登录
【例3】已知关于x的分式方程$\frac{2x - m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$的解是正数，求m的取值范围。
答案
解：
原方程可变形为$\frac{2x - m}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1$
方程两边同乘最简公分母$x-1$，得：
$2x - m + 3 = x - 1$
移项、合并同类项，解得：
$x = m - 4$
∵ 分式方程的解是正数，且分母不为0，
∴ $x＞0$且$x-1≠0$，即$\begin{cases} m - 4 ＞ 0 \\ m - 4 ≠ 1 \end{cases}$
解得$m＞4$且$m≠5$
∴ $m$的取值范围是$m＞4$且$m≠5$。
原方程可变形为$\frac{2x - m}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1$
方程两边同乘最简公分母$x-1$，得：
$2x - m + 3 = x - 1$
移项、合并同类项，解得：
$x = m - 4$
∵ 分式方程的解是正数，且分母不为0，
∴ $x＞0$且$x-1≠0$，即$\begin{cases} m - 4 ＞ 0 \\ m - 4 ≠ 1 \end{cases}$
解得$m＞4$且$m≠5$
∴ $m$的取值范围是$m＞4$且$m≠5$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解，再结合两个限制条件求解m的范围：一是方程的解为正数，二是分式方程的分母不能为0（即解不能是增根），注意不要遗漏分母不为0的条件，否则会得到错误的取值范围。
【解析】
解：原方程可变形为$\frac{2x - m}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1$
方程两边同乘最简公分母$x-1$，得：
$2x - m + 3 = x - 1$
移项、合并同类项，解得：
$x = m - 4$
∵ 分式方程的解是正数，且分母不为0，
∴ $x＞0$且$x-1≠0$，即$\begin{cases} m - 4 ＞ 0 \\ m - 4 ≠ 1 \end{cases}$
解得$m＞4$且$m≠5$
∴ $m$的取值范围是$m＞4$且$m≠5$。
【答案】
$m＞4$且$m≠5$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程的典型应用题型，重点考查对分式方程解的限制条件的掌握，易错点是忽略分母不能为0的要求，导致取值范围包含增根，解题时要注意对解的双重检验。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解，再结合两个限制条件求解m的范围：一是方程的解为正数，二是分式方程的分母不能为0（即解不能是增根），注意不要遗漏分母不为0的条件，否则会得到错误的取值范围。
【解析】
解：原方程可变形为$\frac{2x - m}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1$
方程两边同乘最简公分母$x-1$，得：
$2x - m + 3 = x - 1$
移项、合并同类项，解得：
$x = m - 4$
∵ 分式方程的解是正数，且分母不为0，
∴ $x＞0$且$x-1≠0$，即$\begin{cases} m - 4 ＞ 0 \\ m - 4 ≠ 1 \end{cases}$
解得$m＞4$且$m≠5$
∴ $m$的取值范围是$m＞4$且$m≠5$。
【答案】
$m＞4$且$m≠5$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程的典型应用题型，重点考查对分式方程解的限制条件的掌握，易错点是忽略分母不能为0的要求，导致取值范围包含增根，解题时要注意对解的双重检验。
【难度系数】
0.6
【变式3】若关于$x$的分式方程$\frac{3x}{x-2} -1 = \frac{m+3}{x-2}$无解，求$m$的值.
