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三、计算题
1.若方程组$\begin{cases}3x + 2y = -7,\\2x - y = 2m - 1\end{cases}$的解中，$x$与$y$互为相反数，求$m$的值和方程组的解。
1.若方程组$\begin{cases}3x + 2y = -7,\\2x - y = 2m - 1\end{cases}$的解中，$x$与$y$互为相反数，求$m$的值和方程组的解。
答案
1.由方程组$\begin{cases}3x+2y=-7,\\2x-y=2m-1\end{cases}$的解中,$x$与$y$互为相反数,得$y=-x$,将$y=-x$代入原方程组,得$\begin{cases}3x-2x=-7,\\2x+x=2m-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-7,\\m=-10.\end{cases}$
$\therefore y=-x=7.\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}x=-7,\\y=7,\end{cases}$$m$的值为$-10.$
$\therefore y=-x=7.\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}x=-7,\\y=7,\end{cases}$$m$的值为$-10.$
解析
【分析】
解题的突破口是题目给出的“x与y互为相反数”这一条件，根据相反数的定义可得$y=-x$，我们可以用代入消元法，将$y=-x$代入原方程组，把含两个未知数的方程组转化为只含$x$和$m$的方程，先求出$x$的值，再依次求出$y$的值和$m$的值即可。
【解析】
解：
∵ 方程组的解中$x$与$y$互为相反数，
∴ $y=-x$，
将$y=-x$代入原方程组，得：
$\begin{cases}3x + 2×(-x) = -7 \\2x - (-x) = 2m - 1 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}x = -7 \\3x = 2m - 1 \end{cases}$
把$x=-7$代入$3x=2m-1$，得：
$3×(-7) = 2m - 1$
$-21 = 2m - 1$
解得$m=-10$，
又
∵ $y=-x$，
∴ $y=-(-7)=7$。
【答案】
原方程组的解为$\begin{cases}x=-7 \\y=7 \end{cases}$，$m$的值为$-10$。
【知识点】
相反数的性质，代入消元法，二元一次方程组的解
【点评】
本题属于基础计算题，核心是利用题目给出的$x$、$y$的关系简化方程组，将二元问题转化为一元问题求解，熟练掌握代入消元法是解题的关键。
【难度系数】
0.75
解题的突破口是题目给出的“x与y互为相反数”这一条件，根据相反数的定义可得$y=-x$，我们可以用代入消元法，将$y=-x$代入原方程组，把含两个未知数的方程组转化为只含$x$和$m$的方程，先求出$x$的值，再依次求出$y$的值和$m$的值即可。
【解析】
解：
∵ 方程组的解中$x$与$y$互为相反数，
∴ $y=-x$，
将$y=-x$代入原方程组，得：
$\begin{cases}3x + 2×(-x) = -7 \\2x - (-x) = 2m - 1 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}x = -7 \\3x = 2m - 1 \end{cases}$
把$x=-7$代入$3x=2m-1$，得：
$3×(-7) = 2m - 1$
$-21 = 2m - 1$
解得$m=-10$，
又
∵ $y=-x$，
∴ $y=-(-7)=7$。
【答案】
原方程组的解为$\begin{cases}x=-7 \\y=7 \end{cases}$，$m$的值为$-10$。
【知识点】
相反数的性质，代入消元法，二元一次方程组的解
【点评】
本题属于基础计算题，核心是利用题目给出的$x$、$y$的关系简化方程组，将二元问题转化为一元问题求解，熟练掌握代入消元法是解题的关键。
【难度系数】
0.75
2.某汽车运输公司有A,B两种车型的旅游大客车,已知两种车型的座位数不同,1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人,2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人,则A,B两种车型的大客车分别可乘坐多少人？
答案
2.A型大客车可乘坐45人,B型大客车可乘坐60人.
解析
【分析】
这是利用二元一次方程组解决实际问题的基础题型，解题思路如下：首先设两个未知数分别表示A、B两种车型的可乘坐人数；其次从题干提取两个等量关系：①1辆A型车可乘坐人数+1辆B型车可乘坐人数=105人，②2辆A型车可乘坐人数+1辆B型车可乘坐人数=150人；再根据等量关系列出二元一次方程组，最后用消元法求解即可得到结果。
【解析】
解：设1辆A型大客车可乘坐$x$人，1辆B型大客车可乘坐$y$人。
根据题意列方程组得：
$\begin{cases}x + y = 105 \quad \mathrm{①} \\2x + y = 150 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用②式减去①式消去$y$，可得：
$2x + y - (x + y) = 150 - 105$
解得$x = 45$
将$x = 45$代入①式，得：
$45 + y = 105$
解得$y = 60$
【答案】
A型大客车可乘坐45人，B型大客车可乘坐60人。
【知识点】
二元一次方程组应用，消元法解方程组
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，掌握消元法解方程组的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
这是利用二元一次方程组解决实际问题的基础题型，解题思路如下：首先设两个未知数分别表示A、B两种车型的可乘坐人数；其次从题干提取两个等量关系：①1辆A型车可乘坐人数+1辆B型车可乘坐人数=105人，②2辆A型车可乘坐人数+1辆B型车可乘坐人数=150人；再根据等量关系列出二元一次方程组，最后用消元法求解即可得到结果。
【解析】
解：设1辆A型大客车可乘坐$x$人，1辆B型大客车可乘坐$y$人。
根据题意列方程组得：
$\begin{cases}x + y = 105 \quad \mathrm{①} \\2x + y = 150 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用②式减去①式消去$y$，可得：
$2x + y - (x + y) = 150 - 105$
解得$x = 45$
将$x = 45$代入①式，得：
$45 + y = 105$
解得$y = 60$
【答案】
A型大客车可乘坐45人，B型大客车可乘坐60人。
【知识点】
二元一次方程组应用，消元法解方程组
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，掌握消元法解方程组的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
3.端午节前夕,某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中,A种食品盒每盒装8个粽子,B种食品盒每盒装10个粽子,若将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满,粽子没有剩余),则有哪几种不同的分装方式？
答案
3.共有四种不同的分装方式:①A种食品盒5个,B种食品盒16个;②A种食品盒10个,B种食品盒12个;③A种食品盒15个,B种食品盒8个;④A种食品盒20个,B种食品盒4个.
