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8. 已知$2^{a+4} - 2^{a+1}=112$，则$a=$
3
。答案
8.3
解析
【分析】
本题是含指数未知数的方程求解问题，解题思路如下：首先观察到等式左侧两项均为以2为底的幂，且指数$(a+4)$可拆为$(a+1)+3$，可逆用同底数幂的乘法法则，将$2^{a+4}$转化为含$2^{a+1}$的形式，再提取公因式$2^{a+1}$合并同类项，求出$2^{a+1}$的值，最后根据乘方的意义，找到与结果相等的2的幂，利用同底数幂相等则指数相等的规律求解a的值。
【解析】
解：逆用同底数幂的乘法法则，对$2^{a+4}$变形：
$2^{a+4}=2^{(a+1)+3}=2^3 · 2^{a+1}=8 · 2^{a+1}$
将变形代入原方程：
$8 · 2^{a+1} - 2^{a+1} = 112$
合并同类项得：
$(8-1) · 2^{a+1} = 112$
即 $7 · 2^{a+1} = 112$
两边同时除以7得：
$2^{a+1} = 16$
因为$16=2^4$，所以$2^{a+1}=2^4$
根据底数相同的正整数次幂相等时，指数相等，可得：
$a+1=4$
解得 $a=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 同底数幂乘法的逆运算
2. 乘方的意义
【点评】
本题是同底数幂相关的基础常考题，核心是灵活运用同底数幂乘法的逆运算，将不同指数的同底数幂转化为含公共因式的形式，合并后即可快速求解，熟练掌握法则的正用和逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是含指数未知数的方程求解问题，解题思路如下：首先观察到等式左侧两项均为以2为底的幂，且指数$(a+4)$可拆为$(a+1)+3$，可逆用同底数幂的乘法法则，将$2^{a+4}$转化为含$2^{a+1}$的形式，再提取公因式$2^{a+1}$合并同类项，求出$2^{a+1}$的值，最后根据乘方的意义，找到与结果相等的2的幂，利用同底数幂相等则指数相等的规律求解a的值。
【解析】
解：逆用同底数幂的乘法法则，对$2^{a+4}$变形：
$2^{a+4}=2^{(a+1)+3}=2^3 · 2^{a+1}=8 · 2^{a+1}$
将变形代入原方程：
$8 · 2^{a+1} - 2^{a+1} = 112$
合并同类项得：
$(8-1) · 2^{a+1} = 112$
即 $7 · 2^{a+1} = 112$
两边同时除以7得：
$2^{a+1} = 16$
因为$16=2^4$，所以$2^{a+1}=2^4$
根据底数相同的正整数次幂相等时，指数相等，可得：
$a+1=4$
解得 $a=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 同底数幂乘法的逆运算
2. 乘方的意义
【点评】
本题是同底数幂相关的基础常考题，核心是灵活运用同底数幂乘法的逆运算，将不同指数的同底数幂转化为含公共因式的形式，合并后即可快速求解，熟练掌握法则的正用和逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9. $(-3)^{2n+1} + 3 × (-3)^{2n}$ 的计算结果是
0
。答案
9.0
解析
【分析】
首先观察待求式的两项，底数均为-3，指数2n+1比2n大1，可先利用同底数幂乘法的逆运算将指数为2n+1的项拆分，再提取两项的公因式合并计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据同底数幂乘法的逆运算$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得：
$(-3)^{2n+1}=(-3)^{2n} × (-3)$
将其代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(-3) × (-3)^{2n} + 3 × (-3)^{2n} \\&=(-3 + 3) × (-3)^{2n} \\&=0 × (-3)^{2n} \\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
同底数幂的乘法；提取公因式法因式分解；乘方的运算性质
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，解题的关键是通过拆分高次项找到公因式，熟练掌握幂的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察待求式的两项，底数均为-3，指数2n+1比2n大1，可先利用同底数幂乘法的逆运算将指数为2n+1的项拆分，再提取两项的公因式合并计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据同底数幂乘法的逆运算$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得：
$(-3)^{2n+1}=(-3)^{2n} × (-3)$
将其代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(-3) × (-3)^{2n} + 3 × (-3)^{2n} \\&=(-3 + 3) × (-3)^{2n} \\&=0 × (-3)^{2n} \\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