答案
解：方程两边同乘$(x-2)$，去分母得：
$3x - (x - 2) = m + 3$
化简得：
$2x + 2 = m + 3$
整理得：
$x = \dfrac{m+1}{2}$
∵原分式方程无解，
∴$x=2$是分式方程的增根，即整式方程的解为$x=2$，
把$x=2$代入$x = \dfrac{m+1}{2}$，得：
$2 = \dfrac{m+1}{2}$
解得$m=3$。
综上，$m$的值为$\boldsymbol{3}$。
$3x - (x - 2) = m + 3$
化简得：
$2x + 2 = m + 3$
整理得：
$x = \dfrac{m+1}{2}$
∵原分式方程无解，
∴$x=2$是分式方程的增根，即整式方程的解为$x=2$，
把$x=2$代入$x = \dfrac{m+1}{2}$，得：
$2 = \dfrac{m+1}{2}$
解得$m=3$。
综上，$m$的值为$\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确八年级阶段分式方程无解通常是因为去分母后得到的整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题可按三步思考：第一步，给分式方程去分母，转化为整式方程；第二步，确定原分式方程的增根（令分母$x-2=0$，得增根$x=2$）；第三步，将增根代入整式方程，即可求出参数$m$的值。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$3x - (x - 2) = m + 3$
对左侧合并同类项化简：
$2x + 2 = m + 3$
移项整理得整式方程的解为：
$x = \dfrac{m+1}{2}$
∵原分式方程无解，说明去分母后得到的整式方程的解是原分式的增根
∴增根满足$x-2=0$，即$x=2$
把$x=2$代入$x = \dfrac{m+1}{2}$，得：
$2 = \dfrac{m+1}{2}$
解得$m=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 解分式方程
3. 分式方程无解判定
【点评】
本题是分式方程无解类问题的基础典型题，解题核心是理解分式方程增根的含义，注意去分母时不要漏乘不含分母的项，掌握将增根代入整式方程求参数的方法。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确八年级阶段分式方程无解通常是因为去分母后得到的整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题可按三步思考：第一步，给分式方程去分母，转化为整式方程；第二步，确定原分式方程的增根（令分母$x-2=0$，得增根$x=2$）；第三步，将增根代入整式方程，即可求出参数$m$的值。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$3x - (x - 2) = m + 3$
对左侧合并同类项化简：
$2x + 2 = m + 3$
移项整理得整式方程的解为：
$x = \dfrac{m+1}{2}$
∵原分式方程无解，说明去分母后得到的整式方程的解是原分式的增根
∴增根满足$x-2=0$，即$x=2$
把$x=2$代入$x = \dfrac{m+1}{2}$，得：
$2 = \dfrac{m+1}{2}$
解得$m=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 解分式方程
3. 分式方程无解判定
【点评】
本题是分式方程无解类问题的基础典型题，解题核心是理解分式方程增根的含义，注意去分母时不要漏乘不含分母的项，掌握将增根代入整式方程求参数的方法。
【难度系数】
0.7
1. 下列方程中,是分式方程的是().
A.$\dfrac{3x+5}{4x}=2$
B.$x^2 - 2x = 1$
C.$\dfrac{x+1}{2}=1$
D.$x - 2 = 3y$
A.$\dfrac{3x+5}{4x}=2$
B.$x^2 - 2x = 1$
C.$\dfrac{x+1}{2}=1$
D.$x - 2 = 3y$
答案
A
解析
【分析】
解题前先明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题思路为逐一核对每个选项的方程分母是否含有未知数，区分整式方程和分式方程即可得到答案。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，分母不含未知数的方程为整式方程，我们对各选项逐一判断：
A选项：方程$\dfrac{3x+5}{4x}=2$的分母是$4x$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义；
B选项：方程$x^2 - 2x = 1$没有分母，不存在含未知数的分母，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程$\dfrac{x+1}{2}=1$的分母是常数2，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
D选项：方程$x - 2 = 3y$没有分母，不存在含未知数的分母，属于整式方程，不符合要求。
综上只有A选项是分式方程。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的判定；整式方程的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是抓住分式方程的核心特征：分母中含有未知数，避免把仅分母含常数的整式方程错判为分式方程。
【难度系数】
0.9
解题前先明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题思路为逐一核对每个选项的方程分母是否含有未知数，区分整式方程和分式方程即可得到答案。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，分母不含未知数的方程为整式方程，我们对各选项逐一判断：
A选项：方程$\dfrac{3x+5}{4x}=2$的分母是$4x$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义；
B选项：方程$x^2 - 2x = 1$没有分母，不存在含未知数的分母，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程$\dfrac{x+1}{2}=1$的分母是常数2，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
D选项：方程$x - 2 = 3y$没有分母，不存在含未知数的分母，属于整式方程，不符合要求。
综上只有A选项是分式方程。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的判定；整式方程的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是抓住分式方程的核心特征：分母中含有未知数，避免把仅分母含常数的整式方程错判为分式方程。
【难度系数】
0.9
2. 解分式方程$\frac{x}{x-2} - \frac{1}{x} = 1$时，经过去分母、去括号后得到的结果是（）.
