登录
14.观察下列多面体，并把下表补充完整.
| 名称 | 三棱柱 | 四棱柱 | 五棱柱 | 六棱柱 |
|--------|--------|--------|--------|--------|
| 图形 | |
| | |
| 顶点数a| 6 |
| 棱数b | 9 | 12 |
| 面数c | 5 |
观察上表中的结果，你能发现a,b,c之间有什么关系吗？请写出关系式.
| 名称 | 三棱柱 | 四棱柱 | 五棱柱 | 六棱柱 |
|--------|--------|--------|--------|--------|
| 图形 | |
| | || 顶点数a| 6 |
8
| 10 | 12 || 棱数b | 9 | 12 |
15
| 18
|| 面数c | 5 |
6
| 7
| 8 |观察上表中的结果，你能发现a,b,c之间有什么关系吗？请写出关系式.
答案
14.8,15,18,6,7,$a+c-b=2$
解析
【分析】
解题时先从棱柱的结构特点入手：n棱柱有2个n边形的底面，n个侧面。我们可以先总结n棱柱的顶点数、棱数、面数和n的关系：①顶点数：上下两个底面各有n个顶点，总顶点数是2n；②棱数：上下底面各n条棱，加上n条侧棱，总棱数是3n；③面数：2个底面加n个侧面，总面数是n+2。接下来把四、五、六棱柱对应的n=4、n=5、n=6分别代入上述关系，就能补全表格；最后把每组a、b、c的数值代入运算，就能归纳出三者的数量关系。
【解析】
1. 补全表格：
（1）四棱柱对应n=4：顶点数$a=2×4=8$，面数$c=4+2=6$；
（2）五棱柱对应n=5：棱数$b=3×5=15$，面数$c=5+2=7$；
（3）六棱柱对应n=6：棱数$b=3×6=18$。
因此表格空缺处依次填8、15、18、6、7。
2. 推导a、b、c的关系：
将四组数据分别代入计算：
三棱柱：$6+5-9=2$；
四棱柱：$8+6-12=2$；
五棱柱：$10+7-15=2$；
六棱柱：$12+8-18=2$。
可得三者的关系式为$a+c-b=2$。
【答案】
表格依次填：8，15，18，6，7；关系式：$\boldsymbol{a+c-b=2}$
【知识点】
棱柱的特征，规律探究，几何体计数
【点评】
本题结合棱柱的结构特征考查计数和规律归纳能力，是立体几何入门的基础题型，熟练掌握棱柱的构成特点是解题的关键，能有效锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从棱柱的结构特点入手：n棱柱有2个n边形的底面，n个侧面。我们可以先总结n棱柱的顶点数、棱数、面数和n的关系：①顶点数：上下两个底面各有n个顶点，总顶点数是2n；②棱数：上下底面各n条棱，加上n条侧棱，总棱数是3n；③面数：2个底面加n个侧面，总面数是n+2。接下来把四、五、六棱柱对应的n=4、n=5、n=6分别代入上述关系，就能补全表格；最后把每组a、b、c的数值代入运算，就能归纳出三者的数量关系。
【解析】
1. 补全表格：
（1）四棱柱对应n=4：顶点数$a=2×4=8$，面数$c=4+2=6$；
（2）五棱柱对应n=5：棱数$b=3×5=15$，面数$c=5+2=7$；
（3）六棱柱对应n=6：棱数$b=3×6=18$。
因此表格空缺处依次填8、15、18、6、7。
2. 推导a、b、c的关系：
将四组数据分别代入计算：
三棱柱：$6+5-9=2$；
四棱柱：$8+6-12=2$；
五棱柱：$10+7-15=2$；
六棱柱：$12+8-18=2$。
可得三者的关系式为$a+c-b=2$。
【答案】
表格依次填：8，15，18，6，7；关系式：$\boldsymbol{a+c-b=2}$
【知识点】
棱柱的特征，规律探究，几何体计数
【点评】
本题结合棱柱的结构特征考查计数和规律归纳能力，是立体几何入门的基础题型，熟练掌握棱柱的构成特点是解题的关键，能有效锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
15.某种包装盒的形状是长方体,长AD比高AE的三倍多2,宽AB为3分米,它的展开图如图所示.(不考虑包装盒的黏合处)
(1)设该包装盒的高AE为m分米,则该长方体的长AD为
(2)若FG的长为12分米,现对包装盒外表面涂色,每平方分米涂色的价格是8元,则为每个包装盒涂色的费用是多少?(注:包装盒内壁不涂色)
(1)设该包装盒的高AE为m分米,则该长方体的长AD为
$(3m+2)$
分米,边FG的长度为$(8m+4)$
分米;(用含m的式子表示)(2)若FG的长为12分米,现对包装盒外表面涂色,每平方分米涂色的价格是8元,则为每个包装盒涂色的费用是多少?(注:包装盒内壁不涂色)
