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1. 完全平方式
我们把
我们把
$a^2 + 2ab + b^2$
和$a^2 - 2ab + b^2$
这样的式子叫作完全平方式。答案
1. $a^2 + 2ab + b^2$ $a^2 - 2ab + b^2$
2. 用完全平方公式分解因式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的
平方.
用字母表示为 $a^2 + 2ab + b^2 =$
$a^2 - 2ab + b^2 =$
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的
平方.
用字母表示为 $a^2 + 2ab + b^2 =$
$(a+b)^2$
,$a^2 - 2ab + b^2 =$
$(a-b)^2$
.答案
2. $(a+b)^2$ $(a-b)^2$
3.公式法
运用
运用
公式
把多项式分解因式的方法叫作公式法。答案
3. 公式
典例1 如果$x^2 + 2ax + 1$是一个完全平方式，则a的值是(
A.1
B.－1
C.1或－1
D.2或－2
C
).A.1
B.－1
C.1或－1
D.2或－2
答案
答案C 解析
∵$(x\pm1)^2=x^2\pm2x+1$，且$x^2+2ax+1$是一个完全平方式，
∴$\pm2x=2a$，
∴$a=\pm1$，故选C.
∵$(x\pm1)^2=x^2\pm2x+1$，且$x^2+2ax+1$是一个完全平方式，
∴$\pm2x=2a$，
∴$a=\pm1$，故选C.
举一反三 $x^2 -6x +m^2$ 是一个完全平方式，则m的值为（
A.3
B.9
C.-3
D.$\pm3$
D
）。A.3
B.9
C.-3
D.$\pm3$
答案
D 解析
∵$x^2 -6x +m^2$ 是一个完全平方式，
∴$m^2=9$,解得$m=\pm3$. 故选 D.
∵$x^2 -6x +m^2$ 是一个完全平方式，
∴$m^2=9$,解得$m=\pm3$. 故选 D.
典例2 分解因式：
(1)$m^2 +14m +49$；
(2)$-9x^2 +12x -4$；
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$。
规律总结 一个多项式可以利用完全平方公式分解因式时，这个多项式必须同时具备两个条件：(1)可以写成三项式的形式；(2)三项中有两项是两个数(或式子)的平方，第三项是这两个数(或式子)乘积的2倍。
举一反三 分解因式：
(1)$-x^2 +2xy -y^2$；
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$；
(3)$(a+b)^2 -4(a+b -1)$。
(1)$m^2 +14m +49$；
(2)$-9x^2 +12x -4$；
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$。
规律总结 一个多项式可以利用完全平方公式分解因式时，这个多项式必须同时具备两个条件：(1)可以写成三项式的形式；(2)三项中有两项是两个数(或式子)的平方，第三项是这两个数(或式子)乘积的2倍。
举一反三 分解因式：
(1)$-x^2 +2xy -y^2$；
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$；
(3)$(a+b)^2 -4(a+b -1)$。
答案
(1) 解：$-x^2 +2xy -y^2$
$=-(x^2 -2xy +y^2)$
$=-(x-y)^2$.
(2) 解：$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2 - 2·2(x+y)·5 +5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$.
(3) 解：$(a+b)^2 -4(a+b -1)$
$=(a+b)^2 -4(a+b) +4$
$=(a+b-2)^2$.
$=-(x^2 -2xy +y^2)$
$=-(x-y)^2$.
(2) 解：$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2 - 2·2(x+y)·5 +5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$.
(3) 解：$(a+b)^2 -4(a+b -1)$
$=(a+b)^2 -4(a+b) +4$
$=(a+b-2)^2$.
