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1[2026 山东聊城质检,中]已知$x^2 + 2x - 1 = 0$，则代数式$4x(x+1)-2x^2 -3$的值为（
A.1
B.-1
C.5
D.-5
B
）A.1
B.-1
C.5
D.-5
答案
根据题意可知,$x^2+2x=1$,$\therefore$ 原式$=4x^2+4x-2x^2-3=2x^2+4x-3=2(x^2+2x)-3=2×1-3=-1$.故选 B.
[中]如图
所示，分别为a和b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积
A.$\frac{1}{2}b^2$
B.$\frac{1}{2}a^2$
C.$(a + b)^2$
所示，分别为a和b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积A.$\frac{1}{2}b^2$
B.$\frac{1}{2}a^2$
C.$(a + b)^2$
答案
先将原图形补成一个大的长方形,再用大长方形的面积减去阴影周围三个直角三角形的面积即可求解.题图中阴影部分的面积为$(a+b)b-\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a(a+b)-\frac{1}{2}a(b-a)=ab+b^2-\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}b^2$,故选 A.
3[中]有一个魔术盒,当任意数对(a,b)进入其中时,会得到一个新的数$3b(a-2)$.现将数对$(m,2)$放入其中,得到数$n$,再将数对$(n,m)$放入其中,得到的数是
$18m^2-42m$
.(用含$m$的代数式表示)答案
当数对$(m,2)$放入魔术盒,得到的新数$n=3×2×(m-2)=6m-12$,把数对$(n,m)$放入魔术盒,得到的新数为$3m·(n-2)=3m(6m-12-2)=3m(6m-14)=18m^2-42m$.故答案为$18m^2-42m$.
4[较难]阅读下列文字,并解决问题.
已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2-3x^3y-4x)$的值.
分析:因为满足$x^2y=3$的$x,y$的值较多,不能逐一代入求解,所以考虑整体代入思想,将$x^2y=3$整体代入.
解:$2xy(x^5y^2-3x^3y-4x)=2x^6y^3-6x^4y^2-8x^2y=2(x^2y)^3-6(x^2y)^2-8x^2y=2×3^3-6×3^2-8×3=-24$.
请你用上述方法解决问题:已知$ab=3$,求$(2a^3b^2-3a^2b+4a)(-2b)$的值.
已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2-3x^3y-4x)$的值.
分析:因为满足$x^2y=3$的$x,y$的值较多,不能逐一代入求解,所以考虑整体代入思想,将$x^2y=3$整体代入.
解:$2xy(x^5y^2-3x^3y-4x)=2x^6y^3-6x^4y^2-8x^2y=2(x^2y)^3-6(x^2y)^2-8x^2y=2×3^3-6×3^2-8×3=-24$.
请你用上述方法解决问题:已知$ab=3$,求$(2a^3b^2-3a^2b+4a)(-2b)$的值.
答案
$\because ab=3,\therefore (2a^3b^2-3a^2b+4a)(-2b)=-4a^3b^3+6a^2b^2-8ab=-4(ab)^3+6(ab)^2-8ab=-4×3^3+6×3^2-8×3=-78$.
5[2025安徽蚌埠期中,较难]学习代数式的值时,遇到这样一道题:"代数式$ax - y + 6 + 3x -5y -1$的值与x的取值无关,求a的值".通常的解题方法是把x,y看作字母,a看作系数,合并同类项,即原式=$(a+3)x -6y +5$,因为代数式的值
与x的取值无关,所以含x项的系数为0,所以$a+3=0$,则$a=-3$.
(1)已知$A=2x^2-(1-3n)x$,$B=-x^2+nx-1$,且$3A+6B$的值与x的取值无关,求n的值.
(2)有7个如图(1)的小长方形,长为a,宽为b,按照如图(2)的方式不重叠地放在大长方形ABCD内,大长方形中未被覆盖的部分用阴影表示,设右上角的阴影部分的面积为$S_1$,左下角的阴影部分的面积为$S_2$,设$AB=x$,当AB的长变化时,$3S_1 -4S_2$的值始终保持不变,请求出$\frac{a}{b}$的值.
