登录
1. [2026盘锦兴隆台区辽河中学期中]某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的分支，每个分支又长出同样数目的小分支. 若主干、分支和小分支的总数为57，则这种植物每个分支可以长出
7
个小分支.答案
设这种植物每个分支长出的小分支的个数为x,则主干和分支的个数为1+x(1个主干及其长出的x个分支),小分支的个数为x·x=x²(x个分支,每个分支长出x个小分支),
∴1+x+x²=57,整理得x²+x-56=0,解得x₁=7,x₂=-8(舍去),
∴这种植物每个分支可以长出7个小分支.
∴1+x+x²=57,整理得x²+x-56=0,解得x₁=7,x₂=-8(舍去),
∴这种植物每个分支可以长出7个小分支.
解析
【分析】
这是分支类一元二次方程实际应用问题，解题思路如下：首先明确各层级的数量构成：主干仅有1个；设每个分支长出x个小分支，那么主干长出的分支总数就是x个；每个分支长出x个小分支，因此小分支的总数量是$x× x=x^2$个。三类的总数为57，据此列一元二次方程求解即可，注意分支个数为正整数，不符合实际意义的负解要舍去。
【解析】
设这种植物每个分支长出的小分支的个数为$x$。
由题意可知：主干数量为1，分支数量为$x$，小分支数量为$x^2$，三者总和为57，列方程得：
$1 + x + x^2 = 57$
整理得：$x^2 + x - 56 = 0$
因式分解得：$(x+8)(x-7)=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-8$
因为小分支的个数不能为负数，故舍去$x_2=-8$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题核心是理清主干、分支、小分支的数量关系，准确列出方程，同时要注意结合实际意义对所得的解进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.75
这是分支类一元二次方程实际应用问题，解题思路如下：首先明确各层级的数量构成：主干仅有1个；设每个分支长出x个小分支，那么主干长出的分支总数就是x个；每个分支长出x个小分支，因此小分支的总数量是$x× x=x^2$个。三类的总数为57，据此列一元二次方程求解即可，注意分支个数为正整数，不符合实际意义的负解要舍去。
【解析】
设这种植物每个分支长出的小分支的个数为$x$。
由题意可知：主干数量为1，分支数量为$x$，小分支数量为$x^2$，三者总和为57，列方程得：
$1 + x + x^2 = 57$
整理得：$x^2 + x - 56 = 0$
因式分解得：$(x+8)(x-7)=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-8$
因为小分支的个数不能为负数，故舍去$x_2=-8$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题核心是理清主干、分支、小分支的数量关系，准确列出方程，同时要注意结合实际意义对所得的解进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.75
变式 [2025 德阳模拟]学校为提高学生的安全意识,准备安排小小宣讲员活动,一个人宣讲后,接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲,经过两轮宣讲后,共有81人获得了安全意识.
(1)该宣讲活动,一个人会给多少人宣讲?
(2)按照这样的速度,经过三轮后,接受宣讲的人数有多少?
(1)该宣讲活动,一个人会给多少人宣讲?
(2)按照这样的速度,经过三轮后,接受宣讲的人数有多少?
答案
解:(1)设该宣讲活动,一个人会给x个人宣讲,
根据题意得,1+x+(1+x)x=81(第一轮宣讲是1个人给x个人宣讲,第二轮宣讲是(1+x)个人每人都再给x个人宣讲),
整理,得(1+x)²=81,解得x₁=8,x₂=-10(舍去).
答:该宣讲活动,一个人会给8个人宣讲.
(2)根据题意,得第一轮宣讲后新增人数为1×8=8,
第二轮宣讲后新增人数为(1+8)×8=72,
第三轮宣讲后新增人数为(1+8+72)×8=648,
1+8+72+648=729.
答:经过三轮后,接受宣讲的人数为729.
