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1[2026江苏徐州期中]如图,从边长为$8\sqrt{3}$ cm的等边三角形中剪一个最大的扇形ADE,F为$\overset{\frown}{DB}$与BC的唯一交点,若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径应为 (
A.1 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.2 cm
D.$2\sqrt{3}$ cm
C
)A.1 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.2 cm
D.$2\sqrt{3}$ cm
答案
1. C 【解析】如图,连接 AF,则 AF ⊥ BC,BF = CF = $4\sqrt{3}$ cm, $\therefore AF = \sqrt{AB^2-BF^2} = \sqrt{(8\sqrt{3})^2-(4\sqrt{3})^2} = 12$ ( cm ). 设圆锥底面半径为 $r$ cm, $\therefore \frac{60π×12}{180}=2π r$, $\therefore r=2$, 即此圆锥的底面半径应为 2 cm. 故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题可按以下思路推导：首先，弧$\overset{\frown}{DE}$与BC只有唯一交点F，说明BC是弧所在圆的切线，根据切线性质，过切点的半径AF垂直于BC；其次，△ABC是等边三角形，可利用等边三角形三线合一的性质和勾股定理求出AF的长度，也就是扇形ADE的半径；最后，圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，结合扇形弧长公式和圆的周长公式列方程，即可求出圆锥的底面半径。
【解析】
解：如图，连接AF。
∵F为$\overset{\frown}{DE}$与BC的唯一交点，
∴BC与$\overset{\frown}{DE}$所在圆相切，故$AF⊥ BC$。
∵△ABC是边长为$8\sqrt{3}$ cm的等边三角形，
∴$BF=CF=\frac{1}{2}BC=4\sqrt{3}$ cm，
由勾股定理可得：$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{(8\sqrt{3})^2-(4\sqrt{3})^2}=12$ cm，即扇形ADE的半径为12 cm，且扇形的圆心角$∠ A=60°$。
设圆锥底面半径为$r$ cm，
∵圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，
∴$\frac{60π×12}{180}=2π r$，
解得$r=2$。
即此圆锥的底面半径为2 cm。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，切线的性质，圆锥的计算
【点评】
本题属于基础综合题，将等边三角形、切线性质和圆锥相关计算结合考查，解题核心是抓住扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，熟练掌握相关公式和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题可按以下思路推导：首先，弧$\overset{\frown}{DE}$与BC只有唯一交点F，说明BC是弧所在圆的切线，根据切线性质，过切点的半径AF垂直于BC；其次，△ABC是等边三角形，可利用等边三角形三线合一的性质和勾股定理求出AF的长度，也就是扇形ADE的半径；最后，圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，结合扇形弧长公式和圆的周长公式列方程，即可求出圆锥的底面半径。
【解析】
解：如图，连接AF。
∵F为$\overset{\frown}{DE}$与BC的唯一交点，
∴BC与$\overset{\frown}{DE}$所在圆相切，故$AF⊥ BC$。
∵△ABC是边长为$8\sqrt{3}$ cm的等边三角形，
∴$BF=CF=\frac{1}{2}BC=4\sqrt{3}$ cm，
由勾股定理可得：$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{(8\sqrt{3})^2-(4\sqrt{3})^2}=12$ cm，即扇形ADE的半径为12 cm，且扇形的圆心角$∠ A=60°$。
设圆锥底面半径为$r$ cm，
∵圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，
∴$\frac{60π×12}{180}=2π r$，
解得$r=2$。
即此圆锥的底面半径为2 cm。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，切线的性质，圆锥的计算
【点评】
本题属于基础综合题，将等边三角形、切线性质和圆锥相关计算结合考查，解题核心是抓住扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，熟练掌握相关公式和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2 新考向跨学科综合 [2026 江苏南通期末]如图，化学实验课上，化学老师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸，已知滤纸底面半径为2 cm，母线长为6 cm，则需要的扇形纸片的圆心角为
120
度.答案
2. 120 【解析】设需要的扇形纸片的圆心角为 $n$ 度. 由题意得, $\frac{π· n· 6}{180}=2×2π$, 解得 $n=120$, $\therefore$ 需要的扇形纸片的圆心角为 120 度,故答案为 120.