同底数幂的乘法；提取公因式法因式分解；乘方的运算性质
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，解题的关键是通过拆分高次项找到公因式，熟练掌握幂的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. 若$2^4 + 2^4 = 2^a$，$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3^b$，则$a - b$的值为
-1
。答案
10.-1
解析
【分析】
解题时先观察等式特征：等式左边是多个相同的幂相加，第一步可以根据乘法的意义，将加法运算转化为乘法运算；再运用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”，分别求出a、b的值；最后代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
解：先计算a的值：
$2^4 + 2^4$是2个$2^4$相加，根据乘法的意义可得：
$2^4 + 2^4 = 2× 2^4$
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数），$2 = 2^1$，因此：
$2× 2^4 = 2^{1+4}=2^5$
结合$2^4 + 2^4 = 2^a$，可得$a=5$。
再计算b的值：
$3^5 + 3^5 + 3^5$是3个$3^5$相加，同理可得：
$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3× 3^5 = 3^{1+5}=3^6$
结合$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3^b$，可得$b=6$。
因此$a - b = 5 - 6 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
同底数幂的乘法，乘法的意义，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是将相同幂的加法转化为乘法运算，再结合同底数幂的乘法法则计算对应指数，熟练掌握相关运算法则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先观察等式特征：等式左边是多个相同的幂相加，第一步可以根据乘法的意义，将加法运算转化为乘法运算；再运用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”，分别求出a、b的值；最后代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
解：先计算a的值：
$2^4 + 2^4$是2个$2^4$相加，根据乘法的意义可得：
$2^4 + 2^4 = 2× 2^4$
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数），$2 = 2^1$，因此：
$2× 2^4 = 2^{1+4}=2^5$
结合$2^4 + 2^4 = 2^a$，可得$a=5$。
再计算b的值：
$3^5 + 3^5 + 3^5$是3个$3^5$相加，同理可得：
$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3× 3^5 = 3^{1+5}=3^6$
结合$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3^b$，可得$b=6$。
因此$a - b = 5 - 6 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
同底数幂的乘法，乘法的意义，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是将相同幂的加法转化为乘法运算，再结合同底数幂的乘法法则计算对应指数，熟练掌握相关运算法则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
11. 数学课外小组的同学发现，很多计算法则逆用时会有神奇的效果. 如同底数幂的乘法法则为$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$，$n$都是正整数），类似地，我们规定关于任意正整数$m$，$n$的一种新运算：$h(m) · h(n) = h(m+n)$（其中$m$，$n$都是正整数）.
例如：$h(3)=2$，则$h(6)=h(3+3)=h(3) · h(3)=2 × 2=4$；
$h(9)=h(3+3+3)=h(3) · h(3) · h(3)=2 × 2 × 2=8$.
请根据这种新运算解决以下问题：
（1）若$h(2)=5$，则$h(6)=$
（2）若$h(a)=3$，求$\frac{h(a)+h(2a)}{h(3a)}$.
例如：$h(3)=2$，则$h(6)=h(3+3)=h(3) · h(3)=2 × 2=4$；
$h(9)=h(3+3+3)=h(3) · h(3) · h(3)=2 × 2 × 2=8$.
请根据这种新运算解决以下问题：
（1）若$h(2)=5$，则$h(6)=$
125
；（2）若$h(a)=3$，求$\frac{h(a)+h(2a)}{h(3a)}$.
