登录
10.如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1＞0)$和$y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$的图象上.若$BD// y$轴，点D的横坐标为3，则$k_1 + k_2 =$
$18$
.答案
10. 18
解析
【分析】
解题时首先结合正方形对角线互相垂直平分的性质，由BD平行于y轴可推出AC平行于x轴，且BD上所有点横坐标均为3。我们可以设对角线交点的坐标，结合对角线相等的性质表示出四个顶点的坐标，再将对应点代入反比例函数解析式，利用k=xy的关系消去参数，即可求出$k_1+k_2$的值。
【解析】
设正方形ABCD对角线AC、BD的交点为M。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AC⊥BD$，$AM=MC=BM=MD$。
∵$BD//y$轴，
∴点B、D、M的横坐标均为3，且$AC//x$轴，点A、C、M的纵坐标相同。
设$M(3, t)$，$BM=MD=a$（$a≠0$），则各点坐标为：
$B(3, t+a)$，$D(3, t-a)$，$A(3+a, t)$，$C(3-a, t)$。
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，
∴$k_1=(3+a)t = 3(t+a)$，
展开得：$3t + at = 3t + 3a$，
化简得$at=3a$，
∵$a≠0$，
∴$t=3$。
将$t=3$代入得：$k_1=3×(3+a)=9+3a$，
∵点C、D在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，
∴$k_2=3×(3-a)=9-3a$，
因此$k_1 + k_2=(9+3a)+(9-3a)=18$。
【答案】
18
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与正方形的综合题，核心解题思路是利用正方形对角线的特征表示出各顶点坐标，通过代入反比例函数解析式消去未知参数得到结果，重点考查数形结合思想和参数法的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合正方形对角线互相垂直平分的性质，由BD平行于y轴可推出AC平行于x轴，且BD上所有点横坐标均为3。我们可以设对角线交点的坐标，结合对角线相等的性质表示出四个顶点的坐标，再将对应点代入反比例函数解析式，利用k=xy的关系消去参数，即可求出$k_1+k_2$的值。
【解析】
设正方形ABCD对角线AC、BD的交点为M。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AC⊥BD$，$AM=MC=BM=MD$。
∵$BD//y$轴，
∴点B、D、M的横坐标均为3，且$AC//x$轴，点A、C、M的纵坐标相同。
设$M(3, t)$，$BM=MD=a$（$a≠0$），则各点坐标为：
$B(3, t+a)$，$D(3, t-a)$，$A(3+a, t)$，$C(3-a, t)$。
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，
∴$k_1=(3+a)t = 3(t+a)$，
展开得：$3t + at = 3t + 3a$，
化简得$at=3a$，
∵$a≠0$，
∴$t=3$。
将$t=3$代入得：$k_1=3×(3+a)=9+3a$，
∵点C、D在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，
∴$k_2=3×(3-a)=9-3a$，
因此$k_1 + k_2=(9+3a)+(9-3a)=18$。
【答案】
18
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与正方形的综合题，核心解题思路是利用正方形对角线的特征表示出各顶点坐标，通过代入反比例函数解析式消去未知参数得到结果，重点考查数形结合思想和参数法的应用。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11.已知反比例函数$y=\dfrac{2k+1}{x}$.
（1）如果这个函数的图象经过点$(k,-1)$，求$k$的值；
（2）如果在这个函数图象所在的每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，求$k$的取值范围.
11.已知反比例函数$y=\dfrac{2k+1}{x}$.
（1）如果这个函数的图象经过点$(k,-1)$，求$k$的值；
（2）如果在这个函数图象所在的每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，求$k$的取值范围.
