问题 某校体育器材室共有 60 个篮球.一天课外活动,有 3 个班级分别计划借篮球总数的$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{4}$.请你算一算,这 60 个篮球够借吗?如果够了,还多几个篮球?如果不够,还缺几个?
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:

解：
$60×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$
$=60×\frac{1}{2}+60×\frac{1}{3}+60×\frac{1}{4}$
$=30+20+15$
$=65$（个）
$60-65=-5$（个）
答：这60个篮球不够借，还缺5个。

【分析】
要判断篮球够不够借，首先需要算出3个班级一共需要的篮球总数。第一步先求出三个班级计划借的占比之和，再用现有篮球总数60乘这个占比和，就能得到总共需要的篮球数量；第二步将需要的数量和现有60个对比，若需要的数量大于60则不够，差值的绝对值就是缺的数量，若小于等于60则够，差值就是多出来的数量。计算时可以用乘法分配律简化运算，不用先通分计算分数和，降低计算出错概率。
【解析】
先计算3个班级总共需要的篮球数量：
$60×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$
根据乘法分配律展开算式：
$=60×\frac{1}{2}+60×\frac{1}{3}+60×\frac{1}{4}$
分别计算每一项的乘积：
$=30+20+15$
求和得到总需求：
$=65$（个）
对比现有篮球数和需求数的差值：
$60-65=-5$（个）
结果为负，说明现有篮球数少于需求数，缺的数量为差值的绝对值。
【答案】
这60个篮球不够借，还缺5个。
【知识点】
有理数乘法、乘法分配律、分数加减法
【点评】
本题结合生活场景考查有理数运算的实际应用，巧用乘法分配律可以简化计算步骤，解题时要注意计算结果的正负对应的实际含义，避免判断错够缺的情况。
【难度系数】
0.7

1. 实数$a,b,c$在数轴上对应点的位置如图所示，如果$a,c$的绝对值相等，那么下列结论正确的是（）


A.$a+b＞0$
B.$abc＜0$
C.$c＜-b$
D.$b-a＞0$

D.

【分析】
解题时首先根据数轴的基本性质：数轴上右边的数总比左边的数大，得出三个数的大小关系a＜b＜c；再结合a、c绝对值相等的条件，可知a和c互为相反数，即a=-c，且a为负数、c为正数，原点是线段ac的中点；最后逐一分析每个选项的正误即可。
【解析】
解：由数轴可得：$a ＜ b ＜ c$，
∵$|a|=|c|$，
∴a和c互为相反数，即$a=-c$，且$a＜0$，$c＞0$，原点为线段ac的中点。
逐一分析选项：
A. 假设$a=-3$，$c=3$，若$b=-1$，则$a+b=-4＜0$，故A错误；
B. 若b为负数，则a、b均为负，c为正，$abc＞0$，故B错误；
C. 由$b＞a=-c$，移项可得$b+c＞0$，即$c＞-b$，故C错误；
D.
∵$b＞a$，
∴$b-a＞0$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的认识；绝对值的性质；有理数大小比较
【点评】
本题是数轴的典型应用题目，需要结合数轴特征和绝对值的性质判断各数的大小、符号关系，解题时也可以通过赋值法快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7

(1) $(+8)×478×(-0.125)=$;
(2) $(-\dfrac{5}{7})×\dfrac{4}{9}×(-\dfrac{7}{5})×(-\dfrac{9}{8})=$;
(3) $0.16×0.33+0.16×0.33+0.16×0.34=$;
(4) $98\dfrac{1}{2}×(-40)=$.

(1) $-478$；(2) $-\dfrac{1}{2}$；(3) 0.16；(4) $-3\ 940$.

【分析】
这几道题均考查有理数乘法的简便运算，解题思路如下：
1. 先观察算式中数字的特征：若存在互为倒数、乘积为整数的数，优先用乘法交换律、结合律调整运算顺序凑整简化计算；若存在相同的因数，可逆用乘法分配律简化计算；若有接近整十整百的带分数，可拆成整数加分数的形式，用乘法分配律计算。
2. 计算时先根据负因数的个数确定积的符号，再计算绝对值的乘积，避免符号出错。
【解析】
(1) 利用乘法交换律调整运算顺序，凑整计算：
原式$=(+8)×(-0.125)×478$
$=-1×478$
$=-478$
(2) 利用乘法交换律、结合律，将互为倒数的数分组计算，先确定符号：算式共有3个负因数，积为负：
原式$=[(-\dfrac{5}{7})×(-\dfrac{7}{5})]×[\dfrac{4}{9}×(-\dfrac{9}{8})]$
$=1×(-\dfrac{1}{2})$
$=-\dfrac{1}{2}$
(3) 逆用乘法分配律，提取相同因数$0.16$：
原式$=0.16×(0.33+0.33+0.34)$
$=0.16×1$
$=0.16$
(4) 将带分数拆成整数加分数的形式，利用乘法分配律计算：
原式$=(98+\dfrac{1}{2})×(-40)$
$=98×(-40)+\dfrac{1}{2}×(-40)$
$=-3920-20$
$=-3940$
【答案】
(1) $-478$；(2) $-\dfrac{1}{2}$；(3) $0.16$；(4) $-3940$
【知识点】
有理数乘法法则，乘法运算律，分配律逆用
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，核心是灵活运用乘法运算律简化计算，计算时要注意先定符号再算数值，减少符号类的低级错误。
【难度系数】
0.7

3. 大于－8而小于5的所有整数的积是.