A.$x^2 - x - 2 = 1$
B.$x^2 - x + 2 = x^2 - 2x$
C.$x^2 - x + 2 = 1$
D.$x^2 - x + 2 = x^2 - 2$
A.$x^2 - x - 2 = 1$
B.$x^2 - x + 2 = x^2 - 2x$
C.$x^2 - x + 2 = 1$
D.$x^2 - x + 2 = x^2 - 2$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆分式方程去分母的步骤：第一步先确定方程中所有分母的最简公分母，本题两个分母分别是$x-2$和$x$，因此最简公分母为$x(x-2)$；第二步根据等式的性质，给方程左右两边的每一项都乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项（即右边的常数1也要乘）；第三步对得到的整式方程去括号，去括号时如果括号前是负号，括号内的每一项都要变号，最后整理即可得到结果。
【解析】
首先确定分式方程的最简公分母为$x(x-2)$，将方程两边同时乘$x(x-2)$，得：
$x· x - 1·(x-2) = 1· x(x-2)$
接下来对左右两边去括号：
左边去括号：$x^2 - x + 2$
右边去括号：$x^2 - 2x$
因此去分母、去括号后得到的结果为：$x^2 - x + 2 = x^2 - 2x$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程去分母，去括号法则，等式的性质
【点评】
本题是分式方程求解的基础运算题，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是去括号时括号前为负号时忘记改变括号内项的符号，运算时需格外注意。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆分式方程去分母的步骤：第一步先确定方程中所有分母的最简公分母，本题两个分母分别是$x-2$和$x$，因此最简公分母为$x(x-2)$；第二步根据等式的性质，给方程左右两边的每一项都乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项（即右边的常数1也要乘）；第三步对得到的整式方程去括号，去括号时如果括号前是负号，括号内的每一项都要变号，最后整理即可得到结果。
【解析】
首先确定分式方程的最简公分母为$x(x-2)$，将方程两边同时乘$x(x-2)$，得：
$x· x - 1·(x-2) = 1· x(x-2)$
接下来对左右两边去括号：
左边去括号：$x^2 - x + 2$
右边去括号：$x^2 - 2x$
因此去分母、去括号后得到的结果为：$x^2 - x + 2 = x^2 - 2x$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程去分母，去括号法则，等式的性质
【点评】
本题是分式方程求解的基础运算题，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是去括号时括号前为负号时忘记改变括号内项的符号，运算时需格外注意。
【难度系数】
0.8
3. 分式方程$\frac{2}{x-6}=1$的解是().
A.$x=6$
B.$x=-8$
C.$x=8$
D.$x=-6$
A.$x=6$
B.$x=-8$
C.$x=8$
D.$x=-6$
答案
C
解析
【分析】
本题考查分式方程的求解，解题思路遵循分式方程的常规解题步骤：第一步先确定方程的最简公分母，通过两边同乘最简公分母将分式方程转化为我们熟悉的整式方程；第二步解转化后的整式方程得到未知数的候选解；第三步必须将候选解代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，才是原分式方程的解，若为0则是增根要舍去。
【解析】
解：原方程为$\frac{2}{x-6}=1$，最简公分母为$x-6$，且分母不能为0，即$x≠6$。
方程两边同时乘以$x-6$，去分母得：
$2 = x - 6$
移项计算得：$x = 2 + 6 = 8$
检验：将$x=8$代入$x-6$，得$8-6=2≠0$，因此$x=8$是原分式方程的解。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程解法；一元一次方程求解；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础考察题型，核心是掌握分式方程“去分母-解整式方程-验根”的三步解题流程，尤其要注意验根是分式方程求解必不可少的步骤，避免错选增根选项。
【难度系数】
0.85
本题考查分式方程的求解，解题思路遵循分式方程的常规解题步骤：第一步先确定方程的最简公分母，通过两边同乘最简公分母将分式方程转化为我们熟悉的整式方程；第二步解转化后的整式方程得到未知数的候选解；第三步必须将候选解代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，才是原分式方程的解，若为0则是增根要舍去。
【解析】
解：原方程为$\frac{2}{x-6}=1$，最简公分母为$x-6$，且分母不能为0，即$x≠6$。
方程两边同时乘以$x-6$，去分母得：
$2 = x - 6$
移项计算得：$x = 2 + 6 = 8$
检验：将$x=8$代入$x-6$，得$8-6=2≠0$，因此$x=8$是原分式方程的解。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程解法；一元一次方程求解；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础考察题型，核心是掌握分式方程“去分母-解整式方程-验根”的三步解题流程，尤其要注意验根是分式方程求解必不可少的步骤，避免错选增根选项。
【难度系数】
0.85
4. 方程$\frac{5}{y} - \frac{3}{y-2} = 0$的解为.
