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18. (★★)某城市按以下规定收取每月的天然气费:用气量不超过$60\ \mathrm{m}^3$,按2元/$\mathrm{m}^3$收费;超过$60\ \mathrm{m}^3$,超出部分按2.4元/$\mathrm{m}^3$收费.
(1)已知某户5月份用天然气$x\ \mathrm{m}^3$,求该户应交天然气费用(用含$x$的代数式表示);
(2)如果小明家12月份用天然气$80\ \mathrm{m}^3$,请求出他家12月份的天然气费用.
(1)已知某户5月份用天然气$x\ \mathrm{m}^3$,求该户应交天然气费用(用含$x$的代数式表示);
(2)如果小明家12月份用天然气$80\ \mathrm{m}^3$,请求出他家12月份的天然气费用.
答案
解：
(1) 分两种情况表示应交天然气费用：
当 $ 0 ≤ x ≤ 60 $ 时，费用为 $ 2x $ 元；
当 $ x ＞ 60 $ 时，费用为：
$ 2 × 60 + 2.4(x - 60) = 120 + 2.4x - 144 = (2.4x - 24) $ 元。
(2) 因为 $ 80 ＞ 60 $，将 $ x=80 $ 代入 $ 2.4x - 24 $，得：
$ 2.4 × 80 - 24 = 192 - 24 = 168 $（元）
答：(1) 当用气量不超过$ 60\ \mathrm{m}^3 $时，应交费用为$ 2x $元，当用气量超过$ 60\ \mathrm{m}^3 $时，应交费用为$ (2.4x - 24) $元；(2) 小明家12月份的天然气费用为168元。
(1) 分两种情况表示应交天然气费用：
当 $ 0 ≤ x ≤ 60 $ 时，费用为 $ 2x $ 元；
当 $ x ＞ 60 $ 时，费用为：
$ 2 × 60 + 2.4(x - 60) = 120 + 2.4x - 144 = (2.4x - 24) $ 元。
(2) 因为 $ 80 ＞ 60 $，将 $ x=80 $ 代入 $ 2.4x - 24 $，得：
$ 2.4 × 80 - 24 = 192 - 24 = 168 $（元）
答：(1) 当用气量不超过$ 60\ \mathrm{m}^3 $时，应交费用为$ 2x $元，当用气量超过$ 60\ \mathrm{m}^3 $时，应交费用为$ (2.4x - 24) $元；(2) 小明家12月份的天然气费用为168元。
解析
【分析】
这是阶梯收费类的分段计费应用题，解题时需以收费标准的分界点$60\ \mathrm{m}^3$为依据分情况讨论：①当用气量不超过$60\ \mathrm{m}^3$时，直接按照“总费用=单价×用气量”列式即可；②当用气量超过$60\ \mathrm{m}^3$时，总费用分为两部分：$60\ \mathrm{m}^3$的基础费用和超出部分的加价费用，将两部分费用求和化简就能得到对应代数式。第二问先判断$80\ \mathrm{m}^3$所属的收费区间，再代入对应代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 按用气量是否超过$60\ \mathrm{m}^3$分两种情况计算：
当$0≤ x≤60$时，收费标准为2元/$\mathrm{m}^3$，应交天然气费用为$2x$元；
当$x＞60$时，其中$60\ \mathrm{m}^3$按2元/$\mathrm{m}^3$收费，超出的$(x-60)\ \mathrm{m}^3$按2.4元/$\mathrm{m}^3$收费，总费用为：
$2×60 + 2.4(x-60) = 120 + 2.4x - 144 = (2.4x - 24)$元。
(2) 因为$80＞60$，所以将$x=80$代入$2.4x - 24$计算：
$2.4×80 - 24 = 192 - 24 = 168$（元）
【答案】
(1) 当$0≤ x≤60$时，应交费用为$2x$元，当$x＞60$时，应交费用为$(2.4x - 24)$元；(2) 小明家12月份的天然气费用为168元。
【知识点】
分段计费问题、列代数式、代数式求值
【点评】
本题是生活中常见的阶梯收费类应用题，解题核心是找准收费的分段节点，分情况列出对应代数式，代入求值时注意先判断数值所属的分段区间，再代入对应式子计算即可，整体难度不高，需注意计算不要出错。
【难度系数】
0.8
这是阶梯收费类的分段计费应用题，解题时需以收费标准的分界点$60\ \mathrm{m}^3$为依据分情况讨论：①当用气量不超过$60\ \mathrm{m}^3$时，直接按照“总费用=单价×用气量”列式即可；②当用气量超过$60\ \mathrm{m}^3$时，总费用分为两部分：$60\ \mathrm{m}^3$的基础费用和超出部分的加价费用，将两部分费用求和化简就能得到对应代数式。第二问先判断$80\ \mathrm{m}^3$所属的收费区间，再代入对应代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 按用气量是否超过$60\ \mathrm{m}^3$分两种情况计算：
当$0≤ x≤60$时，收费标准为2元/$\mathrm{m}^3$，应交天然气费用为$2x$元；
当$x＞60$时，其中$60\ \mathrm{m}^3$按2元/$\mathrm{m}^3$收费，超出的$(x-60)\ \mathrm{m}^3$按2.4元/$\mathrm{m}^3$收费，总费用为：
$2×60 + 2.4(x-60) = 120 + 2.4x - 144 = (2.4x - 24)$元。
(2) 因为$80＞60$，所以将$x=80$代入$2.4x - 24$计算：
$2.4×80 - 24 = 192 - 24 = 168$（元）
【答案】
(1) 当$0≤ x≤60$时，应交费用为$2x$元，当$x＞60$时，应交费用为$(2.4x - 24)$元；(2) 小明家12月份的天然气费用为168元。
【知识点】
分段计费问题、列代数式、代数式求值
【点评】
本题是生活中常见的阶梯收费类应用题，解题核心是找准收费的分段节点，分情况列出对应代数式，代入求值时注意先判断数值所属的分段区间，再代入对应式子计算即可，整体难度不高，需注意计算不要出错。
【难度系数】
0.8
19. (★★★)一个圆形蛋糕放在桌子上，用刀切下去，一刀可以切成两块，两刀最多可以切成4块，三刀最多可以切成7块，4刀最多可以切成11块(如图).
