登录
12. 如图是一个数值转换机,若输出的数为23,则输入的最小正整数是
5
.答案
12. 5 解析:当$-2x-3=23$时,解得$x=-13$;当$-2x-3=-13$时,解得$x=5$;当$-2x-3=5$时,解得$x=-4$;当$-2x-3=-4$时,解得$x=\dfrac{1}{2}$,不是整数,继续推,所得的x都不是整数,所以输入的最小正整数是5.
解析
【分析】
已知输出结果为23，要找输入的最小正整数x，首先明确数值转换机的运算规则：输入x后计算$-2x-3$，若结果大于20则直接输出，否则将该结果作为新的x再次代入计算。我们可以从输出的23逆向推导，逐次求出每次运算对应的输入值，从中筛选出正整数，最终找到最小的符合要求的x即可。
【解析】
从输出结果23开始逆向推导：
1. 若23是第一次运算的结果，列方程：
$-2x - 3 = 23$
移项得$-2x = 23 + 3 = 26$
解得$x = -13$，不是正整数，不符合要求。
2. 说明23是第二次运算的结果，先求第一次运算的结果$y_1$：
$-2y_1 - 3 = 23$，解得$y_1 = -13$
再将$y_1$作为第一次运算的结果列方程：
$-2x - 3 = -13$
移项得$-2x = -13 + 3 = -10$
解得$x = 5$，是正整数。
3. 继续往前推导验证是否存在更小的正整数：
若$-13$是第二次运算的结果，可得第一次运算结果$y_2 = 5$，列方程$-2x - 3 = 5$，解得$x = -4$，不是正整数；
再往前推导列方程$-2x - 3 = -4$，解得$x = \frac{1}{2}$，不是整数，后续推导得到的x均不是正整数。
综上，输入的最小正整数是5。
【答案】
5
【知识点】
一元一次方程求解，数值转换机运算，逆推法
【点评】
解题时不能仅考虑单次运算的情况，需要结合数值转换机的循环运算规则，通过逆向推导逐次验证可能的输入值，同时注意结合“最小正整数”的条件筛选结果，避免漏解。
【难度系数】
0.5
已知输出结果为23，要找输入的最小正整数x，首先明确数值转换机的运算规则：输入x后计算$-2x-3$，若结果大于20则直接输出，否则将该结果作为新的x再次代入计算。我们可以从输出的23逆向推导，逐次求出每次运算对应的输入值，从中筛选出正整数，最终找到最小的符合要求的x即可。
【解析】
从输出结果23开始逆向推导：
1. 若23是第一次运算的结果，列方程：
$-2x - 3 = 23$
移项得$-2x = 23 + 3 = 26$
解得$x = -13$，不是正整数，不符合要求。
2. 说明23是第二次运算的结果，先求第一次运算的结果$y_1$：
$-2y_1 - 3 = 23$，解得$y_1 = -13$
再将$y_1$作为第一次运算的结果列方程：
$-2x - 3 = -13$
移项得$-2x = -13 + 3 = -10$
解得$x = 5$，是正整数。
3. 继续往前推导验证是否存在更小的正整数：
若$-13$是第二次运算的结果，可得第一次运算结果$y_2 = 5$，列方程$-2x - 3 = 5$，解得$x = -4$，不是正整数；
再往前推导列方程$-2x - 3 = -4$，解得$x = \frac{1}{2}$，不是整数，后续推导得到的x均不是正整数。
综上，输入的最小正整数是5。
【答案】
5
【知识点】
一元一次方程求解，数值转换机运算，逆推法
【点评】
解题时不能仅考虑单次运算的情况，需要结合数值转换机的循环运算规则，通过逆向推导逐次验证可能的输入值，同时注意结合“最小正整数”的条件筛选结果，避免漏解。
【难度系数】
0.5
13. 小明和林浩相约去图书城买书,请根据他们的对话内容(如图),求出林浩上次所买图书的原价.
