7.【例4】已知$a - b = 10$，$ab = 20$，求$a^2 + b^2$的值。

解:
∵ $a - b = 10$ ,$ab = 20$,
∴ $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab = 10^2 + 2 × 20 = 140$.

【分析】
我们已知$a-b$和$ab$的值，要求$a^2+b^2$，可联想完全平方公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，对该公式变形就能得到$a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$，刚好可以直接代入已知的两个数值计算，无需单独求出$a$、$b$的具体值，用整体代入的方法更简便。
【解析】
解：
∵ $a - b = 10$，$ab = 20$，
∴ 由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$
代入数值计算：
$= 10^2 + 2 × 20$
$= 100 + 40$
$= 140$
【答案】
140
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的变形应用，解题时利用公式变形将所求式子转化为含已知条件的形式，整体代入计算即可，熟练掌握完全平方公式的常见变形，能有效提升整式运算的解题效率。
【难度系数】
0.8

8.已知$x + y = 5$，$xy = 2$，求$x^2 + y^2$的值.

解:
∵ $x^2 + y^2 = x^2 + y^2 + 2xy - 2xy = (x + y)^2 - 2xy$,
∴ $x^2 + y^2 = 5^2 - 2 × 2 = 21$.

【分析】
要求$x^2+y^2$的值，已知$x+y$与$xy$的取值，可联想到完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。该公式中恰好包含已知的$x+y$、$xy$和待求的$x^2+y^2$，因此可对公式进行变形，将$x^2+y^2$用含$x+y$、$xy$的式子表示，再代入已知数值计算即可。
【解析】
根据完全平方公式变形可得：
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 + 2xy - 2xy = (x + y)^2 - 2xy$
将$x + y = 5$，$xy = 2$代入上式：
$x^2 + y^2 = 5^2 - 2 × 2 = 25 - 4 = 21$
【答案】
21
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题主要考察完全平方公式的变形应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，采用整体代入的思想计算，无需单独求出x、y的具体值，属于整式运算的基础题型。
【难度系数】
0.8

1. 计算:
(1)$(x+2)^2 =$ ;
(2)$(2a-3b)^2 =$ ;
(3)$(mn-3)^2 =$ .

1. $x^2 + 4x + 4$ 2. $4a^2 - 12ab + 9b^2$ 3. $m^2n^2 - 6mn + 9$

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路为：首先牢记完全平方公式的形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。解题时先确定每个式子中对应公式里的“$a$”和“$b$”，再代入公式展开计算，计算时注意不要漏算系数的平方，也不要写错乘积项的符号。
【解析】
(1) 对于$(x+2)^2$，公式中$a=x$，$b=2$，代入和的完全平方公式：
$(x+2)^2=x^2+2· x· 2+2^2=x^2+4x+4$
(2) 对于$(2a-3b)^2$，公式中$a=2a$，$b=3b$，代入差的完全平方公式：
$(2a-3b)^2=(2a)^2-2· 2a· 3b+(3b)^2=4a^2-12ab+9b^2$
(3) 对于$(mn-3)^2$，公式中$a=mn$，$b=3$，代入差的完全平方公式：
$(mn-3)^2=(mn)^2-2· mn· 3+3^2=m^2n^2-6mn+9$
【答案】
(1)$x^2 + 4x + 4$；(2)$4a^2 - 12ab + 9b^2$；(3)$m^2n^2 - 6mn + 9$
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题目，解题核心是准确匹配公式中的对应项，计算时要注意系数的乘方运算以及乘积项的符号，避免出现漏项、系数算错、符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.9

2. 计算：
(1) $(-m - 2n)^2$；
(2) $(2x + \frac{3}{4}y)^2$。

1. 解:原式 = $(-m)^2 - 2 · (-m) · 2n + (2n)^2$
= $m^2 + 4mn + 4n^2$.
2. 解:原式 = $(2x)^2 + 2 · (2x) · (\frac{3}{4}y) + (\frac{3}{4}y)^2$
= $4x^2 + 3xy + \frac{9}{16}y^2$.