0.

【分析】
解题时首先要明确符合“大于－8而小于5”范围的所有整数，再结合有理数乘法的计算规则判断结果。第一步先结合整数定义和有理数大小比较规则，罗列出所有满足条件的整数；第二步观察这些整数中是否包含0，根据有理数乘法法则，多个数相乘时只要有一个因数是0，乘积就为0，因此只要发现范围内有0，就能直接得出结果，无需逐一计算其他整数的乘积。
【解析】
首先列出大于－8而小于5的所有整数：-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4。
根据有理数乘法法则：任何数与0相乘，积都为0。上述整数中包含因数0，因此它们的乘积是0。
【答案】
0
【知识点】
整数的概念；有理数大小比较；有理数乘法法则
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心考察对整数范围的判断能力以及有理数乘法中含0因数的运算特性，解题时不要盲目计算所有整数的乘积，优先判断乘数中是否有0可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.85

4. 绝对值不小于2而小于5的所有负整数的积是.

$-24$.

【分析】
解题时需先逐层拆解题目条件：首先明确“绝对值不小于2”即绝对值≥2，“小于5”即绝对值＜5，再结合“负整数”的要求筛选出符合条件的所有数，最后计算这些数的乘积即可。思考时要注意不要漏数或多算符合范围的数，同时计算乘法时要注意负号的运算规则。
【解析】
第一步：找出满足条件的负整数
绝对值不小于2且小于5的整数有：±2、±3、±4，从中筛选负整数，得到：-2、-3、-4。
第二步：计算这些负整数的积
$\begin{aligned}(-2) × (-3) × (-4) &= 6 × (-4) \\&= -24\end{aligned}$
【答案】
$-24$
【知识点】
绝对值的定义；负整数的概念；有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础题，易错点是对“不小于”的含义理解错误，或者筛选符合条件的数时出现遗漏、多选，其次要注意多个有理数相乘时积的符号判断，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8

5. 计算(能用简便方法计算的用简便方法)：
(1) $(-8)×\frac{3}{16}×(-1)×0.5$；
(2) $(-8)×(-12)×(-0.125)×(-\frac{1}{3})×(-0.001)$；
(3) $(-12)×(-\frac{3}{4})-(-\frac{1}{3})×(-6)$；
(4) $(\frac{2}{3}-\frac{4}{9}+\frac{5}{27})×27 - 1\frac{1}{17}×8 + \frac{1}{17}×8$；

(1) $\dfrac{3}{4}$；(2) $-0.004$；(3) 7；(4) 3.

【分析】
解题时首先遵循有理数运算的基本顺序：先算乘法，后算加减，有简便方法优先用简便方法。①先根据负因数的个数确定乘法运算的符号：负因数个数为偶数时积为正，为奇数时积为负；②再计算绝对值的乘积，计算时可利用乘法交换律、结合律凑整约分，遇到形如几个数的和乘一个整数的形式可利用乘法分配律简化计算，有相同因数的乘法运算可逆用分配律合并简化。
(1) 题负因数共2个，结果为正，直接约分计算绝对值即可；(2) 题负因数共5个，结果为负，可交换因数位置凑整计算；(3) 题先分别计算两个乘法的结果，再做减法；(4) 题前半部分用乘法分配律计算，后半部分逆用分配律合并含8的项简化计算。
【解析】
(1) 先确定积的符号：负因数有2个，积为正，再计算绝对值的乘积：
原式=$8×\frac{3}{16}×1×0.5$
=$\frac{3}{2}×0.5$
=$\frac{3}{4}$
(2) 先确定积的符号：负因数有5个，积为负，再利用乘法交换律、结合律凑整：
原式=$- (8×0.125)×(12×\frac{1}{3})×0.001$
=$-1×4×0.001$
=$-0.004$
(3) 先分别计算乘法，再计算减法：
原式=$12×\frac{3}{4} - \frac{1}{3}×6$
=$9 - 2$
=$7$
(4) 前半部分用乘法分配律，后半部分逆用分配律提取公因数8：
原式=$\frac{2}{3}×27 - \frac{4}{9}×27 + \frac{5}{27}×27 + 8×(\frac{1}{17} - 1\frac{1}{17})$
=$18 - 12 + 5 + 8×(-1)$
=$11 - 8$
=$3$
【答案】
(1) $\dfrac{3}{4}$；(2) $-0.004$；(3) $7$；(4) $3$
【知识点】
有理数乘法法则、乘法运算律、有理数混合运算
【点评】
本题重点考察有理数乘法相关运算的掌握情况，解题时要先明确运算顺序，优先观察算式特征选择合适的简便运算方法，注意先定符号再算绝对值，避免符号错误。
【难度系数】
0.7