1. 计算与证明
(1)求证:$25^7 -5^{12}$能被12整除.
(2)简便计算:$124^2×25 -25×76^2$.

(1)$\because 25^7 -5^{12}=(5^2)^7 -5^{12}=5^{14}-5^{12}=5^{12}(5^2 -1)=5^{12}×24=5^{12}×12×2$,
$\therefore 25^7 -5^{12}$能被12整除.
(2)$原式=25×(124^2 -76^2)$
$=25×(124+76)×(124-76)$
$=25×200×48$
$=240 000.$

2. 如图①是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体$(a＞b)$,将剩余部分进行切割得到如图②所示的三个长方体. 通过计算剩余部分的体积,可对多项式$a^3 - b^3$进行因式分解,即$a^3 - b^3 =$ .

$(a-b)(a^2+ab+b^2)$

3.材料1:将一个形如$x^2+px+q$的二次三项式因式分解时,如果能满足$p=m+n$且$q=mn$,那么可以把$x^2+px+q$因式分解成$(x+m)(x+n)$.例如$x^2+3x+2$,具体做法是先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数,这种方法称为“十字相乘法”.()
这样,我们可以得到:$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$.
材料2:分解因式:$(x+y)^2+2(x+y)+1$.
解:将“$x+y$”看成一个整体,令$x+y=K$,则原式$=K^2+2K+1=(K+1)^2$,再将“$K$”还原,得原式$=(x+y+1)^2$.
上述解题用到“整体思想”和“换元思想”,整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法.
【迁移运用】
(1)利用上述的十字相乘法,将下列多项式分解因式:
①$x^2+5x+6$;②$2x^2+2x-12$.
(2)结合材料1和材料2,对下面小题进行因式分解:$(x-y)^2+4(x-y)+3$.

(1)①$原式=(x+3)(x+2).$
②$原式=2(x+3)(x-2).$
(2)令$k=x-y$,则原式$=k^2+4k+3=(k+1)(k+3).$
将“k”还原,得原式$=(x-y+1)(x-y+3).$