登录
1. 实数$-\dfrac{1}{2}, -\sqrt{5}, 2, -3$中，为负整数的是 （
A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$-\sqrt{5}$
C.$2$
D.$-3$
D
）A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$-\sqrt{5}$
C.$2$
D.$-3$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确负整数的判定标准：首先得是小于0的负数，其次得是整数（不含分数、小数、无理数的整数）。解题时我们只需要逐个判断每个选项是否同时满足“负数”和“整数”这两个条件即可选出正确答案。
【解析】
我们先明确负整数的定义：小于0的整数叫做负整数，需要同时满足“为负数”和“为整数”两个要求：
选项A：$-\dfrac{1}{2}$是负数，但属于分数，不是整数，不符合要求；
选项B：$-\sqrt{5}$是负数，但它是无限不循环小数，属于无理数，不是整数，不符合要求；
选项C：$2$是整数，但属于正数，不是负数，不符合要求；
选项D：$-3$是小于0的整数，满足负整数的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
实数的分类；负整数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察对实数分类和负整数概念的理解掌握，牢记相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确负整数的判定标准：首先得是小于0的负数，其次得是整数（不含分数、小数、无理数的整数）。解题时我们只需要逐个判断每个选项是否同时满足“负数”和“整数”这两个条件即可选出正确答案。
【解析】
我们先明确负整数的定义：小于0的整数叫做负整数，需要同时满足“为负数”和“为整数”两个要求：
选项A：$-\dfrac{1}{2}$是负数，但属于分数，不是整数，不符合要求；
选项B：$-\sqrt{5}$是负数，但它是无限不循环小数，属于无理数，不是整数，不符合要求；
选项C：$2$是整数，但属于正数，不是负数，不符合要求；
选项D：$-3$是小于0的整数，满足负整数的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
实数的分类；负整数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察对实数分类和负整数概念的理解掌握，牢记相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. $-\sqrt{2}$是$\sqrt{2}$的 （
A.相反数
B.倒数
C.绝对值
D.算术平方根
A
）A.相反数
B.倒数
C.绝对值
D.算术平方根
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先回忆相反数、倒数、绝对值、算术平方根的核心定义，再将$-\sqrt{2}$与$\sqrt{2}$的关系和各概念逐一比对即可得到答案。各概念的核心特征为：相反数是只有符号不同的两个数；倒数是乘积为1的两个数；绝对值、算术平方根的结果均为非负数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$数值相同，仅符号相反，符合相反数定义，该选项正确；
B. 倒数：互为倒数的两数乘积为1，$\sqrt{2} × (-\sqrt{2})=-2≠1$，不符合倒数定义，该选项错误；
C. 绝对值：正数的绝对值是它本身，$\sqrt{2}$的绝对值为$\sqrt{2}$，不是$-\sqrt{2}$，该选项错误；
D. 算术平方根：正数的算术平方根是正数，不可能为负数$-\sqrt{2}$，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
相反数；倒数；绝对值
【点评】
本题是基础的概念辨析题，主要考查数的相关易混淆概念的区分，熟记各概念的特征就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相反数、倒数、绝对值、算术平方根的核心定义，再将$-\sqrt{2}$与$\sqrt{2}$的关系和各概念逐一比对即可得到答案。各概念的核心特征为：相反数是只有符号不同的两个数；倒数是乘积为1的两个数；绝对值、算术平方根的结果均为非负数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$数值相同，仅符号相反，符合相反数定义，该选项正确；
B. 倒数：互为倒数的两数乘积为1，$\sqrt{2} × (-\sqrt{2})=-2≠1$，不符合倒数定义，该选项错误；
C. 绝对值：正数的绝对值是它本身，$\sqrt{2}$的绝对值为$\sqrt{2}$，不是$-\sqrt{2}$，该选项错误；
D. 算术平方根：正数的算术平方根是正数，不可能为负数$-\sqrt{2}$，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
相反数；倒数；绝对值
【点评】
