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7.现有四张完全相同的不透明卡片,其正面分别写有数字-2,-1,0,2,把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.
(1)随机抽取一张卡片,求抽取的卡片上的数字为非负数的概率是.
(2)先随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的横坐标;然后放回并洗匀,再随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的纵坐标,用列表的方法求出点A在直线$y=2x+2$上的概率.
(1)随机抽取一张卡片,求抽取的卡片上的数字为非负数的概率是.
(2)先随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的横坐标;然后放回并洗匀,再随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的纵坐标,用列表的方法求出点A在直线$y=2x+2$上的概率.
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
(1) 解题时先明确概率的基础计算公式：概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数。首先确定抽取卡片总共有4种等可能的结果，再筛选出数字为非负数（即0和正数）的结果数，代入公式直接计算即可。
(2) 第二问属于放回型两次抽取试验，总共有4×4=16种等可能结果，先通过列表法完整列出所有点A的坐标，再根据“一次函数图象上的点坐标满足函数解析式”的性质，将每个横坐标代入y=2x+2求出对应纵坐标，筛选出符合条件的点的个数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 四张卡片的数字分别为-2、-1、0、2，共4种等可能的抽取结果，其中数字为非负数的有0、2，共2种结果，
∴抽取的卡片上的数字为非负数的概率$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 根据题意列表如下：
| 第一次\第二次 | -2 | -1 | 0 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| -2 | $(-2,-2)$ | $(-2,-1)$ | $(-2,0)$ | $(-2,2)$ |
| -1 | $(-1,-2)$ | $(-1,-1)$ | $(-1,0)$ | $(-1,2)$ |
| 0 | $(0,-2)$ | $(0,-1)$ | $(0,0)$ | $(0,2)$ |
| 2 | $(2,-2)$ | $(2,-1)$ | $(2,0)$ | $(2,2)$ |
由表可知，共有16种等可能的结果。
将各点代入$y=2x+2$验证：
①当$x=-2$时，$y=2×(-2)+2=-2$，故$(-2,-2)$符合要求；
②当$x=-1$时，$y=2×(-1)+2=0$，故$(-1,0)$符合要求；
③当$x=0$时，$y=2×0+2=2$，故$(0,2)$符合要求；
④当$x=2$时，$y=2×2+2=6$，无对应符合的点。
综上，符合点A在直线$y=2x+2$上的结果共有3种，
∴$P(\mathrm{点A在直线}y=2x+2\mathrm{上})=\frac{3}{16}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{16}}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率；一次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，第一问难度较低，直接套用概率公式即可求解；第二问需要注意是放回抽取，列表时要做到不重不漏列出所有等可能结果，再结合一次函数的性质筛选符合条件的情况，解题时细心计算即可避免出错。
【难度系数】
0.75
(1) 解题时先明确概率的基础计算公式：概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数。首先确定抽取卡片总共有4种等可能的结果，再筛选出数字为非负数（即0和正数）的结果数，代入公式直接计算即可。
(2) 第二问属于放回型两次抽取试验，总共有4×4=16种等可能结果，先通过列表法完整列出所有点A的坐标，再根据“一次函数图象上的点坐标满足函数解析式”的性质，将每个横坐标代入y=2x+2求出对应纵坐标，筛选出符合条件的点的个数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 四张卡片的数字分别为-2、-1、0、2，共4种等可能的抽取结果，其中数字为非负数的有0、2，共2种结果，
∴抽取的卡片上的数字为非负数的概率$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 根据题意列表如下：
