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9. 学科特色 双中点模型 「2026河南平顶山期中，★☆」如图，点B在线段AP上，点M，N分别是线段AB，BP的中点，若$AP=15$，则线段MN的长度为（
A.5
B.7.5
C.15
D.30
B
）A.5
B.7.5
C.15
D.30
答案
9.B 因为点M,N分别是线段AB,BP的中点，
所以$BM=\frac{1}{2}AB$,$BN=\frac{1}{2}BP$，
所以$MN=BM+BN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AB+BP)=\frac{1}{2}AP$
$=\frac{1}{2}×15=7.5$.故选B.
所以$BM=\frac{1}{2}AB$,$BN=\frac{1}{2}BP$，
所以$MN=BM+BN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AB+BP)=\frac{1}{2}AP$
$=\frac{1}{2}×15=7.5$.故选B.
10.「2026陕西西安月考，★☆」如图，点B和点C把线段AD分成2：3：4三部分，点M是线段AD的中点，CD＝8，下列说法：①AM＝MD；②MC＝1；③4AB＝3BC.其中正确的是
①②
（填序号）.答案
10.答案 ①②
解析 由题意得$AB:BC:CD=2:3:4$，
设$AB=2x$,则$BC=3x$,$CD=4x$，
因为$CD=8$,所以$4x=8$,所以$x=2$，
所以$AB=4$,$BC=6$,$AD=2x+3x+4x=9x=18$，
因为点M是线段AD的中点，
所以$AM=MD=\frac{1}{2}×18=9$,故①正确；
$MC=MD-CD=9-8=1$,故②正确；
因为$4AB=4×4=16$,$3BC=3×6=18$,$16≠18$，
所以$4AB≠3BC$,故③错误.
故答案为①②.
解析 由题意得$AB:BC:CD=2:3:4$，
设$AB=2x$,则$BC=3x$,$CD=4x$，
因为$CD=8$,所以$4x=8$,所以$x=2$，
所以$AB=4$,$BC=6$,$AD=2x+3x+4x=9x=18$，
因为点M是线段AD的中点，
所以$AM=MD=\frac{1}{2}×18=9$,故①正确；
$MC=MD-CD=9-8=1$,故②正确；
因为$4AB=4×4=16$,$3BC=3×6=18$,$16≠18$，
所以$4AB≠3BC$,故③错误.
故答案为①②.
11. 学科
特色
易错题「2025云南昆明期末，★??」已知线段AB=8 cm，点C是直线AB上的点，BC=2 cm，若点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，则线段MN的长度为
特色
易错题「2025云南昆明期末，★??」已知线段AB=8 cm，点C是直线AB上的点，BC=2 cm，若点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，则线段MN的长度为
3或5
cm.答案
11.答案 3或5
解析 情况一:点C在点B的左侧,如图1.
因为$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=2\ \mathrm{cm}$,点M是线段AB的中点,点N是线段BC的中点，
所以$BM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$,$BN=\frac{1}{2}BC=1\ \mathrm{cm}$.
所以$MN=BM-BN=4-1=3(\mathrm{cm})$.
情况二:点C在点B的右侧,如图2.
因为$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=2\ \mathrm{cm}$,点M是线段AB的中点,点N是线段BC的中点，
所以$BM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$,$BN=\frac{1}{2}BC=1\ \mathrm{cm}$.
所以$MN=BM+BN=4+1=5(\mathrm{cm})$.
故答案为3或5.
12.「2026河北秦皇岛期中，★☆」如图,已知平面上四个点A,B,C,D,请根据下列语句用尺规作图并回答问题.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)分别画直线AB,线段AC.
(2)画出射线AD与射线BC,两射线相交于点P.
(3)作射线CD,并在射线CD上取一点E(不与点C重合),使得$DE=CD$.
(4)在线段AC上找一点Q,使$QB+QD$的值最小,这样画图的依据是
(1)分别画直线AB,线段AC.
(2)画出射线AD与射线BC,两射线相交于点P.
(3)作射线CD,并在射线CD上取一点E(不与点C重合),使得$DE=CD$.
(4)在线段AC上找一点Q,使$QB+QD$的值最小,这样画图的依据是
两点之间线段最短
.答案
12.解析 (1)(2)(3)如图所示.
(4)如图,连接BD,与线段AC的交点即为点Q,此时$QB+QD$的值最小,依据是两点之间线段最短.