本题是基础的概念辨析题，主要考查数的相关易混淆概念的区分，熟记各概念的特征就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
3. 下列说法正确的是 （
A.无限小数就是无理数
B.带根号的数都是无理数
C.不能除尽的分数都是无理数
D.无理数都是无限不循环小数
D
）A.无限小数就是无理数
B.带根号的数都是无理数
C.不能除尽的分数都是无理数
D.无理数都是无限不循环小数
答案
3.D
解析
【分析】
这是一道有理数和无理数概念的辨析题，解题时要紧扣无理数、有理数的定义，通过举反例的方法逐一判断每个选项的正误，最终选出正确答案。首先明确核心定义：无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数，所有有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，因此无限小数不一定是无理数，该选项错误；
B. 带根号的数如果开方结果是整数或分数，就属于有理数，例如$\sqrt{4}=2$是整数，属于有理数，因此带根号的数不都是无理数，该选项错误；
C. 分数本身就属于有理数，即使除不尽得到的是无限循环小数，仍然属于有理数，例如$\frac{1}{3}$是分数，化为小数是无限循环小数$0.\dot{3}$，属于有理数，该选项错误；
D. 无理数的定义就是无限不循环小数，因此该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的定义 2. 有理数的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对有理数和无理数概念的区分，解题的关键是牢记两类数的定义，掌握用反例排除错误选项的方法，避免混淆相近概念。
【难度系数】
0.8
这是一道有理数和无理数概念的辨析题，解题时要紧扣无理数、有理数的定义，通过举反例的方法逐一判断每个选项的正误，最终选出正确答案。首先明确核心定义：无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数，所有有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，因此无限小数不一定是无理数，该选项错误；
B. 带根号的数如果开方结果是整数或分数，就属于有理数，例如$\sqrt{4}=2$是整数，属于有理数，因此带根号的数不都是无理数，该选项错误；
C. 分数本身就属于有理数，即使除不尽得到的是无限循环小数，仍然属于有理数，例如$\frac{1}{3}$是分数，化为小数是无限循环小数$0.\dot{3}$，属于有理数，该选项错误；
D. 无理数的定义就是无限不循环小数，因此该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的定义 2. 有理数的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对有理数和无理数概念的区分，解题的关键是牢记两类数的定义，掌握用反例排除错误选项的方法，避免混淆相近概念。
【难度系数】
0.8
4. $\sqrt{2}, -2, \sqrt{(-3)^2}, (-1)^3$ 四个数中最大的数是 （
A.$\sqrt{(-3)^2}$
B.$-2$
C.$\sqrt{2}$
D.$(-1)^3$
A
）A.$\sqrt{(-3)^2}$
B.$-2$
C.$\sqrt{2}$
D.$(-1)^3$
答案
4.A
解析
【分析】
要找出四个数中最大的数，首先需要先把含有乘方、开方运算的数化简为最简形式，再根据“正数大于一切负数，两个正数比较大小，绝对值大的数更大”的规则比较四个数的大小即可。
【解析】
先分别化简四个数：
1. $\sqrt{2}$是正数，约等于1.414；
2. $-2$是负数；
3. 先计算根号内的乘方：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，是正数；
4. 计算乘方：$(-1)^3=-1$，是负数。
将四个数排序可得：$3＞\sqrt{2}＞-1＞-2$，即$\sqrt{(-3)^2}＞\sqrt{2}＞(-1)^3＞-2$，因此最大的数是$\sqrt{(-3)^2}$。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较、算术平方根计算、有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先将各非最简形式的数化简后再比较大小，计算时注意不要混淆算术平方根和平方根的区别，避免乘方运算的符号错误。
【难度系数】
0.9
要找出四个数中最大的数，首先需要先把含有乘方、开方运算的数化简为最简形式，再根据“正数大于一切负数，两个正数比较大小，绝对值大的数更大”的规则比较四个数的大小即可。
【解析】
先分别化简四个数：
1. $\sqrt{2}$是正数，约等于1.414；
2. $-2$是负数；
3. 先计算根号内的乘方：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，是正数；
4. 计算乘方：$(-1)^3=-1$，是负数。