答案
解：方程两边同乘最简公分母$y(y-2)$，得
$5(y-2)-3y=0$
去括号，得
$5y -10 -3y = 0$
合并同类项，得
$2y = 10$
系数化为1，得
$y=5$
检验：当$y=5$时，$y(y-2)=5×3=15≠0$，原分式方程的解为$y=5$。
$5(y-2)-3y=0$
去括号，得
$5y -10 -3y = 0$
合并同类项，得
$2y = 10$
系数化为1，得
$y=5$
检验：当$y=5$时，$y(y-2)=5×3=15≠0$，原分式方程的解为$y=5$。
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路如下：①首先观察方程的分母，确定最简公分母为$y(y-2)$，解分式方程的核心是通过去分母将其转化为我们熟悉的整式方程求解；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到一元一次方程；③按照一元一次方程的解法步骤（去括号、合并同类项、系数化为1）求出未知数的值；④因为去分母的过程中可能会产生使原方程分母为0的增根，所以最后必须将求得的未知数的值代入最简公分母检验，确认是否为原方程的解。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$y(y-2)$，得
$5(y-2)-3y=0$
去括号，得
$5y -10 -3y = 0$
合并同类项，得
$2y = 10$
系数化为1，得
$y=5$
检验：当$y=5$时，$y(y-2)=5×3=15≠0$，因此$y=5$是原分式方程的解。
【答案】
$y=5$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程的求解；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查解分式方程的标准步骤，需特别注意解分式方程时检验是必不可少的环节，避免因忽略增根的情况出现解题错误。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程求解的题目，解题思路如下：①首先观察方程的分母，确定最简公分母为$y(y-2)$，解分式方程的核心是通过去分母将其转化为我们熟悉的整式方程求解；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到一元一次方程；③按照一元一次方程的解法步骤（去括号、合并同类项、系数化为1）求出未知数的值；④因为去分母的过程中可能会产生使原方程分母为0的增根，所以最后必须将求得的未知数的值代入最简公分母检验，确认是否为原方程的解。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$y(y-2)$，得
$5(y-2)-3y=0$
去括号，得
$5y -10 -3y = 0$
合并同类项，得
$2y = 10$
系数化为1，得
$y=5$
检验：当$y=5$时，$y(y-2)=5×3=15≠0$，因此$y=5$是原分式方程的解。
【答案】
$y=5$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程的求解；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查解分式方程的标准步骤，需特别注意解分式方程时检验是必不可少的环节，避免因忽略增根的情况出现解题错误。
【难度系数】
0.8
5. 解分式方程$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2 -1}=1.$
答案
解：方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2 - 4 = x^2 - 1$
展开，得$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
移项、合并同类项，得$2x = 2$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根。
所以原分式方程无解。
$(x+1)^2 - 4 = x^2 - 1$
展开，得$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
移项、合并同类项，得$2x = 2$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根。
所以原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，步骤如下：首先观察方程的分母，对可因式分解的分母先因式分解，确定最简公分母；再给方程两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；接着求解整式方程得到未知数的值；最后必须检验所得的根是否使原方程的分母为0，若使分母为0则为增根，不是原方程的解，若分母不为0则是原方程的解。
【解析】
解：首先对分母因式分解可得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此方程的最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$(x+1)^2 - 4 = x^2 - 1$
展开完全平方公式，得：
$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
移项、合并同类项，得：
$2x = 2$
系数化为1，解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，代入最简公分母$(x+1)(x-1)=(1+1)×(1-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，不是原方程的解。
所以原分式方程无解。
【答案】
原分式方程无解
【知识点】
1.分式方程的解法
2.增根的检验
3.整式的运算
【点评】
本题是分式方程求解的基础典型题，解题的关键是准确找到最简公分母去分母，同时要牢记解分式方程必须验根，增根虽然是去分母后整式方程的解，但不是原分式方程的解，忽略验根很容易出现错误。
【难度系数】
0.6
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，步骤如下：首先观察方程的分母，对可因式分解的分母先因式分解，确定最简公分母；再给方程两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；接着求解整式方程得到未知数的值；最后必须检验所得的根是否使原方程的分母为0，若使分母为0则为增根，不是原方程的解，若分母不为0则是原方程的解。
【解析】
解：首先对分母因式分解可得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此方程的最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$(x+1)^2 - 4 = x^2 - 1$
展开完全平方公式，得：
$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
移项、合并同类项，得：
$2x = 2$
系数化为1，解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，代入最简公分母$(x+1)(x-1)=(1+1)×(1-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，不是原方程的解。
所以原分式方程无解。
【答案】
原分式方程无解
【知识点】
1.分式方程的解法
2.增根的检验
3.整式的运算
【点评】
本题是分式方程求解的基础典型题，解题的关键是准确找到最简公分母去分母，同时要牢记解分式方程必须验根，增根虽然是去分母后整式方程的解，但不是原分式方程的解，忽略验根很容易出现错误。
【难度系数】
0.6
1. 下列关于x的方程,是分式方程的是().