【分析】
这两道题是完全平方公式的基础应用题型，解题思路如下：首先回忆完全平方公式：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，第一步先确定每个式子里对应公式中的“a”和“b”，第二步严格按照公式结构代入展开，注意不要漏算中间的2倍乘积项，同时要处理好系数的乘方运算和符号，第三步化简各项得到最终结果。第(1)题可将$-m$看作公式中的$a$、$-2n$看作公式中的$b$，也可利用偶次幂的性质将原式转化为$(m+2n)^2$再计算；第(2)题直接将$2x$看作$a$、$\frac{3}{4}y$看作$b$代入和的完全平方公式即可。
【解析】
(1) 计算$(-m - 2n)^2$：
原式$=(-m)^2 - 2 · (-m) · 2n + (2n)^2$
$=m^2 + 4mn + 4n^2$
(2) 计算$(2x + \frac{3}{4}y)^2$：
原式$=(2x)^2 + 2 · (2x) · (\frac{3}{4}y) + (\frac{3}{4}y)^2$
$=4x^2 + 3xy + \frac{9}{16}y^2$
【答案】
(1) $m^2 + 4mn + 4n^2$
(2) $4x^2 + 3xy + \frac{9}{16}y^2$
【知识点】
完全平方公式、整式乘方运算、整式乘法
【点评】
本题考查完全平方公式的基础应用，解题核心是准确匹配公式中的$a$和$b$，计算时需注意不要遗漏中间项的2倍系数，同时要正确计算系数的乘方，避免出现符号错误、漏项等常见问题。
【难度系数】
0.8

3. (2025西宁)化简:$(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b).$

解:原式 = $(4a^2 + 4ab + b^2) - (4a^2 - b^2)$
= $4a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + b^2 = 4ab + 2b^2$.

【分析】
首先观察待化简式子的结构，式子由两部分的差构成：第一部分$(2a+b)^2$符合完全平方和公式的形式，可直接用完全平方公式展开；第二部分$(2a+b)(2a-b)$是两个数的和乘两个数的差的形式，符合平方差公式的特征，可用平方差公式化简。将两部分展开后代入原式，去括号时注意括号前是负号，括号内每一项都要变号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：原式$=(4a^2 + 4ab + b^2) - (4a^2 - b^2)$
$= 4a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + b^2$
$= 4ab + 2b^2$
【答案】
$4ab + 2b^2$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题，主要考查乘法公式的应用，解题的关键是准确识别式子对应的乘法公式，同时注意去括号的符号变化，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 运用完全平方公式计算：$60.5^2$

解:原式 = $(60 + 0.5)^2 = 60^2 + 2 × 60 × 0.5 + 0.5^2$
= $3\ 600 + 60 + 0.25 = 3\ 660.25$.

【分析】
计算$60.5^2$时直接列竖式计算较为繁琐，我们可以把60.5拆分为整十数60和小数0.5的和，再套用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$简化计算，只需要分别算出公式中三项的数值再相加即可，降低计算难度、减少出错概率。
【解析】
解：原式$=(60 + 0.5)^2$
根据完全平方和公式展开得：
$=60^2 + 2×60×0.5 + 0.5^2$
分别计算每一项的结果：
$=3600 + 60 + 0.25$
合并计算得：
$=3660.25$
【答案】
$3660.25$
【知识点】
1.完全平方公式
2.有理数简便运算
【点评】
本题是完全平方公式用于简便计算的基础题型，解题核心是将底数合理拆分为两个方便计算的数的和或差，再代入公式计算，能规避直接计算大数乘法的失误。
【难度系数】
0.9

5. (人教八上 $P_{117}$ 习题 $T_6$ 改编)
如图，一块直径为 $a + b$ 的圆形卡纸，若从中挖去直径分别为 $a,b$ 的两个圆，则剩下的卡纸的面积为

()

A.$\dfrac{π(a^2 + b^2)}{2}$
B.$\dfrac{π ab}{2}$
C.$\dfrac{π(a^2 + b^2)}{4}$
D.$\dfrac{π ab}{4}$