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与原扇形的对应关系：扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先计算圆锥底面的周长，再结合扇形弧长公式列方程，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设需要的扇形纸片的圆心角为$n$度。
首先计算圆锥底面周长：$C=2π r=2×π×2=4π$（cm）。
已知扇形的半径等于圆锥母线长，即$R=6$cm，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，且扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：
$\frac{nπ ×6}{180}=4π$
两边同时约去$π$，得：$\frac{6n}{180}=4$
解得：$n=120$
【答案】
120
【知识点】
圆锥与展开扇形的关系；弧长计算公式；圆周长计算
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的关键是抓住“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一核心等量关系，只要掌握圆锥侧面展开图的对应特征和相关计算公式，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与原扇形的对应关系：扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先计算圆锥底面的周长，再结合扇形弧长公式列方程，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设需要的扇形纸片的圆心角为$n$度。
首先计算圆锥底面周长：$C=2π r=2×π×2=4π$（cm）。
已知扇形的半径等于圆锥母线长，即$R=6$cm，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，且扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：
$\frac{nπ ×6}{180}=4π$
两边同时约去$π$，得：$\frac{6n}{180}=4$
解得：$n=120$
【答案】
120
【知识点】
圆锥与展开扇形的关系；弧长计算公式；圆周长计算
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的关键是抓住“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一核心等量关系，只要掌握圆锥侧面展开图的对应特征和相关计算公式，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
3[2025江苏无锡期末]若圆锥的底面圆半径是1 cm,它的侧面展开图的圆心角是直角,则该圆锥的高为
$\sqrt{15}$
cm.答案
3. $\sqrt{15}$ 【解析】设圆锥的母线长为 $l$ cm. 根据题意得 $2π· 1=\frac{90π l}{180}$, 解得 $l=4$, 即圆锥的母线长为 4 cm, $\therefore$ 圆锥的高为 $\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$ ( cm ), 故答案为 $\sqrt{15}$.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确圆锥与它侧面展开图（扇形）的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。第一步可利用弧长与底面周长的等量关系，结合弧长公式求出圆锥的母线长；第二步，圆锥的高、底面半径、母线长恰好构成直角三角形，其中母线为斜边，再利用勾股定理即可求出圆锥的高。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $ cm。
已知圆锥底面半径为1 cm，侧面展开图的圆心角为直角即90°，根据“圆锥侧面展开图的弧长=底面圆周长”列等式：
$ 2π × 1 = \frac{90π l}{180} $
化简求解：
$ 2π = \frac{π l}{2} $，两边同时除以$π$得$ 2 = \frac{l}{2} $，解得$ l = 4 $，即圆锥母线长为4 cm。
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理计算高：
$ \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15} $（cm）
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题核心是抓住圆锥侧面展开扇形与圆锥各部分的对应等量关系，结合勾股定理即可求解，解题逻辑清晰，考查的都是核心基础考点。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确圆锥与它侧面展开图（扇形）的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。第一步可利用弧长与底面周长的等量关系，结合弧长公式求出圆锥的母线长；第二步，圆锥的高、底面半径、母线长恰好构成直角三角形，其中母线为斜边，再利用勾股定理即可求出圆锥的高。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $ cm。
已知圆锥底面半径为1 cm，侧面展开图的圆心角为直角即90°，根据“圆锥侧面展开图的弧长=底面圆周长”列等式：
$ 2π × 1 = \frac{90π l}{180} $
化简求解：
$ 2π = \frac{π l}{2} $，两边同时除以$π$得$ 2 = \frac{l}{2} $，解得$ l = 4 $，即圆锥母线长为4 cm。
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理计算高：
$ \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15} $（cm）
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题核心是抓住圆锥侧面展开扇形与圆锥各部分的对应等量关系，结合勾股定理即可求解，解题逻辑清晰，考查的都是核心基础考点。
【难度系数】
0.7