答案
13. 设林浩上次所买图书的原价为 x 元,根据题意,得$0.8x+20=x-12$,解得$x=160$.答:林浩上次所买图书的原价为160元.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确题目中的等量关系：办卡后买书的总花费 = 图书原价 - 省下的12元。我们可以先设林浩上次买的图书原价为x元，办卡后买书享受8折优惠，所以购书的费用是0.8x元，再加上20元办卡费，就是办卡后的总花费；同时办卡后比不办卡省了12元，即办卡后的总花费比原价少12元。根据这个等量关系列出方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解方程，就能得到图书的原价。
【解析】
解：设林浩上次所买图书的原价为x元。
根据题意列方程得：
$0.8x + 20 = x - 12$
移项，得：$0.8x - x = -12 - 20$
合并同类项，得：$-0.2x = -32$
系数化为1，得：$x = 160$
答：林浩上次所买图书的原价为160元。
【答案】
林浩上次所买图书的原价为160元
【知识点】
一元一次方程应用，移项解方程
【点评】
本题是典型的生活消费类一元一次方程应用题，难度不大，解题核心是理清办卡前后的花费逻辑，找准等量关系列方程，解方程时注意移项要变号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确题目中的等量关系：办卡后买书的总花费 = 图书原价 - 省下的12元。我们可以先设林浩上次买的图书原价为x元，办卡后买书享受8折优惠，所以购书的费用是0.8x元，再加上20元办卡费，就是办卡后的总花费；同时办卡后比不办卡省了12元，即办卡后的总花费比原价少12元。根据这个等量关系列出方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解方程，就能得到图书的原价。
【解析】
解：设林浩上次所买图书的原价为x元。
根据题意列方程得：
$0.8x + 20 = x - 12$
移项，得：$0.8x - x = -12 - 20$
合并同类项，得：$-0.2x = -32$
系数化为1，得：$x = 160$
答：林浩上次所买图书的原价为160元。
【答案】
林浩上次所买图书的原价为160元
【知识点】
一元一次方程应用，移项解方程
【点评】
本题是典型的生活消费类一元一次方程应用题，难度不大，解题核心是理清办卡前后的花费逻辑，找准等量关系列方程，解方程时注意移项要变号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
14. 对于有理数$a,b$,定义一种新运算“$*$”,规定$a*b=|a+2b|+|a-b|$.
(1)计算$2*(-3)$的值;
(2)已知$a＞0$且$a*(a*a)=8+a$,求$a$的值.
(1)计算$2*(-3)$的值;
(2)已知$a＞0$且$a*(a*a)=8+a$,求$a$的值.
答案
B
解析
根据无理数是无限不循环小数，逐一判断各数：1. 0.1212212221…（相邻两个1之间依次多一个2）是具有特殊结构的无限不循环小数，属于无理数；2. $-\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；3. $-π$是含$π$的数，属于无理数；4. 0是整数，属于有理数；5. 3.14是有限小数，属于有理数；6. $-3\frac{1}{3}$是分数，属于有理数。综上，无理数共有2个。
15. 在$3×3$方格上做填数字游戏，
，在方格中已经填入了三个数，若要使每行、每列、每条对角线上的三个格子中的数的和都等于$x$，则$x=$
，在方格中已经填入了三个数，若要使每行、每列、每条对角线上的三个格子中的数的和都等于$x$，则$x=$30
。答案
B
解析
根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，逐一判断选项：
1. 选项A：$3.\dot{1}4285\dot{7}$是无限循环小数，属于有理数；
2. 选项B：$3.1428···$是无限不循环小数，符合无理数的定义；
3. 选项C：$3.142857$是有限小数，属于有理数；
4. 选项D：$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数。
综上，只有B是无理数。
1. 选项A：$3.\dot{1}4285\dot{7}$是无限循环小数，属于有理数；
2. 选项B：$3.1428···$是无限不循环小数，符合无理数的定义；
3. 选项C：$3.142857$是有限小数，属于有理数；
4. 选项D：$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数。
综上，只有B是无理数。
16. 有人问一位老师所教的班有多少名学生，老师说：“一半的学生在学数学，$\frac{1}{4}$的学生在学音乐，$\frac{1}{7}$的学生在学英语，还剩不足6名学生正在操场上踢足球.”请根据这位老师的描述求这个班有多少名学生.
答案
不一定
解析
举例验证：若a=√2（无理数），则a²=2是有理数；若a=π（无理数），则a²=π²是无理数。说明a是无理数时，a²可能为有理数也可能为无理数，因此a²不一定是无理数。
17. 改编题 在解一元一次方程时,巧妙利用整体法,可以达到简化计算的效果.例如,在解方程$7(2x+1)-10(2x+1)+8=2x+1$时,把$2x+1$看作一个整体.
