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6.某项工程若由甲工程队单独做需要40天完成，现在甲、乙两个工程队共同做20天后，由于甲工程队有其他任务，剩下工程由乙工程队再单独做了20天才完成任务.则乙工程队单独完成该工程需要多少天？
答案
6. 解:设乙工程队单独完成该工程需要x天.
依题意,得$(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})×20+\frac{20}{x}=1$. 解得x=80.
经检验,x=80是原分式方程的解,且符合题意.
答:乙工程队单独完成该工程需要80天.
依题意,得$(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})×20+\frac{20}{x}=1$. 解得x=80.
经检验,x=80是原分式方程的解,且符合题意.
答:乙工程队单独完成该工程需要80天.
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时通常把总工作量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系求解。首先设乙单独完成需要x天，则乙的工作效率为$\frac{1}{x}$，已知甲单独40天完成，所以甲的工作效率为$\frac{1}{40}$。再找等量关系：总工作量=甲乙合作20天的工作量+乙单独做20天的工作量，根据该等量关系列分式方程，求解后需检验解是否符合方程及实际意义。
【解析】
解：设乙工程队单独完成该工程需要x天。
依题意，得$(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})×20+\frac{20}{x}=1$
化简得：$\frac{1}{2}+\frac{40}{x}=1$
解得$x=80$
经检验，$x=80$是原分式方程的解，且符合题意。
答：乙工程队单独完成该工程需要80天。
【答案】
乙工程队单独完成该工程需要80天
【知识点】
分式方程的应用、工程问题、分式方程检验
【点评】
本题是工程类分式方程的常规考题，核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理各阶段的工作量，根据总工作量为1建立等量关系列方程，解完分式方程要注意双重检验，既要验证是方程的解，也要符合实际场景要求。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题时通常把总工作量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系求解。首先设乙单独完成需要x天，则乙的工作效率为$\frac{1}{x}$，已知甲单独40天完成，所以甲的工作效率为$\frac{1}{40}$。再找等量关系：总工作量=甲乙合作20天的工作量+乙单独做20天的工作量，根据该等量关系列分式方程，求解后需检验解是否符合方程及实际意义。
【解析】
解：设乙工程队单独完成该工程需要x天。
依题意，得$(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})×20+\frac{20}{x}=1$
化简得：$\frac{1}{2}+\frac{40}{x}=1$
解得$x=80$
经检验，$x=80$是原分式方程的解，且符合题意。
答：乙工程队单独完成该工程需要80天。
【答案】
乙工程队单独完成该工程需要80天
【知识点】
分式方程的应用、工程问题、分式方程检验
【点评】
本题是工程类分式方程的常规考题，核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理各阶段的工作量，根据总工作量为1建立等量关系列方程，解完分式方程要注意双重检验，既要验证是方程的解，也要符合实际场景要求。
【难度系数】
0.8
1. (2025深圳)某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（
A.$\frac{60}{x} - \frac{60}{2x} = 3$
B.$\frac{60}{2x} - \frac{60}{x} = 3$
C.$\frac{60}{x} = 2 × \frac{60}{x+3}$
D.$\frac{60}{x} = 2 × \frac{60}{x-3}$
A
）A.$\frac{60}{x} - \frac{60}{2x} = 3$
B.$\frac{60}{2x} - \frac{60}{x} = 3$
C.$\frac{60}{x} = 2 × \frac{60}{x+3}$
D.$\frac{60}{x} = 2 × \frac{60}{x-3}$
答案
1. A
解析
【分析】
本题是分式方程的实际应用问题，解题的核心是找到题目中的等量关系：原计划平均每人种植棵数 - 实际平均每人种植棵数 = 3棵。首先我们需要分别表示出原计划和实际的人均种植棵数：总种植棵数固定为60棵，原计划人数为x人，根据“人均种植棵数=总棵数÷人数”，可以先写出原计划人均种植棵数，再结合实际人数是原计划的2倍，写出实际人均种植棵数，最后代入等量关系即可得到对应方程。
【解析】
已知原计划人数为x人，则实际种植人数为2x人。
根据“人均种植棵数=总种植棵数÷总人数”可得：
原计划平均每人种植棵数为$\frac{60}{x}$棵，
实际平均每人种植棵数为$\frac{60}{2x}$棵。
由“实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵”，可列等量关系：
原计划人均种植棵数 - 实际人均种植棵数 = 3
代入得：$\frac{60}{x} - \frac{60}{2x} = 3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的实际应用 2. 平均数的计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是找准题干中的数量差关系，正确表示出两个状态下的人均种植量即可快速列出方程，考查学生对基础数量关系的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
本题是分式方程的实际应用问题，解题的核心是找到题目中的等量关系：原计划平均每人种植棵数 - 实际平均每人种植棵数 = 3棵。首先我们需要分别表示出原计划和实际的人均种植棵数：总种植棵数固定为60棵，原计划人数为x人，根据“人均种植棵数=总棵数÷人数”，可以先写出原计划人均种植棵数，再结合实际人数是原计划的2倍，写出实际人均种植棵数，最后代入等量关系即可得到对应方程。
【解析】
已知原计划人数为x人，则实际种植人数为2x人。
根据“人均种植棵数=总种植棵数÷总人数”可得：
原计划平均每人种植棵数为$\frac{60}{x}$棵，
实际平均每人种植棵数为$\frac{60}{2x}$棵。
由“实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵”，可列等量关系：
原计划人均种植棵数 - 实际人均种植棵数 = 3
代入得：$\frac{60}{x} - \frac{60}{2x} = 3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的实际应用 2. 平均数的计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是找准题干中的数量差关系，正确表示出两个状态下的人均种植量即可快速列出方程，考查学生对基础数量关系的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
2. 为建设美丽中国,各地从2025年开始通过建造小而美的“口袋公园”来提升人民群众的幸福感.为此某地绿化部门现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.求B种绿植的单价.