答案
11. (1) $-\dfrac{1}{3}$
(2) $k＞-\dfrac{1}{2}$
(2) $k＞-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
（1）反比例函数图象上任意一点的横纵坐标都满足函数解析式，因此将点$(k,-1)$的x、y值代入$y=\dfrac{2k+1}{x}$，可得到关于k的方程，解方程后验证比例系数不为0，即可得到k的值。
（2）反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$（$m≠0$）中，当比例系数$m＞0$时，每个象限内y随x的增大而减小，因此只需令本题的比例系数$2k+1＞0$，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
（1）
∵反比例函数$y=\dfrac{2k+1}{x}$的图象经过点$(k,-1)$
∴将$x=k$，$y=-1$代入解析式得：
$-1=\dfrac{2k+1}{k}$
两边同乘k（$k≠0$，符合反比例函数自变量要求）得：
$-k=2k+1$
移项合并同类项得：$-3k=1$
解得$k=-\dfrac{1}{3}$
验证：当$k=-\dfrac{1}{3}$时，比例系数$2k+1=\dfrac{1}{3}≠0$，符合反比例函数定义，故$k=-\dfrac{1}{3}$。
（2）
∵该反比例函数图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小
∴比例系数$2k+1＞0$
移项得$2k＞-1$
两边同除以2得：$k＞-\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{3}$
(2) $k＞-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，考查核心概念与性质，熟练掌握反比例函数的坐标规律、增减性和比例系数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）反比例函数图象上任意一点的横纵坐标都满足函数解析式，因此将点$(k,-1)$的x、y值代入$y=\dfrac{2k+1}{x}$，可得到关于k的方程，解方程后验证比例系数不为0，即可得到k的值。
（2）反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$（$m≠0$）中，当比例系数$m＞0$时，每个象限内y随x的增大而减小，因此只需令本题的比例系数$2k+1＞0$，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
（1）
∵反比例函数$y=\dfrac{2k+1}{x}$的图象经过点$(k,-1)$
∴将$x=k$，$y=-1$代入解析式得：
$-1=\dfrac{2k+1}{k}$
两边同乘k（$k≠0$，符合反比例函数自变量要求）得：
$-k=2k+1$
移项合并同类项得：$-3k=1$
解得$k=-\dfrac{1}{3}$
验证：当$k=-\dfrac{1}{3}$时，比例系数$2k+1=\dfrac{1}{3}≠0$，符合反比例函数定义，故$k=-\dfrac{1}{3}$。
（2）
∵该反比例函数图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小
∴比例系数$2k+1＞0$
移项得$2k＞-1$
两边同除以2得：$k＞-\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{3}$
(2) $k＞-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，考查核心概念与性质，熟练掌握反比例函数的坐标规律、增减性和比例系数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:个)之间有如下关系：
(1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、反比例函数和其他函数中确定哪种函数能表示其变化规律,说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解析式.
(2)设经营此贺卡的销售利润为W(单位:元),试求出W(单位:元)关于x(单位:元)的函数解析式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个,请你求出当日销售单价x定为多少元时,该商场才能获得最大日销售利润?
(1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、反比例函数和其他函数中确定哪种函数能表示其变化规律,说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解析式.
(2)设经营此贺卡的销售利润为W(单位:元),试求出W(单位:元)关于x(单位:元)的函数解析式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个,请你求出当日销售单价x定为多少元时,该商场才能获得最大日销售利润?
答案
12. (1)反比例函数能表示其变化规律.因为表中每对$x,y$的值的乘积均为60,是一个定值.其解析式为$y=\dfrac{60}{x}$.
(2)$W=60-\dfrac{120}{x}$,10元.
(2)$W=60-\dfrac{120}{x}$,10元.
解析
【分析】