根据题意得,1+x+(1+x)x=81(第一轮宣讲是1个人给x个人宣讲,第二轮宣讲是(1+x)个人每人都再给x个人宣讲),
整理,得(1+x)²=81,解得x₁=8,x₂=-10(舍去).
答:该宣讲活动,一个人会给8个人宣讲.
(2)根据题意,得第一轮宣讲后新增人数为1×8=8,
第二轮宣讲后新增人数为(1+8)×8=72,
第三轮宣讲后新增人数为(1+8+72)×8=648,
1+8+72+648=729.
答:经过三轮后,接受宣讲的人数为729.
解析
【分析】
这是典型的传播类实际应用题，解题思路如下：①解决第一问时，先设一个人给x个人宣讲，理清两轮宣讲的总人数构成：初始1人，第一轮宣讲后新增x人，总共有(1+x)人；第二轮这(1+x)人每人再宣讲x人，新增x(1+x)人，两轮后总人数为81，据此列一元二次方程求解，注意人数为正，需舍去不符合实际意义的根。②解决第二问时，可按照同样的传播规律，先算出第三轮新增的宣讲人数，再累加总人数，或直接利用n轮传播后总人数为(1+x)ⁿ的规律计算即可。
【解析】
(1) 设该宣讲活动中，一个人会给x个人宣讲。
根据两轮宣讲后总共有81人获得安全宣讲，可列方程：
$1 + x + (1+x)x = 81$
（其中1是初始宣讲员，x是第一轮新增的宣讲人数，$(1+x)x$是第二轮新增的宣讲人数）
整理得：$(1+x)^2 = 81$
解得：$x_1=8$，$x_2=-10$（人数不能为负，不符合实际意义，舍去）
答：该宣讲活动，一个人会给8个人宣讲。
(2) 按照传播规律计算：
第一轮宣讲后新增人数：$1×8=8$
第二轮宣讲后新增人数：$(1+8)×8=72$
第三轮宣讲后新增人数：$(1+8+72)×8=648$
三轮后总人数：$1+8+72+648=729$
（也可直接用规律计算：三轮后总人数为$(1+8)^3=729$）
答：经过三轮后，接受宣讲的人数为729。
【答案】
(1) 8人；(2) 729人
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题模型、实际问题验根
【点评】
本题重点考查传播类问题的建模能力，解题核心是理清每轮传播的参与人数和新增人数的关系，列方程时要注意总人数的构成，同时必须结合实际场景对方程的根进行取舍，熟练掌握传播模型后可直接用幂运算快速计算多轮传播后的总人数，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类实际应用题，解题思路如下：①解决第一问时，先设一个人给x个人宣讲，理清两轮宣讲的总人数构成：初始1人，第一轮宣讲后新增x人，总共有(1+x)人；第二轮这(1+x)人每人再宣讲x人，新增x(1+x)人，两轮后总人数为81，据此列一元二次方程求解，注意人数为正，需舍去不符合实际意义的根。②解决第二问时，可按照同样的传播规律，先算出第三轮新增的宣讲人数，再累加总人数，或直接利用n轮传播后总人数为(1+x)ⁿ的规律计算即可。
【解析】
(1) 设该宣讲活动中，一个人会给x个人宣讲。
根据两轮宣讲后总共有81人获得安全宣讲，可列方程：
$1 + x + (1+x)x = 81$
（其中1是初始宣讲员，x是第一轮新增的宣讲人数，$(1+x)x$是第二轮新增的宣讲人数）
整理得：$(1+x)^2 = 81$
解得：$x_1=8$，$x_2=-10$（人数不能为负，不符合实际意义，舍去）
答：该宣讲活动，一个人会给8个人宣讲。
(2) 按照传播规律计算：
第一轮宣讲后新增人数：$1×8=8$
第二轮宣讲后新增人数：$(1+8)×8=72$
第三轮宣讲后新增人数：$(1+8+72)×8=648$
三轮后总人数：$1+8+72+648=729$
（也可直接用规律计算：三轮后总人数为$(1+8)^3=729$）
答：经过三轮后，接受宣讲的人数为729。
【答案】
(1) 8人；(2) 729人
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题模型、实际问题验根
【点评】
本题重点考查传播类问题的建模能力，解题核心是理清每轮传播的参与人数和新增人数的关系，列方程时要注意总人数的构成，同时必须结合实际场景对方程的根进行取舍，熟练掌握传播模型后可直接用幂运算快速计算多轮传播后的总人数，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
2. 随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（
A.$ x(x - 1) = 2256 $
B.$ x(x + 1) = 2256 $
C.$ 2x(x - 1) = 2256 $
D.$ \frac{1}{2}x(x - 1) = 2256 $
A
）A.$ x(x - 1) = 2256 $
B.$ x(x + 1) = 2256 $
C.$ 2x(x - 1) = 2256 $
D.$ \frac{1}{2}x(x - 1) = 2256 $
答案
若该班有x名同学,则每名同学送出照片(x-1)张,全班应该送出照片x(x-1)张,
∴可列方程为x(x-1)=2256.