答案
2. 解:设 B 种绿植的单价是 x 元/株,则 A 种绿植的单价是3x 元/株.
根据题意,得$\frac{6\ 750}{3x} = \frac{3\ 000}{x} - 50$. 解得 x = 15.
经检验,x = 15 是原分式方程的解,且符合题意.
答:B 种绿植的单价是 15 元/株.
根据题意,得$\frac{6\ 750}{3x} = \frac{3\ 000}{x} - 50$. 解得 x = 15.
经检验,x = 15 是原分式方程的解,且符合题意.
答:B 种绿植的单价是 15 元/株.
解析
【分析】
本题是分式方程实际应用题，解题思路如下：首先明确所求为B种绿植的单价，先提取题干中的两个等量关系：①A种绿植单价=3×B种绿植单价；②6750元购买A种绿植的数量=3000元购买B种绿植的数量-50株。我们设B种绿植单价为x元/株，即可用x表示出A种绿植的单价，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出两种绿植的购买数量，代入第二个等量关系列出分式方程，求解后需检验解是否满足分母不为0，且符合实际意义。
【解析】
解：设B种绿植的单价是x元/株，则A种绿植的单价是3x元/株。
根据题意列方程：
$\frac{6750}{3x} = \frac{3000}{x} - 50$
两边同乘3x去分母得：
$6750 = 9000 - 150x$
移项计算得：
$150x = 2250$
解得：$x = 15$
检验：当$x=15$时，$3x=45≠0$，因此$x=15$是原分式方程的解，且符合绿植单价为正数的实际意义。
答：B种绿植的单价是15元/株。
【答案】
B种绿植的单价是15元/株。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 列方程解应用题
3. 分式方程验根
【点评】
本题是结合生活情境的基础应用题，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，利用“总价=单价×数量”的公式列方程，需注意分式方程求解后必须检验解的合理性，掌握这类题型能有效提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程实际应用题，解题思路如下：首先明确所求为B种绿植的单价，先提取题干中的两个等量关系：①A种绿植单价=3×B种绿植单价；②6750元购买A种绿植的数量=3000元购买B种绿植的数量-50株。我们设B种绿植单价为x元/株，即可用x表示出A种绿植的单价，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出两种绿植的购买数量，代入第二个等量关系列出分式方程，求解后需检验解是否满足分母不为0，且符合实际意义。
【解析】
解：设B种绿植的单价是x元/株，则A种绿植的单价是3x元/株。
根据题意列方程：
$\frac{6750}{3x} = \frac{3000}{x} - 50$
两边同乘3x去分母得：
$6750 = 9000 - 150x$
移项计算得：
$150x = 2250$
解得：$x = 15$
检验：当$x=15$时，$3x=45≠0$，因此$x=15$是原分式方程的解，且符合绿植单价为正数的实际意义。
答：B种绿植的单价是15元/株。
【答案】
B种绿植的单价是15元/株。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 列方程解应用题
3. 分式方程验根
【点评】
本题是结合生活情境的基础应用题，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，利用“总价=单价×数量”的公式列方程，需注意分式方程求解后必须检验解的合理性，掌握这类题型能有效提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书. 施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元. 工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案:方案一:甲队单独完成这项工程刚好如期完成;方案二:乙队单独完成这项工程比规定工期多用5天;方案三:若甲、乙两队合作4天后,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
(1)规定的工期是多少天?
(2)在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?
(1)规定的工期是多少天?
(2)在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?
答案
3. 解:(1)设甲单独完成这一工程需 x 天,则乙单独完成这一工程需(x + 5)天.
依题意,得$\frac{4}{x} + \frac{4}{x + 5} + \frac{x - 4}{x + 5} = 1$. 解得 x = 20.
经检验,x = 20 是原分式方程的解,且符合题意.
答:规定的工期是 20 天.
