1.如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ B=90°$.若 $AD=\sqrt{2}CD$,$AB=BD$,则 $\sin C$ 的值为 ()

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(第1题图)
(第2题图)

1.B

【分析】
要求$\sin C$的值，根据正弦的定义，需在$\mathrm{Rt}△ ABC$中求出∠C的对边AB与斜边AC的比值。题目给出了多组线段的等量关系，可采用设参法简化计算：先设$AB=BD$为参数，先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中用勾股定理求出AD的长度，再结合AD与CD的关系求出CD的长度，进而得到BC的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理求出AC的长度，即可算出$\sin C$的比值。
【解析】
设 $ AB = BD = x $，
∵ $ ∠ B = 90° $，在 $ \mathrm{Rt}△ ABD $ 中，由勾股定理得：
$ AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x $，
∵ $ AD = \sqrt{2}CD $，
∴ $ CD = \frac{AD}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}} = x $，
∴ $ BC = BD + CD = x + x = 2x $，
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，由勾股定理得：
$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5}x $，
根据正弦的定义，$ \sin C = \frac{\mathrm{∠C的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AB}{AC} = \frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}}{5} $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义；设参法求值
【点评】
本题考查锐角三角函数的基础计算，解题关键是根据线段的等量关系合理设参数，将未知线段用含同一参数的式子表示，结合勾股定理即可求出对应三角函数值，计算时注意参数可直接约掉得到比值。
【难度系数】
0.7

2.(蚌埠期末)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,$\sin B=\frac{1}{3}$,则$\tan∠ ACD$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

2.A

【分析】
解题时先分析图形中的角的关系，利用直角三角形两锐角互余的性质，推导得出∠ACD与∠B相等，将求$\tan∠ACD$转化为求$\tan B$；再结合已知$\sin B$的值，通过设参数的方法，结合勾股定理求出$Rt△ABC$两条直角边的长度，最后根据正切的定义计算即可得到答案。
【解析】
解：$\because ∠ACB=90°$，$\therefore ∠A + ∠B = 90°$，
$\because CD⊥AB$，$\therefore ∠ADC=90°$，$\therefore ∠A + ∠ACD = 90°$，
$\therefore ∠ACD = ∠B$（同角的余角相等）。
在$Rt△ABC$中，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}$，
设$AC=k$，则$AB=3k$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(3k)^2 - k^2}=\sqrt{8k^2}=2\sqrt{2}k$，
$\therefore \tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{k}{2\sqrt{2}k}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
$\because ∠ACD=∠B$，$\therefore \tan∠ACD=\tan B=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同角的余角相等；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是求锐角三角函数值的基础常考题，解题核心是利用等角转化将未知角的三角函数值转化为已知相关条件的角的三角函数值，再结合勾股定理和三角函数定义计算即可，掌握等角转化的思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7

3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$平分$∠ ABC$，$DE⊥ AB$于点$E$. 已知$AE=8$，$\sin A=\dfrac{3}{5}$.
(1)求$CD$的长；
(2)求$\tan ∠ CBD$的值.

3.解:(1)$\because DE⊥ AB,\therefore ∠ AED=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, $\because \sin A=\frac{DE}{AD}=\frac{3}{5}$,$\therefore$ 设 $DE=3x$, 则 $AD=5x$. $\because DE^2+AE^2=AD^2$,
$\therefore (3x)^2+8^2=(5x)^2$, 解得 $x=2$(负值已舍去). $\therefore DE=6,AD=10$. $\because BD$ 平分 $∠ ABC,DE⊥ AB,∠ C=90°,\therefore CD=DE=6$. (2)由
(1),得 $AC=CD+AD=16$. $\because \tan A=\frac{DE}{AE}=\frac{BC}{AC},\therefore \frac{6}{8}=\frac{BC}{16}$. $\therefore BC=12$. $\therefore \tan ∠ CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$.

【分析】
(1)要求CD的长，首先根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD=DE，因此只需先求出DE的长度即可。已知DE⊥AB，△ADE为直角三角形，结合已知的sinA的值和AE的长度，通过设参数结合勾股定理即可求出DE的长度，进而得到CD的长。
(2)要求tan∠CBD的值，在Rt△BCD中，tan∠CBD=CD/BC，CD已经求出，因此只需先求出BC的长度即可。先计算AC的总长度，再利用∠A的正切值在Rt△ADE和Rt△ACB中相等，建立比例式求出BC，最后代入计算即可得到tan∠CBD的值。
【解析】
(1)
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中, $\because \sin A=\frac{DE}{AD}=\frac{3}{5}$，
∴设 $DE=3x$，则 $AD=5x$。
根据勾股定理得$DE^2+AE^2=AD^2$，
$\therefore (3x)^2+8^2=(5x)^2$，解得 $x=2$(负值已舍去)。
$\therefore DE=6,AD=10$。
$\because BD$ 平分 $∠ ABC,DE⊥ AB,∠ C=90°$，根据角平分线的性质，可得$\therefore CD=DE=6$。
(2)由(1)得 $AC=CD+AD=6+10=16$。
$\because \tan A=\frac{DE}{AE}=\frac{BC}{AC}$，代入得$\frac{6}{8}=\frac{BC}{16}$，解得$BC=12$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$\therefore \tan ∠ CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$CD=6$；(2)$\tan∠CBD=\dfrac{1}{2}$
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形的典型综合题，通过角平分线性质实现线段等量转化，结合设参法和同角三角函数值相等求解未知边长，能很好地考查学生对直角三角形相关性质和三角函数定义的掌握程度。
【难度系数】
0.7