答案
11. 解：(1) 125
(2)
∵$h(2a)=h(a+a)=h(a) · h(a)=3×3=9$,
$h(3a)=h(a+a+a)=h(a) · h(a) · h(a)=3×3×3=27$,
∴$\frac{h(a)+h(2a)}{h(3a)}=\frac{3+9}{27}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$.
(2)
∵$h(2a)=h(a+a)=h(a) · h(a)=3×3=9$,
$h(3a)=h(a+a+a)=h(a) · h(a) · h(a)=3×3×3=27$,
∴$\frac{h(a)+h(2a)}{h(3a)}=\frac{3+9}{27}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$.
解析
【分析】
解决本题的核心是理解新运算规则：$h(m)·h(n)=h(m+n)$，即自变量和的h值等于各自变量h值的乘积，解题时只需将待求的h的自变量拆分为已知自变量的和，即可转化为乘法运算求解。
（1）求$h(6)$时，已知$h(2)=5$，可将6拆为3个2相加，利用新运算规则将$h(6)$转化为3个$h(2)$相乘，代入数值计算即可。
（2）求分式的值时，先将$2a$拆为两个$a$相加、$3a$拆为三个$a$相加，分别求出$h(2a)$、$h(3a)$的值，再代入分式化简计算即可。
【解析】
（1）根据新运算规则$h(m)·h(n)=h(m+n)$可得：
$h(6)=h(2+2+2)=h(2)·h(2)·h(2)$
已知$h(2)=5$，代入得：
$h(6)=5×5×5=125$
（2）
∵ $h(2a)=h(a+a)=h(a)·h(a)$，已知$h(a)=3$
∴ $h(2a)=3×3=9$
同理，$h(3a)=h(a+a+a)=h(a)·h(a)·h(a)=3×3×3=27$
将$h(a)=3$、$h(2a)=9$、$h(3a)=27$代入分式得：
$\frac{h(a)+h(2a)}{h(3a)}=\frac{3+9}{27}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$
【答案】
（1）$\boxed{125}$；（2）$\boxed{\dfrac{4}{9}}$
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，代数式求值
【点评】
本题以同底数幂的乘法法则为背景设计新运算，侧重考查对新规则的阅读理解能力和知识迁移应用能力，解题的关键是灵活拆分h的自变量，正确套用新运算规则转化为乘法计算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.75
解决本题的核心是理解新运算规则：$h(m)·h(n)=h(m+n)$，即自变量和的h值等于各自变量h值的乘积，解题时只需将待求的h的自变量拆分为已知自变量的和，即可转化为乘法运算求解。
（1）求$h(6)$时，已知$h(2)=5$，可将6拆为3个2相加，利用新运算规则将$h(6)$转化为3个$h(2)$相乘，代入数值计算即可。
（2）求分式的值时，先将$2a$拆为两个$a$相加、$3a$拆为三个$a$相加，分别求出$h(2a)$、$h(3a)$的值，再代入分式化简计算即可。
【解析】
（1）根据新运算规则$h(m)·h(n)=h(m+n)$可得：
$h(6)=h(2+2+2)=h(2)·h(2)·h(2)$
已知$h(2)=5$，代入得：
$h(6)=5×5×5=125$
（2）
∵ $h(2a)=h(a+a)=h(a)·h(a)$，已知$h(a)=3$
∴ $h(2a)=3×3=9$
同理，$h(3a)=h(a+a+a)=h(a)·h(a)·h(a)=3×3×3=27$
将$h(a)=3$、$h(2a)=9$、$h(3a)=27$代入分式得：
$\frac{h(a)+h(2a)}{h(3a)}=\frac{3+9}{27}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$
【答案】
（1）$\boxed{125}$；（2）$\boxed{\dfrac{4}{9}}$
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，代数式求值
【点评】
本题以同底数幂的乘法法则为背景设计新运算，侧重考查对新规则的阅读理解能力和知识迁移应用能力，解题的关键是灵活拆分h的自变量，正确套用新运算规则转化为乘法计算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.75
