8. (★★)某同学做一道数学题：“两个多项式$A,B$，其中$B=2x^2 -3x -1$，试求$A+2B$。”如果把“$A+2B$”改成“$A-2B$”，结果求出的答案是$-5x^2 +7x +1$，那么$A+2B$的答案是多少？

解：
由题意可知 $A - 2B = -5x^2 + 7x + 1$，
因此 $A = (A - 2B) + 2B$。
将$B=2x^2 - 3x - 1$代入，得：
$\begin{aligned}A&=-5x^2 +7x +1 + 2(2x^2 -3x -1)\\&=-5x^2 +7x +1 +4x^2 -6x -2\\&=-x^2 +x -1\end{aligned}$
再计算$A+2B$：
$\begin{aligned}A+2B&=(-x^2 +x -1) + 2(2x^2 -3x -1)\\&=-x^2 +x -1 +4x^2 -6x -2\\&=3x^2 -5x -3\end{aligned}$
答：$A+2B$的答案是$3x^2 -5x -3$。

【分析】
本题为整式加减中的错算求解题，解题思路可分为两步：首先，已知错误运算的结果是$A-2B$的得数，且$B$为已知多项式，我们可根据“被减数=差+减数”的关系，先求出多项式$A$的表达式；其次，将求出的$A$和已知的$B$代入正确的算式$A+2B$中，按照去括号、合并同类项的运算规则计算，即可得到正确结果。计算时需注意去括号的符号变化，以及括号外的系数要乘遍括号内的每一项，避免漏乘。
【解析】
由题意可知 $A - 2B = -5x^2 + 7x + 1$，因此 $A = (A - 2B) + 2B$。
将$B=2x^2 - 3x - 1$代入上式，得：
$\begin{aligned}A&=-5x^2 +7x +1 + 2(2x^2 -3x -1)\\&=-5x^2 +7x +1 +4x^2 -6x -2\\&=-x^2 +x -1\end{aligned}$
再计算$A+2B$：
$\begin{aligned}A+2B&=(-x^2 +x -1) + 2(2x^2 -3x -1)\\&=-x^2 +x -1 +4x^2 -6x -2\\&=3x^2 -5x -3\end{aligned}$
【答案】
$3x^2 -5x -3$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的典型基础题，解题核心是利用错误的运算结果反向推导未知多项式，再代入正确算式计算。解题过程中要重点注意去括号时的符号变化和系数分配，避免因粗心出现计算失误。
【难度系数】
0.7

9. (★★★)已知$A=3x^2 -x +2y -4xy$，$B=2x^2 -3x -y +xy$。
(1)化简$2A-3B$；
(2)当$x+y=\frac{6}{7}$，$xy=-1$时，求$2A-3B$的值；
(3)若$2A-3B$的值与$y$的取值无关，求$2A-3B$的值。

解：
(1) $2A - 3B$
$= 2(3x^2 - x + 2y - 4xy) - 3(2x^2 - 3x - y + xy)$
$= 6x^2 - 2x + 4y - 8xy - 6x^2 + 9x + 3y - 3xy$
$= 7x + 7y - 11xy$
(2) 当$x+y=\frac{6}{7}$，$xy=-1$时，
$2A - 3B = 7(x + y) - 11xy$
$= 7×\frac{6}{7} - 11×(-1)$
$= 6 + 11$
$= 17$
(3) $2A - 3B = 7x + 7y - 11xy = 7x + y(7 - 11x)$
$\because 2A - 3B$的值与$y$的取值无关，
$\therefore y$的系数$7 - 11x = 0$，
解得$x = \frac{7}{11}$，
$\therefore 2A - 3B = 7x = 7×\frac{7}{11} = \frac{49}{11}$

【分析】
(1) 化简$2A-3B$时，先将A、B对应的代数式代入原式，再依据去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可，注意去括号时若括号前是负号，括号内每一项都要变号，且括号外的系数要乘遍括号内的所有项。
(2) 观察第一问的化简结果，可将式子变形为含$x+y$和$xy$的结构，采用整体代入法直接代入已知值计算，无需单独求解x、y，能简化计算过程。
(3) 若$2A-3B$的值与y的取值无关，说明化简结果中所有含y的项的系数为0，因此先将化简结果整理为“含x的项+含y的项”的形式，令y的系数为0求出x的值，再代入计算即可得到对应的$2A-3B$的值。
【解析】
(1) 将$A=3x^2 -x +2y -4xy$，$B=2x^2 -3x -y +xy$代入$2A-3B$，得：
$\begin{aligned}2A - 3B&= 2(3x^2 - x + 2y - 4xy) - 3(2x^2 - 3x - y + xy)\\&= 6x^2 - 2x + 4y - 8xy - 6x^2 + 9x + 3y - 3xy\\&= (6x^2-6x^2)+(-2x+9x)+(4y+3y)+(-8xy-3xy)\\&=7x + 7y - 11xy\end{aligned}$
(2) 由(1)可得$2A-3B=7(x+y)-11xy$，将$x+y=\frac{6}{7}$，$xy=-1$代入上式：
$\begin{aligned}2A - 3B &= 7×\frac{6}{7} - 11×(-1)\\&= 6 + 11\\&= 17\end{aligned}$
(3) 将$2A-3B=7x + 7y - 11xy$变形为：$2A-3B=7x + y(7 - 11x)$
∵$2A-3B$的值与$y$的取值无关，
∴y的系数为0，即：
$7 - 11x = 0$，解得$x=\frac{7}{11}$
将$x=\frac{7}{11}$代入$2A-3B=7x$，得：
$2A-3B=7×\frac{7}{11}=\frac{49}{11}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{7x + 7y - 11xy}$；(2) $\boldsymbol{17}$；(3) $\boldsymbol{\frac{49}{11}}$
【知识点】
整式的加减运算，整体代入求值，多项式无关型问题
【点评】
本题是整式加减的经典题型，难度逐层递进，既考查了去括号、合并同类项等基础运算能力，也渗透了整体代入的数学思想，第三问需要准确理解“与字母取值无关”的核心是对应字母的系数为0，能有效考查对整式性质的理解。
【难度系数】
0.6