4.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,将△CDE沿CE折叠,使点D恰好落在AB边上的点F处,求tan∠AFE的值.

4.解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ B=∠ D=90°,CD=AB=10$. 由折叠的性质,得 $∠ EFC=∠ D=90°,CF=CD=10,\therefore BF=$$\sqrt{CF^2-BC^2}=6,∠ AFE+∠ BFC=180°-∠ EFC=90°$. $\because ∠ B=90°,\therefore ∠ BCF+∠ BFC=90°$. $\therefore ∠ AFE=∠ BCF$. $\therefore \tan ∠ AFE$$=\tan ∠ BCF=\frac{BF}{BC}=\frac{3}{4}$.

【分析】
要求tan∠AFE的值，若直接计算△AFE的边长难度较大，因此采用等角转化的思路求解：首先利用矩形和折叠的性质得到相等的边与角，再根据直角三角形两锐角互余的关系，推出∠AFE和∠BCF相等，将求tan∠AFE转化为求tan∠BCF，最后通过勾股定理求出△BCF的边长即可计算正切值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=∠D=90°，CD=AB=10。
由折叠的性质，得∠EFC=∠D=90°，CF=CD=10，
在Rt△BCF中，由勾股定理可得：
$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
∵ ∠AFE+∠BFC=180°-∠EFC=90°，∠BCF+∠BFC=180°-∠B=90°，
∴ ∠AFE=∠BCF（同角的余角相等），
∴ $\tan∠AFE=\tan∠BCF=\frac{BF}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是几何中求锐角三角函数值的典型题型，将矩形、折叠的性质与三角函数结合，核心考查等角转化的思想，把不易求解的角的三角函数值转化为已知边长的直角三角形内角的三角函数值，同时也考查了勾股定理的应用，能很好地锻炼学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.7

5. 如图，在$△ ABC$中，AD是边BC上的高，E是边AC的中点，$BC=21$，$AD=8$，$\sin B=\frac{4}{5}$。
(1)求CD的长；
(2)求$\tan ∠ CDE$的值.

5.解:(1)$\because AD$ 是 $BC$ 边上的高, $\therefore △ ABD$ 和 $△ ACD$ 是直角三角形. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, $\because \sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5},AD=8,\therefore AB=\frac{AD}{\sin B}=$$10$. $\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=6$. $\because BC=21,\therefore CD=BC-BD=15$. (2)在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, $\because E$ 是斜边 $AC$ 的中点, $\therefore DE=CE=\frac{1}{2}AC$.
$\therefore ∠ C=∠ CDE. \therefore \tan ∠ CDE=\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{8}{15}$.

【分析】
（1）首先由AD是BC边上的高可得△ABD为直角三角形，已知$\sin B$和AD的长度，可先根据正弦的定义求出AB的长，再通过勾股定理算出BD的长度，最后用BC的总长度减去BD即可得到CD的长。
（2）求$\tan∠CDE$时，先观察角的关系：在$\mathrm{Rt}△ACD$中，E是AC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$DE=CE$，进而推出$∠CDE=∠C$，将求$\tan∠CDE$转化为求$\tan C$，再结合正切的定义和已知的AD、CD长度计算即可。
【解析】
(1) $\because$AD是BC边上的高，$\therefore △ABD$和$△ACD$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，已知$AD=8$，
$\therefore AB=\frac{AD}{\sin B}=\frac{8}{\frac{4}{5}}=10$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
又$\because BC=21$，
$\therefore CD=BC-BD=21-6=15$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$\because E$是斜边AC的中点，
根据直角三角形斜边中线的性质，得$DE=CE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore ∠C=∠CDE$，
$\therefore \tan∠CDE=\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{8}{15}$。
【答案】
(1) $CD=15$；(2) $\tan∠CDE=\frac{8}{15}$
【知识点】
解直角三角形，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题结合直角三角形的性质考查锐角三角函数的计算，解题核心是通过等角转化将未知角的三角函数值转化为已知边所在直角三角形的对应三角函数值，解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7