将四个数排序可得：$3＞\sqrt{2}＞-1＞-2$，即$\sqrt{(-3)^2}＞\sqrt{2}＞(-1)^3＞-2$，因此最大的数是$\sqrt{(-3)^2}$。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较、算术平方根计算、有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先将各非最简形式的数化简后再比较大小，计算时注意不要混淆算术平方根和平方根的区别，避免乘方运算的符号错误。
【难度系数】
0.9
5. 如图，实数$\sqrt{2}+1$在数轴上的对应点可能是 （
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
D
）A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
5.D
解析
【分析】
要确定$\sqrt{2}+1$在数轴上的对应点，首先需要用夹逼法估算出$\sqrt{2}$的取值范围，再推导得到$\sqrt{2}+1$的取值范围，最后对照数轴上各点的位置即可匹配到对应点。
【解析】
1. 估算$\sqrt{2}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$。
2. 推导$\sqrt{2}+1$的范围：
给不等式$1＜\sqrt{2}＜2$的各部分同时加1，可得$1+1＜\sqrt{2}+1＜2+1$，即$2＜\sqrt{2}+1＜3$。
3. 匹配数轴上的点：
观察数轴，点A在$-3∼-2$之间，点B在$-1∼0$之间，点C在$0∼1$之间，点D在$2∼3$之间，因此$\sqrt{2}+1$的对应点是点D。
【答案】
D
【知识点】
无理数的估算，实数与数轴的对应
【点评】
本题属于基础题，核心是利用夹逼法确定无理数的取值范围，再结合数轴上点的位置特征匹配对应点，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要确定$\sqrt{2}+1$在数轴上的对应点，首先需要用夹逼法估算出$\sqrt{2}$的取值范围，再推导得到$\sqrt{2}+1$的取值范围，最后对照数轴上各点的位置即可匹配到对应点。
【解析】
1. 估算$\sqrt{2}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$。
2. 推导$\sqrt{2}+1$的范围：
给不等式$1＜\sqrt{2}＜2$的各部分同时加1，可得$1+1＜\sqrt{2}+1＜2+1$，即$2＜\sqrt{2}+1＜3$。
3. 匹配数轴上的点：
观察数轴，点A在$-3∼-2$之间，点B在$-1∼0$之间，点C在$0∼1$之间，点D在$2∼3$之间，因此$\sqrt{2}+1$的对应点是点D。
【答案】
D
【知识点】
无理数的估算，实数与数轴的对应
【点评】
本题属于基础题，核心是利用夹逼法确定无理数的取值范围，再结合数轴上点的位置特征匹配对应点，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6.如图，有一个数值转换器，当输入的x为64时，输出的y是（
A.8
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
B
）A.8
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
答案
6.B
解析
【分析】
解题首先要明确数值转换器的运算规则：输入x后，先计算x的算术平方根，若结果为无理数则直接输出；若结果为有理数，就把这个结果作为新的x再次计算算术平方根，重复上述步骤，直到得到无理数为止。解题时将x=64代入规则逐步计算，每一步判断结果类型，最终得到输出的y即可。
【解析】
第一步：输入x=64，计算64的算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，不符合输出要求，需继续运算；
第二步：将8作为新的输入值，计算8的算术平方根：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，符合输出要求。
因此输出的y为$2\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根计算、无理数识别、二次根式化简
【点评】
本题结合数值转换器的新情境考查基础运算与概念辨析，解题核心是明确转换器的循环运算规则，注意不要仅计算一次算术平方根就直接输出，避免错选A选项。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确数值转换器的运算规则：输入x后，先计算x的算术平方根，若结果为无理数则直接输出；若结果为有理数，就把这个结果作为新的x再次计算算术平方根，重复上述步骤，直到得到无理数为止。解题时将x=64代入规则逐步计算，每一步判断结果类型，最终得到输出的y即可。
【解析】
第一步：输入x=64，计算64的算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，不符合输出要求，需继续运算；
第二步：将8作为新的输入值，计算8的算术平方根：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，符合输出要求。