∴可列方程为x(x-1)=2256.
解析
【分析】
解题时首先明确互送照片的计数逻辑：首先，每名同学不需要给自己送照片，因此每名同学需要赠送的照片数量为总人数减1，即(x-1)张；其次，互送照片属于双向计数，甲送给乙和乙送给甲是2张不同的照片，不需要对总数量除以2。用总人数乘每名同学送出的照片数，就等于全班送出的总照片数，据此即可列出方程。
【解析】
设该班有x名同学，
∵每名同学需向除自己外的其他(x-1)名同学各赠送1张照片，
∴每名同学送出(x-1)张照片，
全班x名同学共送出的照片总数为$x(x-1)$张，
已知全班共送出2256张照片，因此可列方程为$x(x-1)=2256$，对应A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用、循环类问题建模
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础常考题，解题关键是区分双向计数（如互送礼物、互发消息）和单循环计数（如握手、单循环比赛）的计数逻辑，避免出现多除以2或多乘2的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确互送照片的计数逻辑：首先，每名同学不需要给自己送照片，因此每名同学需要赠送的照片数量为总人数减1，即(x-1)张；其次，互送照片属于双向计数，甲送给乙和乙送给甲是2张不同的照片，不需要对总数量除以2。用总人数乘每名同学送出的照片数，就等于全班送出的总照片数，据此即可列出方程。
【解析】
设该班有x名同学，
∵每名同学需向除自己外的其他(x-1)名同学各赠送1张照片，
∴每名同学送出(x-1)张照片，
全班x名同学共送出的照片总数为$x(x-1)$张，
已知全班共送出2256张照片，因此可列方程为$x(x-1)=2256$，对应A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用、循环类问题建模
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础常考题，解题关键是区分双向计数（如互送礼物、互发消息）和单循环计数（如握手、单循环比赛）的计数逻辑，避免出现多除以2或多乘2的错误。
【难度系数】
0.8
变式 [2026沈阳期末] D507是在北京与沈阳之间往返的一趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、沈阳站），针对此动车有72种不同行程的火车票，每张火车票都标有始发站和终点站.设共有x个火车停靠站，则可列方程为 （
A.$x(x+1)=72$
B.$x(x-1)=72$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=72$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=72$
B
）A.$x(x+1)=72$
B.$x(x-1)=72$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=72$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=72$
答案
共有x个停靠站,每个停靠站与剩余的(x-1)个停靠站之间都需要1张车票,
∴需要不同行程的火车票共x(x-1)种,
∴x(x-1)=72.
∴需要不同行程的火车票共x(x-1)种,
∴x(x-1)=72.