刷素养 走向重高
与x的取值无关,所以含x项的系数为0,所以$a+3=0$,则$a=-3$.
(1)已知$A=2x^2-(1-3n)x$,$B=-x^2+nx-1$,且$3A+6B$的值与x的取值无关,求n的值.
(2)有7个如图(1)的小长方形,长为a,宽为b,按照如图(2)的方式不重叠地放在大长方形ABCD内,大长方形中未被覆盖的部分用阴影表示,设右上角的阴影部分的面积为$S_1$,左下角的阴影部分的面积为$S_2$,设$AB=x$,当AB的长变化时,$3S_1 -4S_2$的值始终保持不变,请求出$\frac{a}{b}$的值.
刷素养 走向重高
答案
(1)$\because A=2x^2-(1-3n)x,B=-x^2+nx-1$,
$\therefore 3A+6B=3[2x^2-(1-3n)x]+6(-x^2+nx-1)=3(2x^2-x+3nx)+6(-x^2+nx-1)=6x^2-3x+9nx-6x^2+6nx-6=(-3+9n+6n)x-6=(15n-3)x-6$.
$\because 3A+6B$的值与$x$的取值无关,$\therefore 15n-3=0$,
$\therefore n=\frac{1}{5}$.
(2)由题图(2)可知$S_1=a(x-3b),S_2=2b(x-2a),\therefore 3S_1-4S_2=3a(x-3b)-4×2b(x-2a)=(3a-8b)x+7ab$.$\because$ 当$AB$的长变化时,$3S_1-4S_2$的值始终保持不变,$\therefore 3S_1-4S_2$的值与$x$的取值无关,$\therefore 3a-8b=0,\therefore 3a=8b$,
$\therefore \frac{a}{b}=\frac{8}{3}$.
$\therefore 3A+6B=3[2x^2-(1-3n)x]+6(-x^2+nx-1)=3(2x^2-x+3nx)+6(-x^2+nx-1)=6x^2-3x+9nx-6x^2+6nx-6=(-3+9n+6n)x-6=(15n-3)x-6$.
$\because 3A+6B$的值与$x$的取值无关,$\therefore 15n-3=0$,
$\therefore n=\frac{1}{5}$.
(2)由题图(2)可知$S_1=a(x-3b),S_2=2b(x-2a),\therefore 3S_1-4S_2=3a(x-3b)-4×2b(x-2a)=(3a-8b)x+7ab$.$\because$ 当$AB$的长变化时,$3S_1-4S_2$的值始终保持不变,$\therefore 3S_1-4S_2$的值与$x$的取值无关,$\therefore 3a-8b=0,\therefore 3a=8b$,
$\therefore \frac{a}{b}=\frac{8}{3}$.
6 核心素养 运算能力 [难]定义:若$A-B=1$,则称$A$与$B$是关于1的单位数.
(1)3与
(2)若$A=3x(x+2)-1$,$B=2(\dfrac{3}{2}x^2+3x-1)$,判断$A$与$B$是不是关于1的单位数,并说明理由.
(1)3与
2
是关于1的单位数,$x-3$与x-4
(填一个含$x$的式子)是关于1的单位数.(2)若$A=3x(x+2)-1$,$B=2(\dfrac{3}{2}x^2+3x-1)$,判断$A$与$B$是不是关于1的单位数,并说明理由.
答案
(1)$3-2=1$,$\therefore 3$与$2$是关于$1$的单位数.设$x-3$与$M$是关于$1$的单位数,则$x-3-M=1$,$\therefore M=x-4$.故答案为$2$,$x-4$.
(2)$A$与$B$是关于1的单位数.理由如下:
$\because A-B=3x(x+2)-1-2(\frac{3}{2}x^2+3x-1)=3x^2+6x-1-3x^2-6x+2=1$,
$\therefore A$与$B$是关于1的单位数.
(2)$A$与$B$是关于1的单位数.理由如下:
$\because A-B=3x(x+2)-1-2(\frac{3}{2}x^2+3x-1)=3x^2+6x-1-3x^2-6x+2=1$,
$\therefore A$与$B$是关于1的单位数.