因此输出的y为$2\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根计算、无理数识别、二次根式化简
【点评】
本题结合数值转换器的新情境考查基础运算与概念辨析，解题核心是明确转换器的循环运算规则，注意不要仅计算一次算术平方根就直接输出，避免错选A选项。
【难度系数】
0.7
7.已知$a,b$分别是$6-\sqrt{13}$的整数部分和小数部分，那么$2a-b$的值是
（
A.$3-\sqrt{13}$
B.$4-\sqrt{13}$
C.$\sqrt{13}$
D.$5-\sqrt{13}$
（
C
）A.$3-\sqrt{13}$
B.$4-\sqrt{13}$
C.$\sqrt{13}$
D.$5-\sqrt{13}$
答案
7.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要估算出无理数$\sqrt{13}$的取值范围，进而确定$6-\sqrt{13}$的整数部分$a$和小数部分$b$，最后将$a$、$b$代入代数式$2a-b$计算即可得到结果。具体思考步骤：①先找与13相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{13}$的范围；②通过不等式变形得到$6-\sqrt{13}$的范围，从而得到整数部分$a$；③根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$；④代入代数式计算。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{13}$的范围
因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$。
第二步：确定$6-\sqrt{13}$的范围
对不等式$3＜\sqrt{13}＜4$两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-4＜-\sqrt{13}＜-3$；
两边同时加6，得$6-4＜6-\sqrt{13}＜6-3$，即$2＜6-\sqrt{13}＜3$。
第三步：求$a$和$b$的值
因为$a$是$6-\sqrt{13}$的整数部分，所以$a=2$；
因为$b$是$6-\sqrt{13}$的小数部分，所以$b=(6-\sqrt{13})-a=6-\sqrt{13}-2=4-\sqrt{13}$。
第四步：代入计算$2a-b$
将$a=2$，$b=4-\sqrt{13}$代入得：
$2a-b=2×2-(4-\sqrt{13})=4-4+\sqrt{13}=\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
无理数大小估算；代数式求值；实数运算
【点评】
本题是无理数相关的基础常考题，解题核心是掌握无理数的估算方法，正确区分无理数的整数部分和小数部分，代入计算时注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要估算出无理数$\sqrt{13}$的取值范围，进而确定$6-\sqrt{13}$的整数部分$a$和小数部分$b$，最后将$a$、$b$代入代数式$2a-b$计算即可得到结果。具体思考步骤：①先找与13相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{13}$的范围；②通过不等式变形得到$6-\sqrt{13}$的范围，从而得到整数部分$a$；③根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$；④代入代数式计算。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{13}$的范围
因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$。
第二步：确定$6-\sqrt{13}$的范围
对不等式$3＜\sqrt{13}＜4$两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-4＜-\sqrt{13}＜-3$；
两边同时加6，得$6-4＜6-\sqrt{13}＜6-3$，即$2＜6-\sqrt{13}＜3$。
第三步：求$a$和$b$的值
因为$a$是$6-\sqrt{13}$的整数部分，所以$a=2$；
因为$b$是$6-\sqrt{13}$的小数部分，所以$b=(6-\sqrt{13})-a=6-\sqrt{13}-2=4-\sqrt{13}$。
第四步：代入计算$2a-b$
将$a=2$，$b=4-\sqrt{13}$代入得：
$2a-b=2×2-(4-\sqrt{13})=4-4+\sqrt{13}=\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
无理数大小估算；代数式求值；实数运算
【点评】
本题是无理数相关的基础常考题，解题核心是掌握无理数的估算方法，正确区分无理数的整数部分和小数部分，代入计算时注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.7