解析
【分析】
这是一道二元一次不定方程的实际应用题，解题思路如下：第一步，设A、B两种食品盒的数量分别为x个、y个，根据“两种盒子装满后粽子总数量为200个”的等量关系列方程；第二步，化简方程，将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式；第三步，结合“两种食品盒均要使用”的要求，可知x、y都是正整数，再根据整数的整除性质筛选出所有符合要求的解，即可得到全部分装方式。
【解析】
解：设A种食品盒有x个，B种食品盒有y个，x、y均为正整数。
根据题意列方程：$\boldsymbol{8x + 10y = 200}$
化简方程，两边同时除以2得：$\boldsymbol{4x + 5y = 100}$
将方程变形为用x表示y的形式：$\boldsymbol{y = 20 - \frac{4x}{5}}$
∵y是正整数，
∴$\frac{4x}{5}$必须是正整数，且$y＞0$
∵4和5互质，因此x必须是5的正整数倍
又
∵$y = 20 - \frac{4x}{5} ＞ 0$，解得$x ＜ 25$
综上，x的取值为5、10、15、20，对应计算y的值：
①当x=5时，$y=20 - \frac{4×5}{5}=16$；
②当x=10时，$y=20 - \frac{4×10}{5}=12$；
③当x=15时，$y=20 - \frac{4×15}{5}=8$；
④当x=20时，$y=20 - \frac{4×20}{5}=4$。
以上四组解均符合题意。
【答案】
共有四种不同的分装方式:①A种食品盒5个,B种食品盒16个;②A种食品盒10个,B种食品盒12个;③A种食品盒15个,B种食品盒8个;④A种食品盒20个,B种食品盒4个.
【知识点】
1.二元一次方程的应用
2.不定方程的正整数解
3.整数的整除性质
【点评】
本题考查实际问题中不定方程的求解，解题核心是抓住总量等量关系列方程，再结合实际意义中未知数为正整数的限制筛选解，注意不要遗漏“两种食品盒均要使用”的条件，避免出现x=0或y=0的无效解。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次不定方程的实际应用题，解题思路如下：第一步，设A、B两种食品盒的数量分别为x个、y个，根据“两种盒子装满后粽子总数量为200个”的等量关系列方程；第二步，化简方程，将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式；第三步，结合“两种食品盒均要使用”的要求，可知x、y都是正整数，再根据整数的整除性质筛选出所有符合要求的解，即可得到全部分装方式。
【解析】
解：设A种食品盒有x个，B种食品盒有y个，x、y均为正整数。
根据题意列方程：$\boldsymbol{8x + 10y = 200}$
化简方程，两边同时除以2得：$\boldsymbol{4x + 5y = 100}$
将方程变形为用x表示y的形式：$\boldsymbol{y = 20 - \frac{4x}{5}}$
∵y是正整数，
∴$\frac{4x}{5}$必须是正整数，且$y＞0$
∵4和5互质，因此x必须是5的正整数倍
又
∵$y = 20 - \frac{4x}{5} ＞ 0$，解得$x ＜ 25$
综上，x的取值为5、10、15、20，对应计算y的值：
①当x=5时，$y=20 - \frac{4×5}{5}=16$；
②当x=10时，$y=20 - \frac{4×10}{5}=12$；
③当x=15时，$y=20 - \frac{4×15}{5}=8$；
④当x=20时，$y=20 - \frac{4×20}{5}=4$。
以上四组解均符合题意。
【答案】
共有四种不同的分装方式:①A种食品盒5个,B种食品盒16个;②A种食品盒10个,B种食品盒12个;③A种食品盒15个,B种食品盒8个;④A种食品盒20个,B种食品盒4个.
【知识点】
1.二元一次方程的应用
2.不定方程的正整数解
3.整数的整除性质
【点评】
本题考查实际问题中不定方程的求解，解题核心是抓住总量等量关系列方程，再结合实际意义中未知数为正整数的限制筛选解，注意不要遗漏“两种食品盒均要使用”的条件，避免出现x=0或y=0的无效解。
【难度系数】
0.7