4[2026江苏南京调研]如图，已知圆锥的底面半径是4 cm，母线长为12 cm，C为母线PB的中点，求在圆锥的侧面上从A到C的距离。
答案
4.【解】如图为该圆锥的侧面展开图,连接 AB. 设圆锥侧面展开图的圆心角是 $n°$. 由题意得圆锥的底面周长是 $8π$, $\therefore 8π=\frac{nπ×12}{180}$, 解得 $n=120$, 即圆锥侧面展开图的圆心角是 $120°$, $\therefore ∠ APB=60°$. $\because PA=PB$, $\therefore △ PAB$ 是等边三角形. $\because C$ 是 $PB$ 的中点, $\therefore AC⊥ PB$, $\therefore ∠ ACP=90°$. $\because$ 在圆锥侧面展开图中, $AP=12$, $PC=6$, $\therefore$ 在圆锥侧面展开图中, $AC=\sqrt{AP^2-PC^2}=6\sqrt{3}$, 即在圆锥的侧面上从 $A$ 到 $C$ 的距离是 $6\sqrt{3}$ cm.
解析
【分析】
要求圆锥侧面上A到C的距离，需先将圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”把问题转化为求平面内线段AC的长度。首先根据圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，计算出扇形的圆心角；接着确定展开图中∠APB的度数，判断△PAB的形状；最后结合C是PB中点的条件，利用直角三角形勾股定理计算AC的长度。
【解析】
解：将圆锥侧面展开得到扇形，连接AC，设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径为4 cm，因此底面周长为$2π×4=8π\ \mathrm{cm}$。
2. 求侧面展开图的圆心角：圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，扇形半径等于母线长12 cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$可得：
$8π=\frac{nπ×12}{180}$，解得$n=120$，即扇形圆心角为$120°$。
3. 分析三角形形状：A、B是底面直径的两个端点，因此展开后$∠ APB=\frac{1}{2}×120°=60°$，又因为$PA=PB=12\ \mathrm{cm}$，所以$△ PAB$是等边三角形。
4. 计算AC长度：因为C是PB的中点，根据等边三角形三线合一的性质，$AC⊥ PB$，即$∠ ACP=90°$。其中$PC=\frac{1}{2}PB=6\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AP^2-PC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
在圆锥的侧面上从A到C的距离是$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算公式、勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，核心是将曲面最短路径问题转化为平面内线段长度问题求解，解题时要注意准确对应圆锥和侧面展开扇形的各元素关系，结合特殊三角形的性质即可完成计算。
【难度系数】
0.6
要求圆锥侧面上A到C的距离，需先将圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”把问题转化为求平面内线段AC的长度。首先根据圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，计算出扇形的圆心角；接着确定展开图中∠APB的度数，判断△PAB的形状；最后结合C是PB中点的条件，利用直角三角形勾股定理计算AC的长度。
【解析】
解：将圆锥侧面展开得到扇形，连接AC，设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径为4 cm，因此底面周长为$2π×4=8π\ \mathrm{cm}$。
2. 求侧面展开图的圆心角：圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，扇形半径等于母线长12 cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$可得：
$8π=\frac{nπ×12}{180}$，解得$n=120$，即扇形圆心角为$120°$。
3. 分析三角形形状：A、B是底面直径的两个端点，因此展开后$∠ APB=\frac{1}{2}×120°=60°$，又因为$PA=PB=12\ \mathrm{cm}$，所以$△ PAB$是等边三角形。
4. 计算AC长度：因为C是PB的中点，根据等边三角形三线合一的性质，$AC⊥ PB$，即$∠ ACP=90°$。其中$PC=\frac{1}{2}PB=6\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AP^2-PC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
在圆锥的侧面上从A到C的距离是$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算公式、勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，核心是将曲面最短路径问题转化为平面内线段长度问题求解，解题时要注意准确对应圆锥和侧面展开扇形的各元素关系，结合特殊三角形的性质即可完成计算。
【难度系数】
0.6
5 圆锥的高是4 cm,其底面圆半径为3 cm,则它的侧面展开图的面积为 （
A.$12π \ \mathrm{cm}^2$
B.$24π \ \mathrm{cm}^2$
C.$15π \ \mathrm{cm}^2$
D.$30π \ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$12π \ \mathrm{cm}^2$
B.$24π \ \mathrm{cm}^2$
C.$15π \ \mathrm{cm}^2$
D.$30π \ \mathrm{cm}^2$
答案
5. C 【解析】这个圆锥的母线长为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$ ( cm ), 所以这个圆锥的侧面积为 $\frac{1}{2}×2π×3×5=15π$ ( $\mathrm{cm}^2$ ). 故选 C.