解析
【分析】
解题时首先要明确火车票具有方向性：始发站和终点站不同的车票属于不同行程，是有序计数问题。我们可以分步思考：第一步，计算单个停靠站可发出的不同车票数量，总共有x个停靠站，每个站不能发往自身，所以单个站对应(x-1)种车票；第二步，计算所有站的总车票数，用站点数乘单个站对应的车票数即可，最后结合总车票数为72的条件，就能列出对应方程。
【解析】
设共有x个火车停靠站，由于火车票有明确的始发站和终点站，两个站点之间往返的行程属于两种不同的车票，不需要去重。每个停靠站作为始发站时，可前往除自身外的(x-1)个停靠站，即每个停靠站对应(x-1)种不同的车票。因此x个停靠站共产生x(x-1)种不同行程的火车票，结合已知总共有72种车票，可列方程为x(x-1)=72，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，双循环计数问题
【点评】
本题是一元二次方程的典型实际应用题，解题核心是区分计数是否有序：本题车票有始发、终点的区别，属于有序计数，无需除以2，注意和握手、单循环比赛这类无序计数题型区分开。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确火车票具有方向性：始发站和终点站不同的车票属于不同行程，是有序计数问题。我们可以分步思考：第一步，计算单个停靠站可发出的不同车票数量，总共有x个停靠站，每个站不能发往自身，所以单个站对应(x-1)种车票；第二步，计算所有站的总车票数，用站点数乘单个站对应的车票数即可，最后结合总车票数为72的条件，就能列出对应方程。
【解析】
设共有x个火车停靠站，由于火车票有明确的始发站和终点站，两个站点之间往返的行程属于两种不同的车票，不需要去重。每个停靠站作为始发站时，可前往除自身外的(x-1)个停靠站，即每个停靠站对应(x-1)种不同的车票。因此x个停靠站共产生x(x-1)种不同行程的火车票，结合已知总共有72种车票，可列方程为x(x-1)=72，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，双循环计数问题
【点评】
本题是一元二次方程的典型实际应用题，解题核心是区分计数是否有序：本题车票有始发、终点的区别，属于有序计数，无需除以2，注意和握手、单循环比赛这类无序计数题型区分开。
【难度系数】
0.7
3. [2025 贵阳观山湖区华东师大附属贵阳学校期中]某校九年级举行篮球比赛,赛制为单循环赛,即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛.已知共举行了45场比赛.则参加比赛的球队共有
变式 在一次数学兴趣小组活动中,每两名学生握手一次,但小明因中途有事离开,他记得有3人没有和他握过手,经统计所有人共握手42次,则参加活动的学生有几人?
10
个.变式 在一次数学兴趣小组活动中,每两名学生握手一次,但小明因中途有事离开,他记得有3人没有和他握过手,经统计所有人共握手42次,则参加活动的学生有几人?
答案
设参加比赛的球队共有x个,则总共进行了$\frac{1}{2}x(x-1)$场比赛,
∴$\frac{1}{2}x(x-1)=45$,解得$x_1=10$,$x_2=-9$(舍去),
∴参加比赛的球队共有10个.
解:设参加活动的学生有x人.
根据题意可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)-3=42$,
解得$x_1=-9$(不合题意,舍去),$x_2=10$.
答:参加活动的学生有10人.
∴$\frac{1}{2}x(x-1)=45$,解得$x_1=10$,$x_2=-9$(舍去),
∴参加比赛的球队共有10个.
解:设参加活动的学生有x人.
根据题意可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)-3=42$,
解得$x_1=-9$(不合题意,舍去),$x_2=10$.
答:参加活动的学生有10人.