针对第(1)问：首先回忆不同函数的特征，一次函数的特点是自变量每增加固定值，因变量的变化量固定；反比例函数的特点是自变量与因变量的乘积为定值。我们先计算表格中每组x和y的乘积，判断是否为定值，再验证是否符合一次函数的特征，排除不符合的函数类型，即可确定函数类别，再代入数值求解解析式。
针对第(2)问：首先明确销售利润的计算规则：总利润=单个商品利润×销售量，单个利润为售价x减去进价2元，销售量用第(1)问得到的y的解析式代入，即可得到W关于x的函数。再结合x的取值范围（售价最高为10元），根据函数的增减性判断利润最大时x的取值。
【解析】
(1) ①计算每组x与y的乘积：$3×20=60$，$4×15=60$，$5×12=60$，$6×10=60$，可得xy的结果恒为60，是定值，符合反比例函数的特征。
②排除一次函数：若为一次函数，x每增加1时y的变化量应相等，本题中x依次增加1，y的变化量为-5、-3、-2，变化量不相等，故不是一次函数。
③设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，代入$x=3,y=20$得$k=3×20=60$，故函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$。
(2) ①单个贺卡的利润为$(x-2)$元，总利润$W=$单个利润×销售量，即$W=(x-2)y$。
②将$y=\frac{60}{x}$代入得：$W=(x-2)·\frac{60}{x}=60-\frac{120}{x}$，其中$2≤ x≤10$（物价局规定售价最高为10元）。
③分析函数增减性：当$x＞0$时，x越大，$\frac{120}{x}$越小，因此$W=60-\frac{120}{x}$随x的增大而增大。
④结合x的取值范围，当x取最大值10时，W取得最大值，即当日销售单价定为10元时，可获得最大日销售利润。
【答案】
(1)反比例函数能表示其变化规律，因为表中每对x,y的值的乘积均为60，是一个定值，其解析式为$y=\dfrac{60}{x}$；
(2)$W=60-\dfrac{120}{x}$，当日销售单价定为10元时，获得最大日销售利润。
【知识点】
反比例函数判定；反比例函数解析式；销售利润建模
【点评】
本题结合实际销售场景，考查了函数类型的判断、解析式求解以及利用函数性质求最值，解题时需注意结合自变量的实际取值范围确定最优解，是函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
针对第(1)问：首先回忆不同函数的特征，一次函数的特点是自变量每增加固定值，因变量的变化量固定；反比例函数的特点是自变量与因变量的乘积为定值。我们先计算表格中每组x和y的乘积，判断是否为定值，再验证是否符合一次函数的特征，排除不符合的函数类型，即可确定函数类别，再代入数值求解解析式。
针对第(2)问：首先明确销售利润的计算规则：总利润=单个商品利润×销售量，单个利润为售价x减去进价2元，销售量用第(1)问得到的y的解析式代入，即可得到W关于x的函数。再结合x的取值范围（售价最高为10元），根据函数的增减性判断利润最大时x的取值。
【解析】
(1) ①计算每组x与y的乘积：$3×20=60$，$4×15=60$，$5×12=60$，$6×10=60$，可得xy的结果恒为60，是定值，符合反比例函数的特征。
②排除一次函数：若为一次函数，x每增加1时y的变化量应相等，本题中x依次增加1，y的变化量为-5、-3、-2，变化量不相等，故不是一次函数。
③设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，代入$x=3,y=20$得$k=3×20=60$，故函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$。
(2) ①单个贺卡的利润为$(x-2)$元，总利润$W=$单个利润×销售量，即$W=(x-2)y$。
②将$y=\frac{60}{x}$代入得：$W=(x-2)·\frac{60}{x}=60-\frac{120}{x}$，其中$2≤ x≤10$（物价局规定售价最高为10元）。
③分析函数增减性：当$x＞0$时，x越大，$\frac{120}{x}$越小，因此$W=60-\frac{120}{x}$随x的增大而增大。
④结合x的取值范围，当x取最大值10时，W取得最大值，即当日销售单价定为10元时，可获得最大日销售利润。
【答案】
(1)反比例函数能表示其变化规律，因为表中每对x,y的值的乘积均为60，是一个定值，其解析式为$y=\dfrac{60}{x}$；
(2)$W=60-\dfrac{120}{x}$，当日销售单价定为10元时，获得最大日销售利润。
【知识点】
反比例函数判定；反比例函数解析式；销售利润建模
【点评】
本题结合实际销售场景，考查了函数类型的判断、解析式求解以及利用函数性质求最值，解题时需注意结合自变量的实际取值范围确定最优解，是函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象$l$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$M(\frac{1}{2},4)$,$N(n,1)$两点.
(1)求反比例函数及一次函数的解析式;
(2)若$P$是$y$轴上一动点,连接$PM$,$PN$.当$PM+PN$的值最小时,求点$P$的坐标.
(1)求反比例函数及一次函数的解析式;
(2)若$P$是$y$轴上一动点,连接$PM$,$PN$.当$PM+PN$的值最小时,求点$P$的坐标.
答案
13. (1)反比例函数的解析式为$y=\dfrac{2}{x}$,一次函数的解析式为$y=-2x+5$.
(2)点$P$的坐标为$(0,\dfrac{17}{5})$.
(2)点$P$的坐标为$(0,\dfrac{17}{5})$.