答案
15.(1)$(3m+2)$,$(8m+4)$;(2)由(1)得 $FG=8m+4$,$\therefore 8m+4=12$,解得 $m=1$,$\therefore AD=3m+2=5$,$\therefore$ 表面积为 $12× 3+2× 5× 1=36+10=46$(平方分米),$\therefore$ 费用为 $46× 8=368$(元).答:为每个包装盒涂色的费用是 368 元
解析
【分析】
(1) 第一空：题目明确给出长AD比高AE的三倍多2，AE为m分米，直接根据描述的数量关系即可写出AD的表达式；第二空：观察展开图可得，边FG的长度等于2个长AD加2个高AE，将AD和AE的表达式代入化简就能得到FG的表达式。
(2) 已知FG的长度为12分米，先代入(1)中FG的表达式求出m的值，即可得到长方体的长和高，宽AB已知为3分米；外表面涂色的面积就是长方体的表面积，结合展开图可知表面积可拆为侧面积（FG×AB）加上2个上下底面的面积（长×高×2），算出总面积后乘以每平方分米的涂色价格，即可得到总费用。
【解析】
(1) 由题意，长AD比高AE的3倍多2，AE为m分米，因此$AD = 3m + 2$（分米）；
观察展开图可得$FG = 2AD + 2AE$，代入$AD=3m+2$、$AE=m$得：
$FG = 2(3m+2) + 2m = 6m + 4 + 2m = 8m + 4$（分米）。
(2) 已知FG的长为12分米，结合(1)的结论列方程：
$8m + 4 = 12$
解得$m = 1$
因此长$AD = 3×1 + 2 = 5$（分米），高$AE=1$分米，宽$AB=3$分米。
包装盒外表面的表面积 = 侧面积 + 2个上下底面积 = $FG× AB + 2× AD× AE = 12×3 + 2×5×1 = 36 + 10 = 46$（平方分米）
总涂色费用 = $46×8 = 368$（元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3m+2)}$，$\boldsymbol{(8m+4)}$；
(2) 为每个包装盒涂色的费用是368元。
【知识点】
长方体展开图，列代数式，长方体表面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查长方体展开图的特征及表面积的计算，解题的关键是结合展开图理清各边之间的数量关系，再代入数值逐步计算即可，注意要明确涂色面积是长方体外表面的总面积。
【难度系数】
0.7
(1) 第一空：题目明确给出长AD比高AE的三倍多2，AE为m分米，直接根据描述的数量关系即可写出AD的表达式；第二空：观察展开图可得，边FG的长度等于2个长AD加2个高AE，将AD和AE的表达式代入化简就能得到FG的表达式。
(2) 已知FG的长度为12分米，先代入(1)中FG的表达式求出m的值，即可得到长方体的长和高，宽AB已知为3分米；外表面涂色的面积就是长方体的表面积，结合展开图可知表面积可拆为侧面积（FG×AB）加上2个上下底面的面积（长×高×2），算出总面积后乘以每平方分米的涂色价格，即可得到总费用。
【解析】
(1) 由题意，长AD比高AE的3倍多2，AE为m分米，因此$AD = 3m + 2$（分米）；
观察展开图可得$FG = 2AD + 2AE$，代入$AD=3m+2$、$AE=m$得：
$FG = 2(3m+2) + 2m = 6m + 4 + 2m = 8m + 4$（分米）。
(2) 已知FG的长为12分米，结合(1)的结论列方程：
$8m + 4 = 12$
解得$m = 1$
因此长$AD = 3×1 + 2 = 5$（分米），高$AE=1$分米，宽$AB=3$分米。
包装盒外表面的表面积 = 侧面积 + 2个上下底面积 = $FG× AB + 2× AD× AE = 12×3 + 2×5×1 = 36 + 10 = 46$（平方分米）
总涂色费用 = $46×8 = 368$（元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3m+2)}$，$\boldsymbol{(8m+4)}$；
(2) 为每个包装盒涂色的费用是368元。
【知识点】
长方体展开图，列代数式，长方体表面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查长方体展开图的特征及表面积的计算，解题的关键是结合展开图理清各边之间的数量关系，再代入数值逐步计算即可，注意要明确涂色面积是长方体外表面的总面积。
【难度系数】
0.7