解析
【分析】
首先明确单循环赛、握手这类问题的通用计数逻辑：若有n个主体，每两个主体仅产生1次互动（比赛/握手），总互动次数为$\frac{1}{2}n(n-1)$，原理是每个主体会和其余n-1个主体互动，而每次互动会被两个主体各统计1次，因此需要除以2去掉重复计数。原题直接用该公式结合已知总比赛场数列方程求解即可；变式中小明有3人未握手，说明实际总握手次数比所有人都正常握手的完整情况少3次，用完整计数结果减3等于实际握手次数，列方程后舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
原题解答：
设参加比赛的球队共有x个，单循环赛总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，根据题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得$x^2 - x - 90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$，球队个数不能为负数，故舍去$x_2$。
变式解答：
设参加活动的学生有x人，若所有学生都完成握手，总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，小明有3人未握手，即实际总握手次数比完整情况少3次，根据题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)-3=42$
整理得$x^2 - x - 90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$，人数不能为负数，故舍去$x_2$。
【答案】
参加比赛的球队共有10个；参加活动的学生有10人。
【知识点】
一元二次方程应用，单循环计数，实际问题验根
【点评】
本题组结合生活场景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是掌握单循环类问题的计数规则，同时要注意对解方程得到的根结合实际场景进行检验，排除不符合现实意义的根。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环赛、握手这类问题的通用计数逻辑：若有n个主体，每两个主体仅产生1次互动（比赛/握手），总互动次数为$\frac{1}{2}n(n-1)$，原理是每个主体会和其余n-1个主体互动，而每次互动会被两个主体各统计1次，因此需要除以2去掉重复计数。原题直接用该公式结合已知总比赛场数列方程求解即可；变式中小明有3人未握手，说明实际总握手次数比所有人都正常握手的完整情况少3次，用完整计数结果减3等于实际握手次数，列方程后舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
原题解答：
设参加比赛的球队共有x个，单循环赛总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，根据题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得$x^2 - x - 90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$，球队个数不能为负数，故舍去$x_2$。
变式解答：
设参加活动的学生有x人，若所有学生都完成握手，总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，小明有3人未握手，即实际总握手次数比完整情况少3次，根据题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)-3=42$
整理得$x^2 - x - 90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$，人数不能为负数，故舍去$x_2$。
【答案】
参加比赛的球队共有10个；参加活动的学生有10人。
【知识点】
一元二次方程应用，单循环计数，实际问题验根
【点评】
本题组结合生活场景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是掌握单循环类问题的计数规则，同时要注意对解方程得到的根结合实际场景进行检验，排除不符合现实意义的根。
【难度系数】
0.7
4. 跨学科·物理 [2025绵阳梓潼期中] 如图，某小球悬浮于液体中，此时$F_{浮力}=G_{重力}$。若$F_{浮力}=20\ \mathrm{N}$，小球的质量$m=(x^2 + x)\ \mathrm{kg}$，重力加速度$g=10\ \mathrm{N/kg}$，则$x$的值为
-2或1
。(注:$G=mg$)答案
根据题意,得$F_{浮力}=G_{重力}=mg=(x^2 + x) × 10 = 20$,整理,得$x^2 + x - 2 = 0$,解得$x = -2$或$x = 1$.
解析
【分析】
解题时首先利用物理中物体悬浮时浮力等于重力的等量关系，结合重力计算公式$G=mg$，将已知的浮力数值、重力加速度$g$、含$x$的质量表达式代入等量关系中，得到关于$x$的一元二次方程，再用因式分解法解一元二次方程，最后结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到$x$的正确值。
【解析】
已知小球悬浮时$F_{浮力}=G_{重力}$，且重力计算公式为$G=mg$，代入已知条件：$F_{浮力}=20\ \mathrm{N}$，$m=(x^2+x)\ \mathrm{kg}$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$，可得：
$10(x^2+x)=20$
两边同时除以10，得：
$x^2+x=2$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2+x-2=0$
因式分解得：
