90°$,因为$DF// BE$,所以$∠ CFD=∠ BGF=∠ BGC=90°$,所以$DF⊥ CF$,因为$∠ CFD=90°$,所以$∠ DCF+∠ CDF=90°$,因为$∠ BCD=90°$,所以$∠ BCG+∠ DCF=90°$,所以$∠ CDF=∠ BCG$,因为$BC=CD$,所以$△ BCG≌△ CDF$(AAS),所以$CG=DF$,所以$CF=2CG=2DF$。
(3)(方法一)如图2,作$BH⊥ DF$,交DF的延长线于点H,作$BG⊥ FE$,交FE的延长线于点G,连结BD,交AC于点O,不妨设正方形的边长是2,因为四边形是正方形,所以$BD⊥ AC$,$BD=\sqrt{2}AB=2\sqrt{2}$,$OB=OD=\sqrt{2}$,$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ BCD=45°$,因为点C关于直线BE的对称点为点F,所以$S_{△ BCE}=S_{△ BEF}$,$CE=EF$,$∠ BFE=∠ ACB=45°$,$BF=BC=2$,所以$\frac{1}{2}EF· BG=\frac{1}{2}CE· OB$,所以$BG=OB=\sqrt{2}$,因为$DF⊥ EF$,所以$∠ DFE=90°$,所以$∠ BFH=180°-∠ DFE-∠ BFE=45°$,所以$BH=FH=\frac{\sqrt{2}}{2}BF=\sqrt{2}$,所以$DH=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$,所以$DF=DH-FH=\sqrt{6}-\sqrt{2}$,所以$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}EF· DF}{\frac{1}{2}EF· BG}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}-1$。
(方法二)如图3,连结BD,作$BG⊥ DF$,交DF的延长线于点G,作$EW⊥ BC$于点W,不妨设正方形的边长是2,由上知,$DF=\sqrt{6}-\sqrt{2}$,$BG=FG=\sqrt{2}$,$BD=2\sqrt{2}$,因为$∠ ACB=45°$,所以$EF=CE=\sqrt{2}EW$,所以$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}DF· EF}{\frac{1}{2}BC· EW}=\sqrt{3}-1$。