解析
【分析】
(1) 求反比例函数解析式可利用待定系数法，将已知点M的坐标代入反比例函数表达式求出k值即可；得到反比例函数解析式后，将点N的坐标代入即可求出n，得到N点坐标，再将M、N两点坐标代入一次函数一般式，解二元一次方程组即可求出一次函数解析式。
(2) 本题属于最短路径问题，可利用“将军饮马”模型求解：作点M关于y轴的对称点M'，根据轴对称性质可知PM=PM'，因此PM+PN=PM'+PN，当M'、P、N三点共线时，PM'+PN的值最小，即PM+PN最小，求出直线M'N的解析式，其与y轴的交点即为所求点P的坐标。
【解析】
(1) ①求反比例函数解析式：
将$M(\dfrac{1}{2},4)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$4=\dfrac{k}{\dfrac{1}{2}}$，解得$k=4×\dfrac{1}{2}=2$，
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{2}{x}$。
②求N点坐标及一次函数解析式：
将$N(n,1)$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$1=\dfrac{2}{n}$，解得$n=2$，即$N(2,1)$。
设一次函数的解析式为$y=ax+b$，将$M(\dfrac{1}{2},4)$、$N(2,1)$代入得：
$\begin{cases}\dfrac{1}{2}a + b = 4 \\2a + b = 1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$\dfrac{3}{2}a=-3$，解得$a=-2$，
将$a=-2$代入$2a + b =1$，得$-4 + b=1$，解得$b=5$，
∴一次函数的解析式为$y=-2x+5$。
(2) 作点$M(\dfrac{1}{2},4)$关于y轴的对称点$M'$，根据关于y轴对称的点坐标特征，得$M'(-\dfrac{1}{2},4)$。
连接$M'N$，与y轴的交点即为所求点$P$，此时$PM+PN$的值最小。
设直线$M'N$的解析式为$y=mx+c$，将$M'(-\dfrac{1}{2},4)$、$N(2,1)$代入得：
$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}m + c =4 \\2m + c =1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$\dfrac{5}{2}m=-3$，解得$m=-\dfrac{6}{5}$，
将$m=-\dfrac{6}{5}$代入$2m + c =1$，得$2×(-\dfrac{6}{5})+c=1$，解得$c=\dfrac{17}{5}$，
∴直线$M'N$的解析式为$y=-\dfrac{6}{5}x+\dfrac{17}{5}$。
令$x=0$，得$y=\dfrac{17}{5}$，
∴点$P$的坐标为$(0,\dfrac{17}{5})$。
【答案】
(1) 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{2}{x}$，一次函数的解析式为$y=-2x+5$；
(2) 点$P$的坐标为$(0,\dfrac{17}{5})$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 反比例函数的性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能灵活运用“将军饮马”模型解决最短路径问题。
【难度系数】
0.65
(1) 求反比例函数解析式可利用待定系数法，将已知点M的坐标代入反比例函数表达式求出k值即可；得到反比例函数解析式后，将点N的坐标代入即可求出n，得到N点坐标，再将M、N两点坐标代入一次函数一般式，解二元一次方程组即可求出一次函数解析式。
(2) 本题属于最短路径问题，可利用“将军饮马”模型求解：作点M关于y轴的对称点M'，根据轴对称性质可知PM=PM'，因此PM+PN=PM'+PN，当M'、P、N三点共线时，PM'+PN的值最小，即PM+PN最小，求出直线M'N的解析式，其与y轴的交点即为所求点P的坐标。
【解析】
(1) ①求反比例函数解析式：
将$M(\dfrac{1}{2},4)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$4=\dfrac{k}{\dfrac{1}{2}}$，解得$k=4×\dfrac{1}{2}=2$，
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{2}{x}$。
②求N点坐标及一次函数解析式：
将$N(n,1)$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$1=\dfrac{2}{n}$，解得$n=2$，即$N(2,1)$。
设一次函数的解析式为$y=ax+b$，将$M(\dfrac{1}{2},4)$、$N(2,1)$代入得：
$\begin{cases}\dfrac{1}{2}a + b = 4 \\2a + b = 1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$\dfrac{3}{2}a=-3$，解得$a=-2$，
将$a=-2$代入$2a + b =1$，得$-4 + b=1$，解得$b=5$，
∴一次函数的解析式为$y=-2x+5$。
(2) 作点$M(\dfrac{1}{2},4)$关于y轴的对称点$M'$，根据关于y轴对称的点坐标特征，得$M'(-\dfrac{1}{2},4)$。
连接$M'N$，与y轴的交点即为所求点$P$，此时$PM+PN$的值最小。
设直线$M'N$的解析式为$y=mx+c$，将$M'(-\dfrac{1}{2},4)$、$N(2,1)$代入得：
$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}m + c =4 \\2m + c =1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$\dfrac{5}{2}m=-3$，解得$m=-\dfrac{6}{5}$，
将$m=-\dfrac{6}{5}$代入$2m + c =1$，得$2×(-\dfrac{6}{5})+c=1$，解得$c=\dfrac{17}{5}$，
∴直线$M'N$的解析式为$y=-\dfrac{6}{5}x+\dfrac{17}{5}$。
令$x=0$，得$y=\dfrac{17}{5}$，
∴点$P$的坐标为$(0,\dfrac{17}{5})$。
【答案】
(1) 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{2}{x}$，一次函数的解析式为$y=-2x+5$；
(2) 点$P$的坐标为$(0,\dfrac{17}{5})$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 反比例函数的性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能灵活运用“将军饮马”模型解决最短路径问题。
【难度系数】
0.65