(2)方案三. 理由如下:根据(1),知甲单独完成这一工程需 20 天,乙单独完成这项工程需 25 天. 方案一需工程款为 1.5 × 20 = 30(万元),方案二超过了规定时间,方案三需工程款为 1.5 × 4 + 1.1 × 4 + 1.1 × (20 - 4) = 28(万元).
∵ 30 ＞ 28,
∴ 方案三最节省工程款.
依题意,得$\frac{4}{x} + \frac{4}{x + 5} + \frac{x - 4}{x + 5} = 1$. 解得 x = 20.
经检验,x = 20 是原分式方程的解,且符合题意.
答:规定的工期是 20 天.
(2)方案三. 理由如下:根据(1),知甲单独完成这一工程需 20 天,乙单独完成这项工程需 25 天. 方案一需工程款为 1.5 × 20 = 30(万元),方案二超过了规定时间,方案三需工程款为 1.5 × 4 + 1.1 × 4 + 1.1 × (20 - 4) = 28(万元).
∵ 30 ＞ 28,
∴ 方案三最节省工程款.
解析
【分析】
（1）这是工程类分式方程应用题，通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的时间。首先设规定工期为x天，那么甲队单独完成需x天，效率为$\frac{1}{x}$；乙队单独完成需(x+5)天，效率为$\frac{1}{x+5}$。再找等量关系：方案三中甲队共工作4天，乙队全程工作刚好x天完成总工程，即甲的总工作量+乙的总工作量=1，据此列分式方程求解即可，注意分式方程要检验根的合理性。
（2）选最节省工程款的方案时，首先要满足“不耽误工期”的前提，先排除超过工期的方案，再分别计算剩余符合要求的方案所需的工程款，比较大小后选费用最低的即可。
【解析】
(1) 设规定的工期是x天，则甲队单独完成这项工程需x天，乙队单独完成这项工程需(x+5)天。
依题意列方程：
$\frac{4}{x} + \frac{4}{x+5} + \frac{x - 4}{x+5} = 1$
化简得：$\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1$
去分母得：$4(x+5) + x^2 = x(x+5)$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+5)=500≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 先筛选符合“不耽误工期”要求的方案：
方案一工期20天，符合要求；方案二工期为$20+5=25$天，超过规定工期，不符合要求，直接排除；方案三工期20天，符合要求。
计算两种符合要求的方案的工程款：
方案一所需工程款：$1.5×20 = 30$（万元）
方案三所需工程款：$1.5×4 + 1.1×4 + 1.1×(20 - 4) = 28$（万元）
因为$30＞28$，所以方案三最节省工程款。
【答案】
(1) 规定的工期是20天；
(2) 在不耽误工期的前提下，方案三最节省工程款。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题计算，最优方案选择
【点评】
本题结合实际工程招标场景出题，既考查了分式方程解应用题的完整步骤（尤其注意分式方程必须双检验，既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义），又考查了方案优化的思想，解题时要注意题干的限制条件，避免忽略“不耽误工期”的要求误算不符合要求的方案。
【难度系数】
0.6
（1）这是工程类分式方程应用题，通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的时间。首先设规定工期为x天，那么甲队单独完成需x天，效率为$\frac{1}{x}$；乙队单独完成需(x+5)天，效率为$\frac{1}{x+5}$。再找等量关系：方案三中甲队共工作4天，乙队全程工作刚好x天完成总工程，即甲的总工作量+乙的总工作量=1，据此列分式方程求解即可，注意分式方程要检验根的合理性。
（2）选最节省工程款的方案时，首先要满足“不耽误工期”的前提，先排除超过工期的方案，再分别计算剩余符合要求的方案所需的工程款，比较大小后选费用最低的即可。
【解析】
(1) 设规定的工期是x天，则甲队单独完成这项工程需x天，乙队单独完成这项工程需(x+5)天。
依题意列方程：
$\frac{4}{x} + \frac{4}{x+5} + \frac{x - 4}{x+5} = 1$
化简得：$\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1$
去分母得：$4(x+5) + x^2 = x(x+5)$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+5)=500≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 先筛选符合“不耽误工期”要求的方案：
方案一工期20天，符合要求；方案二工期为$20+5=25$天，超过规定工期，不符合要求，直接排除；方案三工期20天，符合要求。
计算两种符合要求的方案的工程款：
方案一所需工程款：$1.5×20 = 30$（万元）
方案三所需工程款：$1.5×4 + 1.1×4 + 1.1×(20 - 4) = 28$（万元）
因为$30＞28$，所以方案三最节省工程款。
【答案】
(1) 规定的工期是20天；
(2) 在不耽误工期的前提下，方案三最节省工程款。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题计算，最优方案选择
【点评】
本题结合实际工程招标场景出题，既考查了分式方程解应用题的完整步骤（尤其注意分式方程必须双检验，既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义），又考查了方案优化的思想，解题时要注意题干的限制条件，避免忽略“不耽误工期”的要求误算不符合要求的方案。
【难度系数】
0.6