13. 核心素养 几何直观 「2026 陕西西安期中改编」【知识准备】
若数轴上点 M 表示的数为 m,点 N 表示的数为 n,则 MN 的中点 G 表示的数为$\frac{m+n}{2}$.
【初步探究】
(1)数轴上点 A,B 表示的数分别为-9,1,则 AB 的中点 C 表示的数为
(2)在(1)的条件下,点 P 从点 A 出发,以每秒a个单位长度的速度沿数轴向负方向移动,同时点 Q 从点 B 出发,以每秒 3a 个单位长度的速度沿数轴向正方向移动.
①当运动时间为 3 秒时,若$a=2$,求数轴上 PQ 的中点表示的数;
②当运动时间为 2 秒时,用含 a 的代数式表示 PQ 的中点表示的数.(结果化为最简)
【拓展提升】
(3)若数轴上点 A 表示的数为$x(x＞0)$,点 B 表示的数为$-3x$,点 C 从点 A 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向负方向移动,点 D 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向正方向移动,当运动时间为 5 秒时,点 E 为 AD 的中点,点 F 为 BC 的中点,判断线段 EF 的长度是不是定值,并说明理由.
若数轴上点 M 表示的数为 m,点 N 表示的数为 n,则 MN 的中点 G 表示的数为$\frac{m+n}{2}$.
【初步探究】
(1)数轴上点 A,B 表示的数分别为-9,1,则 AB 的中点 C 表示的数为
-4
.(2)在(1)的条件下,点 P 从点 A 出发,以每秒a个单位长度的速度沿数轴向负方向移动,同时点 Q 从点 B 出发,以每秒 3a 个单位长度的速度沿数轴向正方向移动.
①当运动时间为 3 秒时,若$a=2$,求数轴上 PQ 的中点表示的数;
②当运动时间为 2 秒时,用含 a 的代数式表示 PQ 的中点表示的数.(结果化为最简)
【拓展提升】
(3)若数轴上点 A 表示的数为$x(x＞0)$,点 B 表示的数为$-3x$,点 C 从点 A 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向负方向移动,点 D 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向正方向移动,当运动时间为 5 秒时,点 E 为 AD 的中点,点 F 为 BC 的中点,判断线段 EF 的长度是不是定值,并说明理由.
答案
13.解析 (1)-4.
详解:因为$\frac{-9+1}{2}=-4$,所以点C表示的数为-4.
(2)①由题意得,此时点P表示的数为$-9-2×3=-15$,点Q表示的数为$1+3×2×3=19$，
所以数轴上PQ的中点表示的数为$\frac{-15+19}{2}=2$.
②当运动时间为2秒时,点P表示的数为$-9-2a$,点Q表示的数为$1+6a$,所以数轴上PQ的中点表示的数为$\frac{-9-2a+1+6a}{2}=-4+2a$.
(3)线段EF的长度为定值.理由如下:
当运动时间为5秒时,点D在数轴上表示的数为$-3x+5$,点C在数轴上表示的数为$x-2×5=x-10$,所以AD的中点E表示的数为$\frac{x-3x+5}{2}=-x+\frac{5}{2}$,BC的中点F表示的数为$\frac{-3x+x-10}{2}=-x-5$,所以EF的长度为$-x+\frac{5}{2}-(-x-5)=\frac{15}{2}$,所以线段EF的长度为定值.
详解:因为$\frac{-9+1}{2}=-4$,所以点C表示的数为-4.
(2)①由题意得,此时点P表示的数为$-9-2×3=-15$,点Q表示的数为$1+3×2×3=19$，
所以数轴上PQ的中点表示的数为$\frac{-15+19}{2}=2$.
②当运动时间为2秒时,点P表示的数为$-9-2a$,点Q表示的数为$1+6a$,所以数轴上PQ的中点表示的数为$\frac{-9-2a+1+6a}{2}=-4+2a$.
(3)线段EF的长度为定值.理由如下:
当运动时间为5秒时,点D在数轴上表示的数为$-3x+5$,点C在数轴上表示的数为$x-2×5=x-10$,所以AD的中点E表示的数为$\frac{x-3x+5}{2}=-x+\frac{5}{2}$,BC的中点F表示的数为$\frac{-3x+x-10}{2}=-x-5$,所以EF的长度为$-x+\frac{5}{2}-(-x-5)=\frac{15}{2}$,所以线段EF的长度为定值.
