5.如图，已知△ABC的两个外角的平分线交于点D，连接AD. 求证：AD是∠BAC的平分线.

5. 证明:如图,分别过点 D 作 DE⊥AB,DF⊥BC,DG⊥AC,垂足分别为 E,F,G.
因为 BD 平分∠CBE,DE⊥BE,DF⊥BC,
所以 DE=DF.
同理 DG=DF,所以 DE=DG,
所以点 D 在∠EAG 的平分线上,
所以 AD 是∠BAC 的平分线.

6.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC=CD.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)若AB=15，AD=7，求BE的长.

6.(1) 证明:因为 AC 平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,所以 CE=CF.
在Rt△BCE 和 Rt△DCF 中,$\begin{cases} BC=DC, \\ CE=CF, \end{cases}$
所以 Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).
(2) 解:在 Rt△ACE 和 Rt△ACF 中,
$\begin{cases} AC=AC, \\ CE=CF, \end{cases}$
所以 Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).
所以 AE=AF.
由(1),知 Rt△BCE≌Rt△DCF,
所以 DF=BE.
设 DF=BE=x,则 AE=AB-BE=15-x,DF=AF-AD=15-x-7=8-x,
所以 8-x=x,解得 x=4.
所以 BE 的长为 4.

7.在$△ ABC$中,若$AD$是$∠ BAC$的平分线,点$E$和点$F$分别在$AB$和$AC$上,且$DE ⊥ AB$,垂足为$E$,$DF ⊥ AC$,垂足为$F$(如图①),则可以得到以下两个结论:①$∠ AED+∠ AFD=180°$;②$DE=DF$.那么在$△ ABC$中,仍然有条件“$AD$是$∠ BAC$的平分线,点$E$和点$F$分别在$AB$和$AC$上”.请探究以下两个问题:
(1)若$∠ AED+∠ AFD=180°$(如图②),则$DE$与$DF$是否仍相等?若仍相等,请证明;否则请举出反例.
(2)如图②,若$DE=DF$,则$∠ AED+∠ AFD=180°$是否成立?(只写出结论,不证明)

7.(1) 相等.
证明:如图,过点 D 作 DG⊥AB 于点 G,DH⊥AC 于点 H.
因为 AD 是∠BAC 的平分线,
所以 DG=DH,∠AGD+∠AHD=180°.
因为四边形的内角和是 360°,
所以∠HAG+∠GDH=180°.
因为∠AED+∠AFD=180°,
所以∠HAG+∠EDF=180°,
所以∠GDH=∠EDF,
所以∠GDH-∠GDF=∠EDF-∠GDF,
即∠HDF=∠GDE.
在△GDE 和△HDF 中,
$\begin{cases} ∠EGD=∠FHD, \\ DG=DH, \\ ∠GDE=∠HDF, \end{cases}$
所以△GDE≌△HDF(ASA).
所以 DE=DF.
(2) 成立.