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知识点二 分式的意义
分式的分母表示除数，因为除数不能为，所以分式的分母不能为.即当$B≠$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。
分式的分母表示除数，因为除数不能为，所以分式的分母不能为.即当$B≠$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。
答案
解：
分式的分母表示除数，因为除数不能为$\boldsymbol{0}$，所以分式的分母不能为$\boldsymbol{0}$.即当$B≠\boldsymbol{0}$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。
分式的分母表示除数，因为除数不能为$\boldsymbol{0}$，所以分式的分母不能为$\boldsymbol{0}$.即当$B≠\boldsymbol{0}$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。
例2 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1) $\frac{2x - 3}{3x + 2}$；(2) $\frac{2}{x^2 + 1}$；(3) $\frac{3x}{x(x + 2)}$；(4) $\frac{x + y}{x^2 - y^2}$。
解 (1) 要使分式$\frac{2x - 3}{3x + 2}$有意义，则分母$3x + 2 ≠ 0$，即$x ≠ -\frac{2}{3}$。
(2) 要使分式$\frac{2}{x^2 + 1}$有意义，则分母$x^2 + 1 ≠ 0$。因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2 + 1 ＞ 0$，所以不论$x$为何值，分式都有意义。
(3) 要使分式$\frac{3x}{x(x + 2)}$有意义，则分母$x(x + 2) ≠ 0$，即$x ≠ 0$，且$x ≠ -2$。
(4) 要使分式$\frac{x + y}{x^2 - y^2}$有意义，则分母$x^2 - y^2 ≠ 0$，即$x ≠ \pm y$。
(1) $\frac{2x - 3}{3x + 2}$；(2) $\frac{2}{x^2 + 1}$；(3) $\frac{3x}{x(x + 2)}$；(4) $\frac{x + y}{x^2 - y^2}$。
解 (1) 要使分式$\frac{2x - 3}{3x + 2}$有意义，则分母$3x + 2 ≠ 0$，即$x ≠ -\frac{2}{3}$。
(2) 要使分式$\frac{2}{x^2 + 1}$有意义，则分母$x^2 + 1 ≠ 0$。因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2 + 1 ＞ 0$，所以不论$x$为何值，分式都有意义。
(3) 要使分式$\frac{3x}{x(x + 2)}$有意义，则分母$x(x + 2) ≠ 0$，即$x ≠ 0$，且$x ≠ -2$。
(4) 要使分式$\frac{x + y}{x^2 - y^2}$有意义，则分母$x^2 - y^2 ≠ 0$，即$x ≠ \pm y$。
答案
1. 要使分式$\frac{2x - 3}{3x + 2}$有意义，则分母$3x + 2 ≠ 0$，即$x ≠ -\frac{2}{3}$。
2. 要使分式$\frac{2}{x^2 + 1}$有意义，则分母$x^2 + 1 ≠ 0$。因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2 + 1 ＞ 0$，所以不论$x$为何值，分式都有意义。
3. 要使分式$\frac{3x}{x(x + 2)}$有意义，则分母$x(x + 2) ≠ 0$，即$x ≠ 0$，且$x ≠ -2$。
4. 要使分式$\frac{x + y}{x^2 - y^2}$有意义，则分母$x^2 - y^2 ≠ 0$，即$x ≠ \pm y$。
2. 要使分式$\frac{2}{x^2 + 1}$有意义，则分母$x^2 + 1 ≠ 0$。因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2 + 1 ＞ 0$，所以不论$x$为何值，分式都有意义。
3. 要使分式$\frac{3x}{x(x + 2)}$有意义，则分母$x(x + 2) ≠ 0$，即$x ≠ 0$，且$x ≠ -2$。
4. 要使分式$\frac{x + y}{x^2 - y^2}$有意义，则分母$x^2 - y^2 ≠ 0$，即$x ≠ \pm y$。
1. 在$-\dfrac{1}{π}$，$\dfrac{3}{x}$，$\dfrac{x+1}{4}$，$\dfrac{x}{x+y}$中，分式的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
根据分式的定义：若式子$\frac{A}{B}$中A、B为整式，且B中含有字母、B≠0，则该式子为分式，逐一判断：
1. $-\frac{1}{π}$中$π$是常数，分母不含字母，属于整式；
2. $\frac{3}{x}$的分母含有字母$x$，是分式；
3. $\frac{x+1}{4}$的分母是常数4，属于整式；
4. $\frac{x}{x+y}$的分母含有字母$x、y$，是分式。
综上，分式共有2个。
1. $-\frac{1}{π}$中$π$是常数，分母不含字母，属于整式；
2. $\frac{3}{x}$的分母含有字母$x$，是分式；
3. $\frac{x+1}{4}$的分母是常数4，属于整式；
4. $\frac{x}{x+y}$的分母含有字母$x、y$，是分式。
综上，分式共有2个。
2. 当分式$\frac{1}{x+2}$的值为正数时，$x$的取值范围是（）
A.$x≥-2$
B.$x＞-2$
C.$x≠-2$
D.任意实数
A.$x≥-2$
B.$x＞-2$
C.$x≠-2$
D.任意实数
答案
B
解析
分式$\frac{1}{x+2}$的分子1是正数，若分式的值为正数，则分母需满足$x+2＞0$，解得$x＞-2$，该范围同时保证分式有意义，因此x的取值范围是$x＞-2$。
3. 若$|a|=6$，$b=2$，且$a+b＜0$，则$\frac{a}{b}$的值是（）
A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.$-\frac{1}{3}$
A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.$-\frac{1}{3}$
答案
B
解析
由|a|=6，可得a=6或a=-6。已知b=2，且a+b＜0：当a=6时，a+b=6+2=8＞0，不符合条件，舍去；当a=-6时，a+b=-6+2=-4＜0，符合条件。因此$\frac{a}{b}=\frac{-6}{2}=-3$。
4. 已知 $ y = \frac{x^2}{2 - 3x} $。
（1）当x取何值时，y的值是0？
（2）当x取何值时，y的值是负数？
（1）当x取何值时，y的值是0？
（2）当x取何值时，y的值是负数？
答案
解：
（1）当y的值为0时，需满足分式的分子为0，且分母不为0，
即 $x^2=0$，且 $2-3x ≠ 0$，
由$x^2=0$得$x=0$，
当$x=0$时，$2-3x=2 ≠ 0$，符合要求，
因此当$x=0$时，y的值是0。
（2）当y的值为负数时，即 $\frac{x^2}{2-3x} ＜ 0$，
因为$x^2 ≥ 0$，且$x=0$时$y=0$，不符合y为负数的要求，
因此要使分式的值为负，需满足$x^2＞0$且$2-3x＜0$，
解不等式$2-3x ＜ 0$，得 $x ＞ \frac{2}{3}$，此时$x^2＞0$恒成立，
因此当$x ＞ \frac{2}{3}$时，y的值是负数。
（1）当y的值为0时，需满足分式的分子为0，且分母不为0，
即 $x^2=0$，且 $2-3x ≠ 0$，
由$x^2=0$得$x=0$，
当$x=0$时，$2-3x=2 ≠ 0$，符合要求，
因此当$x=0$时，y的值是0。
（2）当y的值为负数时，即 $\frac{x^2}{2-3x} ＜ 0$，
因为$x^2 ≥ 0$，且$x=0$时$y=0$，不符合y为负数的要求，
因此要使分式的值为负，需满足$x^2＞0$且$2-3x＜0$，
解不等式$2-3x ＜ 0$，得 $x ＞ \frac{2}{3}$，此时$x^2＞0$恒成立，
因此当$x ＞ \frac{2}{3}$时，y的值是负数。