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的面积，首先明确圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们已知圆锥的底面半径和高，首先需要利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形的特点，用勾股定理求出母线长，再代入扇形面积公式（即圆锥侧面积公式）计算即可。
【解析】
解：首先计算圆锥的母线长，圆锥的高h=4cm，底面半径r=3cm，母线长l、高h、底面半径r满足直角三角形三边关系：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长：$C=2π r=2π×3=6π\ \mathrm{cm}$
圆锥侧面积即为侧面展开扇形的面积，公式为$S=\frac{1}{2}× C× l$，代入数值：
$S=\frac{1}{2}×6π×5=15π\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.圆锥的结构特征 2.勾股定理 3.圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查圆锥各部分与其侧面展开图各部分的对应关系，只要熟练掌握圆锥的相关性质和侧面积计算公式，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥侧面展开图的面积，首先明确圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们已知圆锥的底面半径和高，首先需要利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形的特点，用勾股定理求出母线长，再代入扇形面积公式（即圆锥侧面积公式）计算即可。
【解析】
解：首先计算圆锥的母线长，圆锥的高h=4cm，底面半径r=3cm，母线长l、高h、底面半径r满足直角三角形三边关系：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长：$C=2π r=2π×3=6π\ \mathrm{cm}$
圆锥侧面积即为侧面展开扇形的面积，公式为$S=\frac{1}{2}× C× l$，代入数值：
$S=\frac{1}{2}×6π×5=15π\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.圆锥的结构特征 2.勾股定理 3.圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查圆锥各部分与其侧面展开图各部分的对应关系，只要熟练掌握圆锥的相关性质和侧面积计算公式，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
6 设圆锥的底面圆半径为$r$，圆锥的母线长为$l$，且满足$2r+l=6$，则这样的圆锥的侧面积（
A.有最大值$\frac{9}{4}π$
B.有最小值$\frac{9}{4}π$
C.有最大值$\frac{9}{2}π$
D.有最小值$\frac{9}{2}π$
C
）A.有最大值$\frac{9}{4}π$
B.有最小值$\frac{9}{4}π$
C.有最大值$\frac{9}{2}π$
D.有最小值$\frac{9}{2}π$
答案
6. C 【解析】$\because 2r+l=6$, $\therefore l=6-2r$, $\therefore$ 圆锥的侧面积为 $π rl=π r\ (6-2r)\ =\ -2π\ (r^2-3r)\ =-2π[(r-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}]=-2π(r-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}π$, $\therefore$ 当 $r=\frac{3}{2}$ 时,圆锥的侧面积有最大值,为 $\frac{9}{2}π$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先回忆圆锥侧面积的计算公式，已知底面半径r和母线l的等量关系$2r+l=6$，可先将l用含r的代数式表示，代入侧面积公式得到侧面积关于r的函数表达式，观察可知为二次函数，结合二次函数的开口方向即可判断最值情况，同时要验证最值对应的r符合实际长度要求。
【解析】
解：圆锥的侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，
由$2r+l=6$，可得$l=6-2r$，