令$a=2x+1$,得$7a-10a+8=a$,
移项,得$7a-10a-a=-8$,
合并同类项,得$-4a=-8$,
系数化为1,得$a=2$,
故$2x+1=2$,解得$x=\frac{1}{2}$.
阅读以上材料,请用同样的方法解方程:
$2026(7x-1)+2025(1-7x)-5=14x-2$.
令$a=2x+1$,得$7a-10a+8=a$,
移项,得$7a-10a-a=-8$,
合并同类项,得$-4a=-8$,
系数化为1,得$a=2$,
故$2x+1=2$,解得$x=\frac{1}{2}$.
阅读以上材料,请用同样的方法解方程:
$2026(7x-1)+2025(1-7x)-5=14x-2$.
答案
解：
先计算得 $-|-3|=-3$。
整数：$-|-3|$，$0$；
分数：$\frac{22}{7}$，$-3.\dot{1}$；
无理数：$\frac{π}{2}$，$6.6060060006···$（两个6之间依次多1个0）。
先计算得 $-|-3|=-3$。
整数：$-|-3|$，$0$；
分数：$\frac{22}{7}$，$-3.\dot{1}$；
无理数：$\frac{π}{2}$，$6.6060060006···$（两个6之间依次多1个0）。
解析
【分析】
解题时先观察方程的结构，发现式子中多次出现和$7x-1$相关的项：$1-7x$是$7x-1$的相反数，右侧$14x-2$可提取公因数2变形为$2(7x-1)$，因此可以模仿材料中的整体法，把$7x-1$看作一个整体设为$a$，将原方程转化为只含$a$的一元一次方程，先求$a$的值，再反解$x$即可，这样能避免直接展开计算2026、2025这类大数字，简化运算。
【解析】
解：先对原方程变形，
将$2025(1-7x)$转化为$-2025(7x-1)$，右侧$14x-2$提取公因数2得$2(7x-1)$，
原方程可化为：$2026(7x-1)-2025(7x-1)-5=2(7x-1)$
令$a=7x-1$，则方程变为：$2026a - 2025a -5 = 2a$
移项，得：$2026a - 2025a - 2a = 5$
合并同类项，得：$-a = 5$
系数化为1，得：$a = -5$
把$a=-5$代回$a=7x-1$，得：$7x - 1 = -5$
移项计算：$7x = -5 + 1$，即$7x=-4$
系数化为1，得：$x=-\dfrac{4}{7}$
【答案】
$x=-\dfrac{4}{7}$
【知识点】
整体换元法，一元一次方程的解法，代数式变形
【点评】
本题通过整体换元的思想简化一元一次方程的计算，避免了大系数展开的复杂运算，解题关键是观察方程中重复出现的代数式结构，灵活变形构造出可换元的整体，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.6
解题时先观察方程的结构，发现式子中多次出现和$7x-1$相关的项：$1-7x$是$7x-1$的相反数，右侧$14x-2$可提取公因数2变形为$2(7x-1)$，因此可以模仿材料中的整体法，把$7x-1$看作一个整体设为$a$，将原方程转化为只含$a$的一元一次方程，先求$a$的值，再反解$x$即可，这样能避免直接展开计算2026、2025这类大数字，简化运算。
【解析】
解：先对原方程变形，
将$2025(1-7x)$转化为$-2025(7x-1)$，右侧$14x-2$提取公因数2得$2(7x-1)$，
原方程可化为：$2026(7x-1)-2025(7x-1)-5=2(7x-1)$
令$a=7x-1$，则方程变为：$2026a - 2025a -5 = 2a$
移项，得：$2026a - 2025a - 2a = 5$
合并同类项，得：$-a = 5$
系数化为1，得：$a = -5$
把$a=-5$代回$a=7x-1$，得：$7x - 1 = -5$
移项计算：$7x = -5 + 1$，即$7x=-4$
系数化为1，得：$x=-\dfrac{4}{7}$
【答案】
$x=-\dfrac{4}{7}$
【知识点】
整体换元法，一元一次方程的解法，代数式变形
【点评】
本题通过整体换元的思想简化一元一次方程的计算，避免了大系数展开的复杂运算，解题关键是观察方程中重复出现的代数式结构，灵活变形构造出可换元的整体，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.6