| 第一次\第二次 | -2 | -1 | 0 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| -2 | $(-2,-2)$ | $(-2,-1)$ | $(-2,0)$ | $(-2,2)$ |
| -1 | $(-1,-2)$ | $(-1,-1)$ | $(-1,0)$ | $(-1,2)$ |
| 0 | $(0,-2)$ | $(0,-1)$ | $(0,0)$ | $(0,2)$ |
| 2 | $(2,-2)$ | $(2,-1)$ | $(2,0)$ | $(2,2)$ |
由表可知，共有16种等可能的结果。
将各点代入$y=2x+2$验证：
①当$x=-2$时，$y=2×(-2)+2=-2$，故$(-2,-2)$符合要求；
②当$x=-1$时，$y=2×(-1)+2=0$，故$(-1,0)$符合要求；
③当$x=0$时，$y=2×0+2=2$，故$(0,2)$符合要求；
④当$x=2$时，$y=2×2+2=6$，无对应符合的点。
综上，符合点A在直线$y=2x+2$上的结果共有3种，
∴$P(\mathrm{点A在直线}y=2x+2\mathrm{上})=\frac{3}{16}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{16}}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率；一次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，第一问难度较低，直接套用概率公式即可求解；第二问需要注意是放回抽取，列表时要做到不重不漏列出所有等可能结果，再结合一次函数的性质筛选符合条件的情况，解题时细心计算即可避免出错。
【难度系数】
0.75
1.为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区1 000名九年级男生的身高数据,统计结果如下：
根据以上统计结果,随机抽取该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于170 cm的概率是 ()
A. 0. 32
B. 0. 55
C. 0. 68
D. 0. 87
根据以上统计结果,随机抽取该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于170 cm的概率是 ()
A. 0. 32
B. 0. 55
C. 0. 68
D. 0. 87
答案
解：
样本中身高不低于170 cm的男生人数为 $550 + 130 = 680$，
对应的频率为 $\frac{680}{1000} = 0.68$，
根据用频率估计概率的原理，可得随机抽取该地区一名九年级男生，他的身高不低于170 cm的概率估计值为0.68。
故选：C。
样本中身高不低于170 cm的男生人数为 $550 + 130 = 680$，
对应的频率为 $\frac{680}{1000} = 0.68$，
根据用频率估计概率的原理，可得随机抽取该地区一名九年级男生，他的身高不低于170 cm的概率估计值为0.68。
故选：C。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“身高不低于170cm”对应表格中$170≤ x＜180$和$x≥180$两组数据。根据用频率估计概率的原理，我们只需要先计算样本中符合条件的总人数，再求出其占总样本人数的频率，该频率就可以作为对应事件概率的估计值。
【解析】
首先计算样本中身高不低于170cm的男生人数：$550 + 130 = 680$，
抽取的总样本人数为1000，因此该事件对应的频率为 $\frac{680}{1000} = 0.68$，
根据用频率估计概率的原理，随机抽取该地区一名九年级男生，他的身高不低于170cm的概率估计值为0.68。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；频率的计算
【点评】
本题属于统计概率的基础应用题，核心是理解频率与概率的关系，解题时注意准确读取表格数据，看清“不低于”的取值范围即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
要解决这个问题，首先明确“身高不低于170cm”对应表格中$170≤ x＜180$和$x≥180$两组数据。根据用频率估计概率的原理，我们只需要先计算样本中符合条件的总人数，再求出其占总样本人数的频率，该频率就可以作为对应事件概率的估计值。
【解析】
首先计算样本中身高不低于170cm的男生人数：$550 + 130 = 680$，
抽取的总样本人数为1000，因此该事件对应的频率为 $\frac{680}{1000} = 0.68$，
根据用频率估计概率的原理，随机抽取该地区一名九年级男生，他的身高不低于170cm的概率估计值为0.68。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；频率的计算