将上述问题转化为数学模型，实际上就是n条直线最多把平面分成几块的问题，请先观察下表中的实验数据，然后解答问题.
(1)当$n=5$时，分成的最多平面块数$S_{5}$的值为.
(2)设n条直线分成的最多平面块数是$S_{n}$，请直接写出$S_{n}$的值(用含n的代数式表示).
(3)根据(2)中的代数式计算：当$n=11$时，$S_{11}$的值为.
将上述问题转化为数学模型，实际上就是n条直线最多把平面分成几块的问题，请先观察下表中的实验数据，然后解答问题.
(1)当$n=5$时，分成的最多平面块数$S_{5}$的值为.
(2)设n条直线分成的最多平面块数是$S_{n}$，请直接写出$S_{n}$的值(用含n的代数式表示).
(3)根据(2)中的代数式计算：当$n=11$时，$S_{11}$的值为.
答案
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{S_n=\frac{n^2 + n + 2}{2}}$；(3) $\boldsymbol{67}$。
解析
【分析】
首先观察已知的n和对应$S_n$的数值：n=1时$S_1=2$，n=2时$S_2=4$，n=3时$S_3=7$，n=4时$S_4=11$，可发现规律：每增加1条直线，最多增加的平面块数等于新增直线的条数。
(1) 求n=5时的$S_5$，只需用n=4时的$S_4$加上5即可；
(2) 推导$S_n$的代数式时，可将$S_n$拆解为1加上1到n的连续整数和，利用1到n的求和公式整理即可得到通用表达式；
(3) 求n=11时的$S_{11}$，直接将n=11代入(2)中得到的代数式计算即可。
【解析】
先整理已知数据找规律：
当n=1时，$S_1=2=1+1$
当n=2时，$S_2=4=1+1+2$
当n=3时，$S_3=7=1+1+2+3$
当n=4时，$S_4=11=1+1+2+3+4$
规律：n条直线最多分平面的块数 = 1 + 1+2+3+…+n
(1) 当n=5时：
$S_5 = 1 + 1+2+3+4+5 = 16$
(2) 因为1到n的连续整数和为$\frac{n(n+1)}{2}$，所以：
$S_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2 + n(n+1)}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$
(3) 当n=11时，代入$S_n=\frac{n^2 + n + 2}{2}$得：
$S_{11} = \frac{11^2 + 11 + 2}{2} = \frac{121 + 11 + 2}{2} = \frac{134}{2} = 67$
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{S_n=\frac{n^2 + n + 2}{2}}$；(3) $\boldsymbol{67}$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知数据，归纳出每新增一条直线时增加的平面块数的变化规律，再结合整数求和公式推导通用表达式，侧重考查学生的观察归纳能力和代数式运算能力。
【难度系数】
0.6
首先观察已知的n和对应$S_n$的数值：n=1时$S_1=2$，n=2时$S_2=4$，n=3时$S_3=7$，n=4时$S_4=11$，可发现规律：每增加1条直线，最多增加的平面块数等于新增直线的条数。
(1) 求n=5时的$S_5$，只需用n=4时的$S_4$加上5即可；
(2) 推导$S_n$的代数式时，可将$S_n$拆解为1加上1到n的连续整数和，利用1到n的求和公式整理即可得到通用表达式；
(3) 求n=11时的$S_{11}$，直接将n=11代入(2)中得到的代数式计算即可。
【解析】
先整理已知数据找规律：
当n=1时，$S_1=2=1+1$
当n=2时，$S_2=4=1+1+2$
当n=3时，$S_3=7=1+1+2+3$
当n=4时，$S_4=11=1+1+2+3+4$
规律：n条直线最多分平面的块数 = 1 + 1+2+3+…+n
(1) 当n=5时：
$S_5 = 1 + 1+2+3+4+5 = 16$
(2) 因为1到n的连续整数和为$\frac{n(n+1)}{2}$，所以：
$S_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2 + n(n+1)}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$
(3) 当n=11时，代入$S_n=\frac{n^2 + n + 2}{2}$得：
$S_{11} = \frac{11^2 + 11 + 2}{2} = \frac{121 + 11 + 2}{2} = \frac{134}{2} = 67$
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{S_n=\frac{n^2 + n + 2}{2}}$；(3) $\boldsymbol{67}$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知数据，归纳出每新增一条直线时增加的平面块数的变化规律，再结合整数求和公式推导通用表达式，侧重考查学生的观察归纳能力和代数式运算能力。
【难度系数】
0.6