将$l=6-2r$代入侧面积公式得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{侧}}&=π r(6-2r)\\&=-2π r^2+6π r\\&=-2π(r^2-3r)\\&=-2π[(r-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}]\\&=-2π(r-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}π\end{aligned}$
$\because -2π＜0$，$\therefore$ 该二次函数开口向下，存在最大值，
验证取值：$r＞0$，且母线长$l=6-2r＞r$，解得$0＜r＜2$，$r=\frac{3}{2}$在取值范围内，
$\therefore$ 当$r=\frac{3}{2}$时，圆锥侧面积取得最大值$\frac{9}{2}π$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算；二次函数最值应用
【点评】
本题属于几何与代数的综合基础题，核心是将圆锥侧面积的几何问题转化为二次函数求最值的代数问题，解题时要注意实际问题中自变量的取值范围，确保所求最值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆锥侧面积的计算公式，已知底面半径r和母线l的等量关系$2r+l=6$，可先将l用含r的代数式表示，代入侧面积公式得到侧面积关于r的函数表达式，观察可知为二次函数，结合二次函数的开口方向即可判断最值情况，同时要验证最值对应的r符合实际长度要求。
【解析】
解：圆锥的侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，
由$2r+l=6$，可得$l=6-2r$，
将$l=6-2r$代入侧面积公式得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{侧}}&=π r(6-2r)\\&=-2π r^2+6π r\\&=-2π(r^2-3r)\\&=-2π[(r-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}]\\&=-2π(r-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}π\end{aligned}$
$\because -2π＜0$，$\therefore$ 该二次函数开口向下，存在最大值，
验证取值：$r＞0$，且母线长$l=6-2r＞r$，解得$0＜r＜2$，$r=\frac{3}{2}$在取值范围内，
$\therefore$ 当$r=\frac{3}{2}$时，圆锥侧面积取得最大值$\frac{9}{2}π$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算；二次函数最值应用
【点评】
本题属于几何与代数的综合基础题，核心是将圆锥侧面积的几何问题转化为二次函数求最值的代数问题，解题时要注意实际问题中自变量的取值范围，确保所求最值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
7[2025江苏宿迁期中]如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,6),B(1,4),C(1,0).
(1)△ABC外接圆的圆心P的坐标是
(2)求圆心P到弦AC的距离;
(3)以BC所在直线为旋转轴,将△ABC旋转一周,求所得几何体的表面积.
刷易错 小心有坑~
(1)△ABC外接圆的圆心P的坐标是
(5,2)
;(2)求圆心P到弦AC的距离;
(3)以BC所在直线为旋转轴,将△ABC旋转一周,求所得几何体的表面积.
刷易错 小心有坑~
答案
7.【解】(1)如图, $△ ABC$ 外接圆的圆心 $P$ 的坐标是 $(5,2)$, 故答案为 $(5,2)$.
(2)令 $AC$ 的中点为 $D$, 如图. 根据中点公式, 可得 $AC$ 的中点 $D$ 的坐标为 $(2,3)$, $\therefore$ 点 $P$ 到弦 $AC$ 的距离为 $\sqrt{(5-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{10}$.
(3)旋转后的几何体为底面半径为 2, 高为 6 的圆锥挖去底面半径为 2, 高为 2 的圆锥. $\because AC=\sqrt{(3-1)^2+6^2}=2\sqrt{10}$, $AB=\sqrt{(3-1)^2+(6-4)^2}=2\sqrt{2}$, $\therefore$ 所得几何体表面积为 $2\sqrt{10}×2π+2\sqrt{2}×2π=4\sqrt{10}π+4\sqrt{2}π$.