5. B

【分析】
要求剩余卡纸的面积，本质是求阴影部分的面积，解题思路为：剩余面积=大圆的面积减去两个挖去的小圆的面积。首先根据各圆的直径求出对应的半径，再结合圆的面积公式分别表示出三个圆的面积，最后作差，利用完全平方公式化简计算即可得到结果。
【解析】
解：剩余卡纸的面积 = 直径为$(a+b)$的大圆面积 - 直径为$a$的小圆面积 - 直径为$b$的小圆面积。
根据圆的面积公式$S=π r^2$（$r$为圆的半径）：
大圆的半径为$\frac{a+b}{2}$，面积为$π · (\frac{a+b}{2})^2$；
直径为$a$的小圆半径为$\frac{a}{2}$，面积为$π · (\frac{a}{2})^2$；
直径为$b$的小圆半径为$\frac{b}{2}$，面积为$π · (\frac{b}{2})^2$。
则剩余面积：
$\begin{aligned}S&=π · (\frac{a+b}{2})^2 - π · (\frac{a}{2})^2 - π · (\frac{b}{2})^2\\&=\frac{π}{4}[(a+b)^2 - a^2 - b^2]\\&=\frac{π}{4}(a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2)\\&=\frac{π}{4} × 2ab\\&=\frac{π ab}{2}\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.圆的面积计算 2.完全平方公式 3.整式化简运算
【点评】
本题属于基础的几何与代数结合题型，解题核心是明确面积的和差关系，熟练掌握圆的面积公式和乘法公式就能顺利求解，是巩固整式乘法公式应用的典型习题。
【难度系数】
0.7

6.已知$x^2 + 2x - 2 = 0$, 则代数式 $x(x + 2) + (x + 1)^2$ 的值为.

6. 5

【分析】
本题属于代数式求值类题目，解题思路如下：首先不需要求解x的具体值，优先采用整体代入法简化计算。第一步先根据单项式乘多项式法则、完全平方公式将待求代数式展开，再合并同类项进行化简；第二步从已知方程中得出$x^2+2x$的整体值，将其代入化简后的代数式即可算出结果。
【解析】
先化简代数式$x(x + 2) + (x + 1)^2$：
1. 展开各项：
由单项式乘多项式法则得：$x(x+2)=x^2+2x$
由完全平方公式得：$(x+1)^2=x^2+2x+1$
2. 合并同类项：
原式$=x^2+2x + x^2+2x+1=2x^2+4x+1$
提取公因式整理得：原式$=2(x^2+2x)+1$
3. 代入已知条件计算：
已知$x^2 + 2x - 2 = 0$，移项可得$x^2+2x=2$
将$x^2+2x=2$代入上式得：$2×2 +1=5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，整式化简求值，整体代入法
【点评】
本题考查整式运算与代数式求值的结合，核心是掌握整体代入的思想，通过化简代数式将其转化为含已知条件中整体项的形式，无需解出未知数即可快速计算，是整式运算模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.8

7. (人教八上$\mathrm{P}_{121}$复习题$\mathrm{T}_{8}$改编)已知$x+y=5$，
$(x-y)^2=1$.
(1)求$xy$的值；
(2)求$(1-x)(1-y)$的值.

1. 解:
∵ $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 25$①,
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 1$②,
∴ ① - ②,得 $4xy = 24$.
∴ $xy = 6$.
2. 由(1)知,$xy = 6$.
∴ $(1 - x)(1 - y) = 1 - y - x + xy = 1 - (x + y) + xy = 1 - 5 + 6 = 2$.

【分析】
(1)要求xy的值，已知x+y和$(x-y)^2$的结果，可先根据完全平方公式分别展开$(x+y)^2$和$(x-y)^2$，两个展开式中都含有$x^2+y^2$项，将两式作差即可消去$x^2+y^2$，得到仅含xy的等式，进而求出xy的值。(2)要求$(1-x)(1-y)$的值，先利用多项式乘多项式的法则将式子展开，整理成含有x+y和xy的形式，再整体代入已知条件和(1)中所求的xy的值计算即可。
【解析】
(1) 已知$x+y=5$，将等式两边同时平方可得：
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 5^2 = 25$ ①
又已知$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 1$ ②
用①式减去②式，得：
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 25 - 1$
化简得$4xy = 24$，解得$xy = 6$。
(2) 先展开$(1-x)(1-y)$：
$(1 - x)(1 - y) = 1 - y - x + xy = 1 - (x + y) + xy$
将$x+y=5$，$xy=6$代入上式，得：
原式$= 1 - 5 + 6 = 2$。
【答案】
(1) $xy=6$；(2) $2$
【知识点】
1.完全平方公式 2.多项式乘多项式 3.代数式求值
【点评】
本题考查整式乘法的相关计算，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用整体代入的思想简化计算，是整式运算部分的典型基础题。
【难度系数】
0.8