10.【思路导引】
几何图形的运动中伴随着一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”。遇到这类问题的分析思路是:了解图形运动的全过程,“动中见静”,寻找运动变化过程中的不变性及变化规律。如“角”,可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的。
【问题情境】
已知:$∠ AOB$是由射线$OA$绕点$O$旋转而成,始边$OA$与终边$OB$所成的角的度数为$α$($α$为锐角),射线$OE$,$OF$绕点$O$运动。
【特例感知】
(1)如图①,射线$OE$是$∠ AOB$的平分线,若$α=54°$,求$∠ AOE$的度数;
(2)如图②,射线$OE$在$∠ AOB$的内部时,射线$OM$平分$∠ AOE$,射线$ON$平分$∠ BOE$,求$∠ MON$的度数。(用含$α$的代数式表示)
【探索发现】
(3)射线$OF$,$OA$绕点$O$运动到直线$OB$上方,且射线$OF$与射线$OB$在射线$OA$的两侧,$∠ BOF$的度数为$n$($α＜n＜180°$),射线$OE$在$∠ BOF$的内部,$∠ AOE$的度数为$m$,$OM$平分$∠ AOF$,直接写出$∠ MOE$的度数。(用含$m$,$n$,$α$的代数式表示)

解：
(1)
∵ OE是∠AOB的平分线，∠AOB=α=54°，
∴ ∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×54° = 27°。
(2)
∵ OM平分∠AOE，ON平分∠BOE，
∴ ∠MOE = $\frac{1}{2}$∠AOE，∠NOE = $\frac{1}{2}$∠BOE，
∴ ∠MON = ∠MOE + ∠NOE = $\frac{1}{2}$(∠AOE + ∠BOE) = $\frac{1}{2}$∠AOB，
∵ ∠AOB=α，
∴ ∠MON = $\frac{1}{2}α$。
(3)
∠MOE = $\frac{2m + n - α}{2}$。

【分析】
1. 第(1)问：已知OE是∠AOB的平分线，根据角平分线的定义，角平分线将原角分成两个大小相等的小角，均为原角的$\frac{1}{2}$，直接代入∠AOB的度数即可求出∠AOE。
2. 第(2)问：已知OM、ON分别平分∠AOE和∠BOE，可将∠MON拆分为∠MOE与∠NOE的和，结合角平分线定义，把两个小角转化为对应原角的$\frac{1}{2}$，提取公因式后刚好对应∠AOB的$\frac{1}{2}$，代入α即可得到结果。
3. 第(3)问：先根据射线的位置关系推导∠AOF的度数，由∠BOF=n、∠AOB=α，可得∠AOF = n-α；再结合OM是∠AOF的平分线求出∠AOM的度数，最后根据∠MOE = ∠AOE + ∠AOM，代入各角表达式整理即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ OE是∠AOB的平分线，∠AOB=α=54°，
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×54° = 27°$。
(2)
∵ OM平分∠AOE，ON平分∠BOE，
∴ $∠ MOE = \frac{1}{2}∠ AOE$，$∠ NOE = \frac{1}{2}∠ BOE$，
∴ $∠ MON = ∠ MOE + ∠ NOE = \frac{1}{2}(∠ AOE + ∠ BOE) = \frac{1}{2}∠ AOB$，
∵ ∠AOB=α，
∴ $∠ MON = \frac{1}{2}α$。
(3) 由题意得$∠ AOF = ∠ BOF - ∠ AOB = n-α$，
∵ OM平分∠AOF，
∴ $∠ AOM = \frac{1}{2}∠ AOF = \frac{n-α}{2}$，
又
∵ ∠AOE=m，
∴ $∠ MOE = ∠ AOE + ∠ AOM = m + \frac{n-α}{2} = \frac{2m + n - α}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{27°}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}α}$；(3) $\boldsymbol{\frac{2m + n - α}{2}}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题从基础的静态角平分线计算入手，逐步过渡到动态角的推导，核心考查对角平分线性质的理解和角的运算能力，解题时需理清射线的位置关系，动中寻静，找准角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.65