解析
【分析】
(1) 三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需作出任意两条边的垂直平分线，其交点即为点P，结合坐标系计算即可得到P的坐标。
(2) 根据垂径定理，圆心与弦中点的连线垂直于弦，因此先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再用两点间距离公式计算P到D的距离，就是圆心到弦AC的距离。
(3) 以BC为旋转轴旋转△ABC时，点A到BC的水平距离为旋转后圆锥的底面半径，所得几何体是大圆锥挖去同底的小圆锥，其表面积为两个圆锥的侧面积之和（重合的底面不计入表面积），因此先求出母线AC、AB的长度，再用圆锥侧面积公式计算求和即可。
【解析】
(1) 分别作AB、BC的垂直平分线，两条线的交点即为△ABC外接圆的圆心P，计算可得P的坐标为$(5,2)$，如图。
(2) 设AC的中点为D，根据中点坐标公式，代入A(3,6)、C(1,0)的坐标，得D的坐标为$(\dfrac{3+1}{2},\dfrac{6+0}{2})=(2,3)$。
根据两点间距离公式，代入P(5,2)、D(2,3)的坐标，得点P到弦AC的距离为$\sqrt{(5-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
(3) 以BC所在直线为旋转轴旋转△ABC，所得几何体为底面半径为$3-1=2$、高为6的圆锥挖去同底面、高为$6-4=2$的圆锥。
先计算两条母线的长度：
$AC=\sqrt{(3-1)^2+(6-0)^2}=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}$，
$AB=\sqrt{(3-1)^2+(6-4)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$（r为底面半径，l为母线长），所得几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$S=π×2×2\sqrt{10}+π×2×2\sqrt{2}=4\sqrt{10}π+4\sqrt{2}π$。
【答案】
(1) $(5,2)$
(2) $\sqrt{10}$
(3) $4\sqrt{10}π+4\sqrt{2}π$
【知识点】
三角形外心的性质；两点间距离公式；圆锥侧面积计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查几何综合计算，解题关键是明确外心的定义，熟练掌握中点坐标、两点距离的计算方法，判断旋转后几何体的构成时要注意表面积仅统计外侧部分，避免误加重合的底面面积。
【难度系数】
0.6
(1) 三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需作出任意两条边的垂直平分线，其交点即为点P，结合坐标系计算即可得到P的坐标。
(2) 根据垂径定理，圆心与弦中点的连线垂直于弦，因此先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再用两点间距离公式计算P到D的距离，就是圆心到弦AC的距离。
(3) 以BC为旋转轴旋转△ABC时，点A到BC的水平距离为旋转后圆锥的底面半径，所得几何体是大圆锥挖去同底的小圆锥，其表面积为两个圆锥的侧面积之和（重合的底面不计入表面积），因此先求出母线AC、AB的长度，再用圆锥侧面积公式计算求和即可。
【解析】
(1) 分别作AB、BC的垂直平分线，两条线的交点即为△ABC外接圆的圆心P，计算可得P的坐标为$(5,2)$，如图
。(2) 设AC的中点为D，根据中点坐标公式，代入A(3,6)、C(1,0)的坐标，得D的坐标为$(\dfrac{3+1}{2},\dfrac{6+0}{2})=(2,3)$。
根据两点间距离公式，代入P(5,2)、D(2,3)的坐标，得点P到弦AC的距离为$\sqrt{(5-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
(3) 以BC所在直线为旋转轴旋转△ABC，所得几何体为底面半径为$3-1=2$、高为6的圆锥挖去同底面、高为$6-4=2$的圆锥。
先计算两条母线的长度：
$AC=\sqrt{(3-1)^2+(6-0)^2}=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}$，
$AB=\sqrt{(3-1)^2+(6-4)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$（r为底面半径，l为母线长），所得几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$S=π×2×2\sqrt{10}+π×2×2\sqrt{2}=4\sqrt{10}π+4\sqrt{2}π$。
【答案】
(1) $(5,2)$
(2) $\sqrt{10}$
(3) $4\sqrt{10}π+4\sqrt{2}π$
【知识点】
三角形外心的性质；两点间距离公式；圆锥侧面积计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查几何综合计算，解题关键是明确外心的定义，熟练掌握中点坐标、两点距离的计算方法，判断旋转后几何体的构成时要注意表面积仅统计外侧部分，避免误加重合的底面面积。
【难度系数】
0.6
8 如图,矩形纸片ABCD中,AD=9 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则AB的长为
6 cm
.答案
8. 6 cm 【解析】设圆锥的底面圆的半径为 $r$ cm, 则 $DE=2r$ cm, $AE=AB=(9-2r)$ cm. 根据题意得 $\frac{90×π×(9-2r)}{180}=2π r$, 解得 $r=\frac{3}{2}$, 所以 $AB=9-2r=9-2×\frac{3}{2}=6$ ( cm ).