【点评】
本题属于统计概率的基础应用题，核心是理解频率与概率的关系，解题时注意准确读取表格数据，看清“不低于”的取值范围即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
2. 一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同. 小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是 ()
A.5
B.10
C.12
D.15
A.5
B.10
C.12
D.15
答案
A
解析
【分析】
解决这道题首先要明确频率和概率的关系：在大量重复试验中，频率的稳定值可以作为概率的估计值。已知摸出红球的频率稳定在0.25，说明摸出红球的概率约为0.25，再结合球的总个数，用总个数乘红球的概率就能算出红球的大致个数。
【解析】
解：
∵多次试验发现摸出红球的频率稳定在0.25左右，
∴估计摸出红球的概率约为0.25，
∵袋子中红球和黄球共20个，
∴袋子中红球的个数约为20×0.25=5（个），
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题考查利用频率估计概率的实际应用，解题的核心是掌握大量重复试验时，频率可近似看作事件发生的概率，难度较低。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确频率和概率的关系：在大量重复试验中，频率的稳定值可以作为概率的估计值。已知摸出红球的频率稳定在0.25，说明摸出红球的概率约为0.25，再结合球的总个数，用总个数乘红球的概率就能算出红球的大致个数。
【解析】
解：
∵多次试验发现摸出红球的频率稳定在0.25左右，
∴估计摸出红球的概率约为0.25，
∵袋子中红球和黄球共20个，
∴袋子中红球的个数约为20×0.25=5（个），
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题考查利用频率估计概率的实际应用，解题的核心是掌握大量重复试验时，频率可近似看作事件发生的概率，难度较低。
【难度系数】
0.9
3. 动物学家通过大量的调查,估计某种动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.5.据此,若设刚出生的这种动物共有a只,则20年后存活的有只,现年20岁的这种动物活到25岁的概率是.
答案
$0.8a$；$0.625$
解析
【分析】
首先解决第一空：已知刚出生的动物总数量和活到20岁的概率，根据“对应存活数量=总数量×对应存活概率”的关系，可直接计算20年后的存活数量。
再解决第二空：要计算现年20岁的动物活到25岁的概率，需明确计算的样本范围是已经活到20岁的动物，且活到25岁的动物必然先活到20岁，因此用活到25岁的总数量除以活到20岁的总数量，就能得到所求概率。
【解析】
1. 计算20年后存活的数量：
刚出生的动物共有$a$只，活到20岁的概率为0.8，因此20年后存活的数量为：$a×0.8=0.8a$（只）。
2. 计算现年20岁的动物活到25岁的概率：
活到25岁的动物总数量为$a×0.5=0.5a$（只），这类动物全部包含在活到20岁的$0.8a$只动物范围内。
因此所求概率为：$\frac{0.5a}{0.8a}=\frac{0.5}{0.8}=0.625$。
【答案】
$0.8a$；$0.625$
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率的实际计算
【点评】
本题结合生活场景考查概率的应用，第一空较为基础，第二空的易错点是忽略“现年20岁”的前提条件，误将0.5直接作为答案，解题时明确所求概率的样本范围、认真审题即可正确作答。
【难度系数】
0.7
首先解决第一空：已知刚出生的动物总数量和活到20岁的概率，根据“对应存活数量=总数量×对应存活概率”的关系，可直接计算20年后的存活数量。
再解决第二空：要计算现年20岁的动物活到25岁的概率，需明确计算的样本范围是已经活到20岁的动物，且活到25岁的动物必然先活到20岁，因此用活到25岁的总数量除以活到20岁的总数量，就能得到所求概率。
【解析】
1. 计算20年后存活的数量：
刚出生的动物共有$a$只，活到20岁的概率为0.8，因此20年后存活的数量为：$a×0.8=0.8a$（只）。
2. 计算现年20岁的动物活到25岁的概率：
活到25岁的动物总数量为$a×0.5=0.5a$（只），这类动物全部包含在活到20岁的$0.8a$只动物范围内。
因此所求概率为：$\frac{0.5a}{0.8a}=\frac{0.5}{0.8}=0.625$。
【答案】
$0.8a$；$0.625$
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率的实际计算
【点评】
本题结合生活场景考查概率的应用，第一空较为基础，第二空的易错点是忽略“现年20岁”的前提条件，误将0.5直接作为答案，解题时明确所求概率的样本范围、认真审题即可正确作答。
【难度系数】
0.7