$(x+2)(x-1)=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=1$，结合实际意义，$x$不能为负数，故舍去负根$x=-2$，得$x=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
一元二次方程求解，浮沉条件应用，重力公式计算
【点评】
本题为跨学科综合题，将物理力学知识和数学一元二次方程知识结合考查，解题的关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用物理中物体悬浮时浮力等于重力的等量关系，结合重力计算公式$G=mg$，将已知的浮力数值、重力加速度$g$、含$x$的质量表达式代入等量关系中，得到关于$x$的一元二次方程，再用因式分解法解一元二次方程，最后结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到$x$的正确值。
【解析】
已知小球悬浮时$F_{浮力}=G_{重力}$，且重力计算公式为$G=mg$，代入已知条件：$F_{浮力}=20\ \mathrm{N}$，$m=(x^2+x)\ \mathrm{kg}$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$，可得：
$10(x^2+x)=20$
两边同时除以10，得：
$x^2+x=2$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2+x-2=0$
因式分解得：
$(x+2)(x-1)=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=1$，结合实际意义，$x$不能为负数，故舍去负根$x=-2$，得$x=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
一元二次方程求解，浮沉条件应用，重力公式计算
【点评】
本题为跨学科综合题，将物理力学知识和数学一元二次方程知识结合考查，解题的关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
5. [2026盐城盐都区期中]如图,在某校运动会开幕式上,团体操表演方阵先排成3行4列,后又加入了30人,使得方阵增加的行数、列数相同,则方阵增加了
3
行.答案
设方阵增加了x行,
∵方阵增加的行数、列数相同,
∴增加后方阵为(3+x)行、(4+x)列.已知原方阵人数为3×4=12,加入30人后总人数为12+30=42,故可列方程为$(3+x)(4+x)=42$,解得x=3或x=-10(舍去),故增加了3行.
∵方阵增加的行数、列数相同,
∴增加后方阵为(3+x)行、(4+x)列.已知原方阵人数为3×4=12,加入30人后总人数为12+30=42,故可列方程为$(3+x)(4+x)=42$,解得x=3或x=-10(舍去),故增加了3行.
解析
【分析】
本题是利用一元二次方程解决方阵人数变化的实际问题，解题思路如下：第一步先设未知数，设增加的行数为x，由题意可知增加的列数也为x；第二步计算总人数，原方阵为3行4列，总人数为$3 × 4=12$人，加入30人后总人数为$12+30=42$人；第三步找等量关系列方程，新方阵总人数=新行数×新列数，其中新行数为$3+x$，新列数为$4+x$，据此列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
解：设方阵增加了$x$行，由增加的行数、列数相同，可知增加后方阵为$(3+x)$行、$(4+x)$列。
原方阵人数：$3 × 4 = 12$（人）
加入30人后总人数：$12 + 30 = 42$（人）
根据新方阵总人数的等量关系列方程：
$(3+x)(4+x)=42$
展开整理得：$x^2+7x-30=0$
因式分解得：$(x+10)(x-3)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-10$。
由于行数不能为负数，故舍去$x=-10$，即方阵增加了3行。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程应用，方阵问题，实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，解题核心是抓住“方阵总人数=行数×列数”的等量关系建立方程，求解时需注意结合实际情境舍去不符合要求的解，主要考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
本题是利用一元二次方程解决方阵人数变化的实际问题，解题思路如下：第一步先设未知数，设增加的行数为x，由题意可知增加的列数也为x；第二步计算总人数，原方阵为3行4列，总人数为$3 × 4=12$人，加入30人后总人数为$12+30=42$人；第三步找等量关系列方程，新方阵总人数=新行数×新列数，其中新行数为$3+x$，新列数为$4+x$，据此列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
解：设方阵增加了$x$行，由增加的行数、列数相同，可知增加后方阵为$(3+x)$行、$(4+x)$列。
原方阵人数：$3 × 4 = 12$（人）
加入30人后总人数：$12 + 30 = 42$（人）
根据新方阵总人数的等量关系列方程：
$(3+x)(4+x)=42$
展开整理得：$x^2+7x-30=0$
因式分解得：$(x+10)(x-3)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-10$。
由于行数不能为负数，故舍去$x=-10$，即方阵增加了3行。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程应用，方阵问题，实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，解题核心是抓住“方阵总人数=行数×列数”的等量关系建立方程，求解时需注意结合实际情境舍去不符合要求的解，主要考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