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住“扇形作为圆锥侧面、小圆作为圆锥底面”的对应关系：圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长。首先分析图形：正方形ABFE中，扇形ABF的圆心角为90°，半径等于AB的长度；矩形EFCD内半径最大的圆的直径等于矩形的短边ED的长度，且AD=AE+ED=AB+ED=9cm。接下来设底面圆半径为r，用r表示出AB的长度、扇形弧长和底面圆周长，根据弧长等于周长的等量关系列方程求解，最后计算AB的长度即可。
【解析】
设圆锥的底面圆的半径为$r$ cm，
∵矩形EFCD中裁出的是半径最大的圆，
∴圆的直径等于ED的长度，即$DE=2r$ cm，
又
∵ABFE是正方形，
∴$AE=AB$，且$AE+DE=AD=9$ cm，因此$AB=AE=(9-2r)$ cm，
扇形ABF是圆心角为90°的扇形，半径为AB，其弧长恰好等于圆锥底面圆的周长，根据弧长公式和圆的周长公式可得：
$\frac{90×π×(9-2r)}{180}=2π r$
化简求解：
$\frac{π(9-2r)}{2}=2π r$，两边同时除以$π$得$\frac{9-2r}{2}=2r$，
解得$r=\frac{3}{2}$，
则$AB=9-2r=9-2×\frac{3}{2}=6$（cm）。
【答案】
6 cm
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合几何图形裁剪场景考查圆锥的相关性质，解题关键是找到“扇形弧长等于圆锥底面周长”的核心等量关系，结合图形边长关系建立方程求解，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住“扇形作为圆锥侧面、小圆作为圆锥底面”的对应关系：圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长。首先分析图形：正方形ABFE中，扇形ABF的圆心角为90°，半径等于AB的长度；矩形EFCD内半径最大的圆的直径等于矩形的短边ED的长度，且AD=AE+ED=AB+ED=9cm。接下来设底面圆半径为r，用r表示出AB的长度、扇形弧长和底面圆周长，根据弧长等于周长的等量关系列方程求解，最后计算AB的长度即可。
【解析】
设圆锥的底面圆的半径为$r$ cm，
∵矩形EFCD中裁出的是半径最大的圆，
∴圆的直径等于ED的长度，即$DE=2r$ cm，
又
∵ABFE是正方形，
∴$AE=AB$，且$AE+DE=AD=9$ cm，因此$AB=AE=(9-2r)$ cm，
扇形ABF是圆心角为90°的扇形，半径为AB，其弧长恰好等于圆锥底面圆的周长，根据弧长公式和圆的周长公式可得：
$\frac{90×π×(9-2r)}{180}=2π r$
化简求解：
$\frac{π(9-2r)}{2}=2π r$，两边同时除以$π$得$\frac{9-2r}{2}=2r$，
解得$r=\frac{3}{2}$，
则$AB=9-2r=9-2×\frac{3}{2}=6$（cm）。
【答案】
6 cm
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合几何图形裁剪场景考查圆锥的相关性质，解题关键是找到“扇形弧长等于圆锥底面周长”的核心等量关系，结合图形边长关系建立方程求解，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