A.$\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{5}$
B.$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 5$
C.$\frac{x}{π} = \frac{x}{3} + \frac{x}{2}$
D.$\frac{1}{2+x} = 1 - \frac{2}{x}$
A.$\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{5}$
B.$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 5$
C.$\frac{x}{π} = \frac{x}{3} + \frac{x}{2}$
D.$\frac{1}{2+x} = 1 - \frac{2}{x}$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个选项是分式方程，首先要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐一检查每个选项的分母里是否含有未知数即可，注意特殊常数π是固定值，不属于未知数，避免误判。
【解析】
先回忆分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程。对各选项逐一分析：
A选项：方程的分母是2和5，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B选项：方程的分母是2和3，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程的分母是π、3、2，其中π是固定常数，不是未知数，因此所有分母都不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
D选项：方程的分母为$2+x$和$x$，都含有未知数$x$，符合分式方程的定义。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查分式方程的判定方法，解题关键是抓住“分母含未知数”这一判断要点，同时要注意区分常数和未知数，不要把π误认为未知数导致错选。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项是分式方程，首先要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐一检查每个选项的分母里是否含有未知数即可，注意特殊常数π是固定值，不属于未知数，避免误判。
【解析】
先回忆分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程。对各选项逐一分析：
A选项：方程的分母是2和5，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B选项：方程的分母是2和3，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程的分母是π、3、2，其中π是固定常数，不是未知数，因此所有分母都不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
D选项：方程的分母为$2+x$和$x$，都含有未知数$x$，符合分式方程的定义。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查分式方程的判定方法，解题关键是抓住“分母含未知数”这一判断要点，同时要注意区分常数和未知数，不要把π误认为未知数导致错选。
【难度系数】
0.9
2. 判断下列各式: ①$\frac{x-2}{2}=\frac{x}{3}$; ②$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=7$;③$\frac{1}{x}$; ④$\frac{x}{x+y}=\frac{1}{5}$; ⑤$\frac{2}{x-2}=\frac{3}{x}$; ⑥$\frac{x^2+1}{π}=2$;⑦$2x+\frac{x-1}{5}=10$; ⑧$\frac{2x+1}{x}+3x=1$. 其中是分式方程的是.(填序号)
答案
解：根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐一判断：
①方程的分母是常数2、3，属于整式方程，不是分式方程；
②方程的分母含有未知数x、y，是分式方程；
③$\frac{1}{x}$是代数式，不是等式，不属于方程；
④方程的分母含有未知数x、y，是分式方程；
⑤方程的分母含有未知数x，是分式方程；
⑥方程的分母是π，π为常数，属于整式方程，不是分式方程；
⑦方程的分母是常数5，属于整式方程，不是分式方程；
⑧方程的分母含有未知数x，是分式方程。
综上，是分式方程的是$\boldsymbol{②④⑤⑧}$。
①方程的分母是常数2、3，属于整式方程，不是分式方程；
②方程的分母含有未知数x、y，是分式方程；
③$\frac{1}{x}$是代数式，不是等式，不属于方程；
④方程的分母含有未知数x、y，是分式方程；
⑤方程的分母含有未知数x，是分式方程；
⑥方程的分母是π，π为常数，属于整式方程，不是分式方程；
⑦方程的分母是常数5，属于整式方程，不是分式方程；
⑧方程的分母含有未知数x，是分式方程。
综上，是分式方程的是$\boldsymbol{②④⑤⑧}$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确分式方程的判定需同时满足两个核心条件：一是必须为含有未知数的等式（即首先属于方程范畴），二是分母中含有未知数。解题时我们按照这两个标准逐一排查每个式子即可，注意π是固定常数，不属于未知数，不是等式的代数式可直接排除。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐一判断：
①方程的分母是常数2、3，属于整式方程，不是分式方程；
②方程的分母含有未知数x、y，是分式方程；
③$\frac{1}{x}$是代数式，不是等式，不属于方程；
④方程的分母含有未知数x、y，是分式方程；
⑤方程的分母含有未知数x，是分式方程；
⑥方程的分母是π，π为常数，属于整式方程，不是分式方程；
⑦方程的分母是常数5，属于整式方程，不是分式方程；
⑧方程的分母含有未知数x，是分式方程。
综上，是分式方程的是②④⑤⑧。
【答案】
$\boldsymbol{②④⑤⑧}$
【知识点】
分式方程的定义，方程的判定，常数的识别
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查对分式方程定义的理解掌握，易错点为误将π当作未知数、或是把非等式的代数式判定为方程，牢记相关定义即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确分式方程的判定需同时满足两个核心条件：一是必须为含有未知数的等式（即首先属于方程范畴），二是分母中含有未知数。解题时我们按照这两个标准逐一排查每个式子即可，注意π是固定常数，不属于未知数，不是等式的代数式可直接排除。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐一判断：
①方程的分母是常数2、3，属于整式方程，不是分式方程；
②方程的分母含有未知数x、y，是分式方程；
③$\frac{1}{x}$是代数式，不是等式，不属于方程；
④方程的分母含有未知数x、y，是分式方程；
⑤方程的分母含有未知数x，是分式方程；
⑥方程的分母是π，π为常数，属于整式方程，不是分式方程；
⑦方程的分母是常数5，属于整式方程，不是分式方程；
⑧方程的分母含有未知数x，是分式方程。
综上，是分式方程的是②④⑤⑧。
【答案】
$\boldsymbol{②④⑤⑧}$
【知识点】
分式方程的定义，方程的判定，常数的识别
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查对分式方程定义的理解掌握，易错点为误将π当作未知数、或是把非等式的代数式判定为方程，牢记相关定义即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
3. 在解分式方程$\frac{2x}{4x^2 -9}=\frac{2x -3}{2x +3}$时，第一步去分母，方程两边乘最简公分母，所乘的最简公分母正确的是（）.
A.$(4x^2 -9)(2x +3)$
B.$2x(2x -3)$
C.$4x^2 -9$
D.$2x(2x +3)$
A.$(4x^2 -9)(2x +3)$
B.$2x(2x -3)$
C.$4x^2 -9$
D.$2x(2x +3)$
答案
C
解析
【分析】
要确定分式方程去分母时乘的最简公分母，首先需要先将方程中每个分母因式分解，再根据最简公分母的确定方法：取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积，即可得出结果。
【解析】
第一步，先对两个分母进行因式分解：
第一个分母$4x^2 - 9$符合平方差公式的形式，利用平方差公式分解得：$4x^2 - 9=(2x+3)(2x-3)$；
第二个分母为$2x+3$，已经是最简整式，无需再分解。
第二步，确定最简公分母：
取两个分母所有不同因式的最高次幂的乘积，包含的因式为$(2x+3)$和$(2x-3)$，二者相乘得$(2x+3)(2x-3)=4x^2 -9$，因此最简公分母是$4x^2 -9$。
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 最简公分母的确定
【点评】
本题考查分式方程去分母时最简公分母的选取，解题核心是先将可因式分解的分母分解彻底，再提取所有不同的因式相乘得到最简公分母，避免直接将两个分母相乘导致公分母过于复杂。
【难度系数】
0.8
要确定分式方程去分母时乘的最简公分母，首先需要先将方程中每个分母因式分解，再根据最简公分母的确定方法：取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积，即可得出结果。
【解析】
第一步，先对两个分母进行因式分解：
第一个分母$4x^2 - 9$符合平方差公式的形式，利用平方差公式分解得：$4x^2 - 9=(2x+3)(2x-3)$；
第二个分母为$2x+3$，已经是最简整式，无需再分解。
第二步，确定最简公分母：
取两个分母所有不同因式的最高次幂的乘积，包含的因式为$(2x+3)$和$(2x-3)$，二者相乘得$(2x+3)(2x-3)=4x^2 -9$，因此最简公分母是$4x^2 -9$。
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 最简公分母的确定
【点评】
本题考查分式方程去分母时最简公分母的选取，解题核心是先将可因式分解的分母分解彻底，再提取所有不同的因式相乘得到最简公分母，避免直接将两个分母相乘导致公分母过于复杂。
【难度系数】
0.8
